广州大学 2013-2014 学年第 一 学期考试卷
课程 高等代数I 考试形式（开卷/闭卷，考试/考查）
一、填空题(每小题3分，共30分)
1. 整数31857与9983869的最大公因子为 ___287____;
2. 在有理数域上分解 65552
34--++x x x x 得__)3)(2)(1)(1(+++-x x x x ____; 3. 已知1532)(3
4
5
+--=x x x x f , 则)(x f 除以10-x 的余式为 __165001__;
4. 若次数小于3的多项式)(x f 使得3)2(,3)1(,1)1(-==-=f f f ，则此多项式为
___32
+--x x ___;
5. 排列314592678的反序数为____8______;
6. 9个数码构成的排列全体中，奇排列有____9!/2______个;
7. 六阶行列式66
6261
26
222116
1211a a a a a a a a a
展开式中，乘积651456423123a a a a a a 的符号为__+___;
8. Vandermonde 行列式2
2
2
1
11
c b a c b a
的展开式为__))()((a b a c b c ---___;
9. 矩阵⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛----056311241
2712
15的秩为___3_____;
10.
g bde adeh acfh h
g f e
d c b a
+-=0
00
0000__bcfh -___;
二、选择题(每小题2分，共10分)
1. 下列对象中，哪个不是数环?
A.全体整数构成的集合,
B. 全体偶数构成的集合，
C.全体奇数构成的集合,
D. 全体能被3整除的数构成的集合. 2. 下述操作中，哪个不改变行列式的值？
A. 交换两行,
B. 某行乘以一个非零常数，
C ．一行加到另一行 D. 前面三个操作都改变行列式的值. 3. 下列对象中，哪个不是多项式?
A. 0,
B. -1,
C. 2
1
+
-x ,
D. 11
+-x
4. 下列陈述中，正确的是
A. 1是素数;
B. 若 n p p p ,,,21 是n 个不同素数，则121+n p p p 也是素数；
C. 2是合数;
D. 上述说法均不正确.
5. 若有整系数多项式n
n x a x a x f +++= 115)(, 则下面哪个数一定不是)(x f 的根
A. 7
B. 5
C. 3
D. 1
三、计算题(每小题15分，共45分)
１. 求n 阶行列式 2
112
11
211
2
的值。

解：
● 设上述行列式为n D ，把它按第一列展开，得到212---=n n n D D D ，其中3≥n 。

(5
分)
● 容易计算21=D , 32=D 。

(3分)
● 于是有211----=-n n n n D D D D 112=-==D D 。

（3分） ●
1)(2
1-=-∑=-n D D
n
i n n
, 即12-=-n D n 。

（3分）
●
1+=n D n 。

（3分）
２. 解线性方程组
⎪⎪⎪⎩⎪
⎪⎪⎨⎧-=+-++=-++-=--+--=+-++=-++.
12,
34,
32,1223,
1453543215
432154321543214321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 解:方程的增广矩阵为(3分)
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛----------111121311141311121112231104531, 通过初等变换化成(8分)
⎪⎪⎪
⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛--12/1100112/11
02/11。

故方程的解为：（4分）
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛-----=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛s s s s x x x x x 2/102/12/543
21
３. 当λ取什么值时，下述线性方程组有唯一解，无穷多解，及无解？
⎪⎩⎪
⎨⎧=-++=+-+-=+-+-1
)2(,1)2()2(,)2()23(321
321321x x x x x x x x x λλλλλλ 解：方程的增广矩阵为(2分)
⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛-----121
111221223λλλλλλ 上述矩阵第1行减去第2行，然后第2行减去第3行。

⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝
⎛------121101
1110
01λ
λλλλλ
（1） (1) 若1=λ, 增广矩阵（1）变为
⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛111100000000,
有无穷多解。

（5分）
(2) 若1≠λ, 则把矩阵（1）第1，2行都除以λ-1, 得
⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛---1211011
1100
1λ， 继续化为
⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛----1300403
01001
λλλ。

显然当3=λ时无解，（5分） 3≠λ时有唯一解。

（5分） 总之：当3,1≠λ时有唯一解；当1=λ时有无穷多解；当3-=λ时无解。

四、证明题(第1题7分，第2题8分，共15分)
１. 证明多项式13
6
++x x 在有理数域上不可约。

证：设1+=y x 代入13
6
++x x 得
39182115623456++++++y y y y y y 。

（2分）
由Eisenstein 判别法可知上述关于y 的多项式在Q 上既约。

（3分） 所以原多项式在Q 上也既约。

（2分） ２. 证明：含有n 个未知量的1+n 个方程的线性方程组
⎪⎪⎩⎪
⎪⎨
⎧=++=++=+++++1
,11,11111111,,n n n n n n n nn n n n b x a a b x a x a b x a x a , 有解的必要条件是行列式
.01
,11,11
1111=+++n n
n n n nn
n n b a a b a a b a a
证：用反证法。

设行列式非零，则方程组增广矩阵的秩为1+n ; （3分）
但原方程组系数矩阵是一个1+n 行，n 列的行列式，所以系数矩阵的秩不能超过n 。

（3分） 系数矩阵与增广矩阵秩不等，所以原方程组无解。

这与题设矛盾，故假设不成立。

行列式值必为0.（2分）。