星火教育一对一辅导教案学生姓名性别年级9年级学科数学授课教师李碧瑶上课时间年月日第（）次课共（）次课课时：课时教学课题锐角三角函数的认识教学目标1.掌握锐角三角函数(sin A，cos A，tan A）的定义；2.记牢30°、45°、60°角的三角函数值；3.能够运用三角函数表示直角三角形中两边的比4. 运用三角函数的关系化简或求值。

教学重点与难点1.理解正切、正弦和余弦的意义，并用它来表示两边的比.2.添加辅助线解直角三角形课后作业详见教案提交时间 2014 年 12 月 12 日学科组长检查签名：（注意咯，下面可是黄金部分！）知识点1 正切定义：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切．．，记作tan A ，即的邻边的对边A A A ∠∠=tan .①tan A 是一个完整的符号，它表示∠A 的正切，记号里习惯省去角的符号“∠”；②tan A 没有单位，它表示一个比值，其大小只与锐角A 的大小有关，与所在直角三角形的大小无关； ③tan A 不表示“tan ”乘以“A ”；④任意锐角A ，都有tanA>0，且锐角的正切值随着角的度数的增大而增大； ⑤tan A 的值越大，梯子越陡，∠A 越大； ∠A 越大，梯子越陡，tan A 的值越大． 【例1】在Rt △ABC 中，∠C=90º,AC=5,AB=13,求tanA 和tanB.【变式】在Rt △ABC 中，∠C=90º,BC=3,tanA=125，求AC.★坡度（或坡比）定义：通常把坡面的垂直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度（或坡比），用字母i 表示，即i =lh 坡度即为坡角α的正切值tan α，即i =tan α=lh （1）坡角与坡度是两个不同的概念，坡角是坡面与水平面的夹角，是个角度，单位是度. （2）坡度描述的是坡面的陡峭程度，当tan α的值越大时，坡度越大，坡面也就越陡. （3）坡度一般写成1:m 的形式（比例的前项为1），后项可以是小数.锐角三角函数的认识典例【例】1、斜坡的坡比是1:1 ，则坡角α= ．2、斜坡的坡角是600，则坡比是 ． 3、斜坡长是12米，坡高6米，则坡比是 ．4、传送带和地面所成的斜坡的坡比为1：2，把物体从地面送到离地面9米高的地方，则物体通过的路程为 米．5、斜坡的坡度是1：3，斜坡长=100米，则斜坡高为 米．【变式】 如图所示，拦水坝的横断面为梯形ABCD ，斜坡AB 的坡度为1:3，坝高BE=4m ，斜坡CD=5m.试比较斜坡AB 和CD 哪个更陡？知识点2 正弦、余弦正弦定义：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦， 记作sin A ，即斜边的对边A A ∠=sin余弦定义：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦， 记作cos A ，即斜边的邻边A A ∠=cos（1）三角函数正切、正弦、余弦的定义是直角三角形中定义的，七本质是两条线段的长度之比，结果是一个数值，且没有单位，其大小只与角的大小有关，而与所在三角形的大小和位置无关. （2）因为直角边小于斜边，所以0<siaA<1,0<cosA<1.（3）正弦值越大，∠A 越大，梯子越陡；余弦值越小，∠A 反而越大，梯子越陡.【例2-1】在Rt △ABC 中，∠ACB=90º,∠A,∠B,∠C 所对的边分别是a,b,c.若a=12,b=5，分别求出∠A,∠B 的三角函数.【变式】 在等腰三角形ABC 中，AB=AC=5,BC=6，求sinB,cosB,tanB.【例2-2】 在△ABC 中，∠C=90º，如果tanA=125，那么sinB 的值等于（ B ） A.135 B.1312 C.125 D.512 【变式】 如果α是锐角，且cos α=54，那么sin α的值是（ C ）A.259B.54C.53D.22知识点3 30°，45°，60°角的三角函数值 度数 sin αcos αtan α30°2123 33 45°22 22 160°23 21 3【例3-1】 如果在△ABC 中，sinA=cosB=22则下列最确切的结论是（ ）A.△ABC 是直角三角形B.△ABC 是等腰三角形C.△ABC 是等腰直角三角形D.△ABC 是锐角三角形【变式】 在△ABC 中，∠C=90º，若∠B=2∠A ，则tanA 等于（ ） A.3 B.33 C.23D.21【例3-2】 计算 （1）︒-︒︒-︒45cos 60sin 45sin 30cos （2）︒-︒+︒45tan 45cos 60sin 22（3） 45sin 22460tan 460tan 2-+-（4）先化简，再求代数式1221122+-+÷--+a a a a a a 的值，其中a=6tan30º-1【变式】 计算（1）60sin 260cos 30sin |130tan |3+-- （2）(1＋sin30°－cos45°)(1＋sin30°＋cos45°)（3）先化简，再求其值，)232(212++-÷-++x x x x x 其中x=tan45º－cos30°知识点4 解直角三角形在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。

（一）已知直角三角形的两边解直角三角形已知条件解法已知 两边两直角边（如a,b ） A B b aA b a c ∠-=∠=+= 90,tan ,22 斜边和一直角边（如c,a ）A B caA a c b ∠-=∠=-= 90,sin ,22【例4-1】 在Rt △ABC 中，∠C=90º,c=32,a=3，解这个直角三角形【变式】 在Rt △ABC 中，∠C=90º,a=20,b=320,解这个直角三角形.（二）已知直角三角形的一边和一只锐角解直角三角形已知条件解法已知一条边和一个锐角一直角边和一锐角（如a,∠A）AacAabABsin,tan,90==∠-=∠斜边和一锐角（如c,∠A）AcbAcaAB cos,sin,90⋅=⋅=∠-=∠【例4-2】在Rt△ABC中，∠C=90º,a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的对边，解下列直角三角形. （1）已知b=10,∠B=60º；（2）已知c=38,∠A=60º.【变式】已知在Rt△ABC中，∠C=90º,∠A=30º,b=32，解这个直角三角形.（三）解非直角三角形方法：添加辅助线，转化为两个具有公共边特征的直角三角形，常见的两种形式如下：【例4-3】 如图所示，在△ABC 中，∠A=30º,∠B=45º,AC=32,求AB 的长.【变式】 如图，在△ABC 中，∠B=45º,∠ACB=120º,AC=6，求BC 的长. 课后作业1、在Rt △ABC 中，∠C=90º,sinA=54，则tanA 的值为（ ） A.34 B.43 C.53 D.54 1、在△ABC 中，∠C=90º，AB=13,BC=5，则cosB 的值是（ ） A.135 B.1312 C.125 D.513 2、在Rt △ABC 中，如果各边长度都扩大为原来的2倍，则锐角A 的余弦值（ ） A.扩大2倍 B.缩小2倍 C.扩大4倍 D.没有变化3、如图，P 是∠α的边OA 上一点，且点P 的坐标为(3,4)，则sin α= .4、计算002(1)2sin 30tan 453tan 302+- 00020002cos603tan 30tan 45(2)2cos 45tan 60sin 60+++∙（3）0)12(60tan 45tan 30cos 2-+-+5、如图，在Rt △ABC 中，∠B = 90°，AC = 200，6.0sin =A ，求BC 的长。

6、如图，在Rt △ABC 中，∠C = 90°，AC = 10，1312cos =A ，求AB 的长及sinB 。

7、如图，Rt △ABC 是一防洪堤背水坡的横截面图，斜坡AB 的长为12m ，它的坡角为45°，为了提高该堤的防洪ABCABC能力，现将背水坡改造成坡比为1:1.5的斜坡AD ，求DB 的长.(结果保留根号)8、已知，四边形ABCD 中，∠ABC = ∠ADB =090，AB = 5，AD = 3，BC = 32,求四边形ABCD 的面积 S 四边形ABCD .。