法有
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绳子谜题、 术和巧环中的应用
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Quattro
要将Quattro的四个 分离, 绳 须环 与之相套的 . 用反证法. 非 此, 左图所示, 虚线 以将套 一起的绳 . 由此 推出中图 与平凡 同痕(isotopic). 而 右图所示, 此 有 性, 但平凡 没有 种性质, 矛盾.
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始谜题
链环基
(fundamental group): {a, b|−}; 绳子对应
素: aba−1 b−1 .
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始谜题
链环基 : {a, b|ab = ba}; 绳子对应 素: aba−1 b−1 = baa−1 b−1 = e (单位 ). 利用基 , 使用迭代法 易构 n锁谜题.
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北京 科
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证明
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Quattro puzzle John H. Conway的绳舞
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ddk巧环
类似 证明ddk(
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方吧“巧环巧
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”论坛版主)设计的一
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巧环[11]无 .
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挂画谜题 双锁谜题 太极环无 证明
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Quattro puzzle John H. Conway的绳舞
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太极环
易知道 左 图巧环无 太极环无 , 分 常方 ) 面两图中链环的琼斯多项式得到：
计算(使用 件KNOT[10]非
它们的琼斯多项式 等, 故太极环无
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.
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始谜题
墙 有两个钉子, 按 通常的方法将画挂 来时, 画还会挂 另一个钉子 . 问题: 何将画挂起来, 使得拔掉其中 ( 见[3, 4])
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,
图所示, 当一个钉子掉下
何一个钉子, 画 会掉下来?
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推广: 5锁
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挂画谜题 双锁谜题 太极环无 证明
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Quattro puzzle John H. Conway的绳舞
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充:
法
方吧“巧环巧 ”论坛版主忧天杞 注意到Quattro类谜题的逻辑 构与 典巧环 连环关系密切[19]. 例 ,Quattro= 连环+二连环+一连环, 图为 连环示意图.
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答案
顺时针缠 第一个钉子一周记作a, 时针缠 第一个钉子一周记作a−1 . 顺 时针缠 第二个钉子一周记作b, 时针缠 第二个钉子一周记作b−1 . 图 对应缠 方式aba−1 b−1 . 拔掉第一个钉子即是将a与a−1 从aba−1 b−1 中 掉, 从而对应缠 : bb−1 = e (无缠 ). 同理, 拔掉第二个钉子画也掉下来.
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掉, 拔掉 意两个钉子画掉下来.
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一般情形
对n个钉子赋予 尔 量xi , 1 ≤ i ≤ n:
xi := 1 拔掉第i个钉子, 0
留第i个钉子. 尔函数
1 画掉, 0 画
一般情形的挂画谜题即是将 意给定的单
f (x1 , x2 , . . . , xn ) :=
图, 准 两根绳子, 四舞 各执绳子一端, 令t 有理数, t=0为初始状态.
示绳子的缠 方式对应的
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基
舞
(基
换)
两种基 舞 (或称为对绳子的两种基 换): 转(Twist), 旋转(Turn). 两种 换下绳子缠 方式对应的有理数做相应 化.
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充: 根
绳图直
计算t值
Figure: t = [−4, 2, −2, 2] = 2 +
1 −2+
1 2+ 1 −4
=
13 10
将绳图转换为
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准形式后对应唯一的连分数
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锁的替代物
Figure: Four Canoes (Ferguson, H.)
将锁替换为图中带
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的环(绳子或铁链
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穿过狭缝),
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作更为方 .
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当四 按基 舞 跳一段时间之后, 绳子一般会 缠成一团, 例 成 图 的样子. 何按基 舞 跳舞, 将绳子 为初始状态? 利用Conway的有理缠 (Rational Tangles)理论[13, 14, 15, 16], 只需将t按基 换 为0即 , 当 , 绳子随之做相应 换. 例 , 图的缠 按以下序列做 换: 13 10 3 13 10 7 4 1 2 3 1 1 10 , − 13 , 13 , − 3 , − 3 , − 3 , − 3 , − 3 , 3 , − 2 , − 2 , 2 , −2, −1, 0.
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锁的替代物
Figure: Cast Quartet(Hanayama)
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推广: 4锁
右图链环基 : {a, b, c, d|ab = ba, bc = cb, cd = dc}; 绳子对应 素: −1 −1 −1 −1 aba cb dc d = bcb−1 dc−1 d−1 = cdc−1 d−1 = e.
示,
见[17, 15].
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Borromean rings
将钉子 为 环, 两 环与绳 形成Borromean rings: 意一环 余下的两环分离.
环相套, 破坏其中
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类似谜题: 互锁多
形
尔函数也 以用互锁多
类似于挂画谜题, 意给定的单 形(interlocked polygons)实现, 见[18].
Figure: f (x1 , x2 , x3 ) = ((x1 ∧ x2 ) ∨ x3 ) ∧ (x1 ∨ x3 ), 见[18] Figure 8.
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