2001年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。

第I 卷1至2页。

第II 卷3至9页。

共150分。

考试时间120分钟。

第I 卷（选择题60分）注意事项：1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上。

3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回。

参考公式：三角函数的积化和差公式()()[]βαβαβα-++=sin sin 21cos sin ()()[]βαβαβα--+=sin sin 21sin cos ()()[]βαβαβα-++=cos cos 21cos cos ()()[]βαβαβα--+-=cos cos 21sin sin 正棱台、圆台的侧面积公式()l c c S +'=21台侧其中c '、c 分别表示上、下底面周长，l 表示斜高或母线长台体的体积公式()h S S S S V +'+'=31台体其中S '、S 分别表示上、下底面积，h 表示高一、选择题：本大题共12小题；第每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）若0cos sin >θθ，则θ在（A ）第一、二象限（B ）第一、三象限（C ）第一、四象限（D ）第二、四象限（2）过点()()1,11,1--B A 、且圆心在直线02=-+y x 上的圆的方程是（A ）()()41322=++-y x （B ）()()41322=-++y x （C ）()()41122=-+-y x （D ）()()41122=+++y x （3）设{}n a 是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是（A ）1（B ）2（C ）4（D ）6（4）若定义在区间()01，-内的函数()()1log 2+=x x f a 满足0)(>x f ，则a 的取值范围是（A ）（0，21）（B ）（0，21]（C ）（21，+∞）（D ）（0，+∞）(5)极坐标方程)4sin(2πθρ+=的图形是o（A ）（B ）（C ）（D ）（6）函数)0(1cos ≤≤-+=x x y π的反函数是（A ）)20)(1arccos(≤≤--=x x y （B ）)20)(1arccos(≤≤--=x x y π（C ）)20)(1arccos(≤≤-=x x y （D ）)20)(1arccos(≤≤-+=x x y π（7）若椭圆经过原点，且焦点为)0,3(),0,1(21F F ，则其离心率为（A ）43（B ）32（C ）21（D ）41（8）若40πβα<<<，a =+ααcos sin ，b =+ββcos sin ，则（A ）b a <（B ）b a >（C ）1<ab （D ）2>ab （9）在正三棱柱111C B A ABC -中，若12AB =，则1AB 与B C 1所成的角的大小为（A ）60°（B ）90°（C ）105°（D ）75°（10）设)()(x g x f 、都是单调函数，有如下四个命题：○1若)(x f 单调递增，)(x g 单调递增，则)()(x g x f -单调递增；○2若)(x f 单调递增，)(x g 单调递减，则)()(x g x f -单调递增；○3若)(x f 单调递减，)(x g 单调递增，则)()(x g x f -单调递减；○4若)(x f 单调递减，)(x g 单调递减，则)()(x g x f -单调递减；其中，正确的命题是（A ）○1○3（B ）○1○4（C ）○2○3（D ）○2○4（11）一间民房的屋顶有如图三种不同的盖法：○1单向倾斜；○2双向倾斜；○3四向倾斜.记三种盖法屋顶面积分别为321P P P 、、.①② ③若屋顶斜面与水平面所成的角都是α，则（A ）123P P P >>（B ）123P P P =>（C ）123P P P >=（D ）123P P P ==（12）如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相联。

连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量。

现从结点A 向结点B 传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递。

则单位时间内传递的最大信息量为（A ）26（B ）24（C ）20（D ）19第II 卷（非选择题90分）注意事项：1．第II 卷共7页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中。

2．答卷前将密封线内的项目填写清楚。

二．填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上。

（13）若一个椭圆的轴截面是等边三角形，其面积为3，则这个椭圆的侧面积是（14）双曲线116922=-y x 的两个焦点为21F F 、，点P 在双曲线上.若1PF ⊥2PF ，则点P 到x 轴的距离为.（15）设{}n a 是公比为q 的等比数列，n S 是它的前n 项和.若{}n S 是等差数列，则=q .（16）圆周上有2n 个等分点（1>n ），以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为.三、解答题：本大题共6小题；共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

(17)(本小题满分12分)如图，在底面是直角梯形的四棱锥ABCD S -中，∠90=ABC °，SA ⊥面ABCD ，1===BC AB SA ，21=AD .(Ⅰ)求四棱锥ABCD S -的体积；(Ⅱ)求面SCD 与面SBA 所成的二面角的正切值.(18)(本小题满分12分)已知复数31)1(i i z -=.(Ⅰ)求1arg z 及1z ；(Ⅱ)当复数z 满足1=z ，求1z z -的最大值.（19）(本小题满分12分)设抛物线)0(22>=p px y 的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于B A 、两点.点C 在抛物线的准线上，且BC ∥x 轴.证明直线AC 经过原点O .（20）(本小题满分12分)已知n m i ,,是正整数，且n m i <≤<1.(Ⅰ)证明in iim iP m P n <；(Ⅱ)证明mnn m )1()1(+>+.(21)(本小题满分12分)从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业.根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少51.本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加41.(Ⅰ)设n 年内（本年度为第一年）总投入为n a 万元，旅游业总收入为n b 万元.写出n n b a ,的表达式；(Ⅱ)至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入?(22)(本小题满分14分)设)(x f 是定义在R 上的偶函数，其图象关于直线1=x 对称，对任意21,0[,21∈x x ，都有)()()(2121x f x f x x f ∙=+，且0)1(>=a f .(Ⅰ)求21(f 及)41(f ;(Ⅱ)证明)(x f 是周期函数；(Ⅲ)记)212(nn f a n +=，求)(ln lim n n a ∞→.2001年普通高等学校招生全国统一考试数学试题（理工农医类）参考解答及评分标准说明：一.本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生物解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二.对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定部分的给分，但不得超过该部分正确解答得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三.解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四.只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．一.选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分60分．（1）B （2）C （3）B （4）A （5）C （6）A （7）C （8）A（9）B（10）C（11）D（12）D二.填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分16分．（13）2π（14）516（15）1（16）2n (n －1)三.解答题：（17）本小题考查线面关系和棱锥体积计算，以及空间想象能力和逻辑推理能力．满分12分．解：（Ⅰ）直角梯形ABCD 的面积是M 底面()43125.0121=⨯+=⋅+=AB AD BC ，……2分∴四棱锥S —ABCD 的体积是⨯⨯=SA V 31M 底面43131⨯⨯=41=．……4分（Ⅱ）延长BA 、CD 相交于点E ，连结SE 则SE 是所求二面角的棱．……6分∵AD ∥BC ，BC =2AD ，∴EA =AB =SA ，∴SE ⊥SB ，∵SA ⊥面ABCD ，得SEB ⊥面EBC ，EB 是交线，又BC ⊥EB ，∴BC ⊥面SEB ，故SB 是CS 在面SEB 上的射影，∴CS ⊥SE ，所以∠BSC 是所求二面角的平面角．……10分∵22AB SA SB +=2=，BC =1，BC ⊥SB ，∴tan ∠BSC =22=SB BC ．即所求二面角的正切值为22．……12分（18）本小题考查复数基本性质和基本运算，以及分析问题和解决问题的能力．满分12分．解：（Ⅰ）z 1=i (1－i )3=2－2i ，将z 1化为三角形式，得⎪⎭⎫⎝⎛+=47sin47cos 221ππi z ，∴47arg 1π=z ，221=z ．……6分（Ⅱ）设z =cos α＋i sin α，则z －z 1=(cos α－2)＋(sin α＋2)i ，()()22212sin 2cos ++-=-ααz z sin 249+=(4πα-)，……9分当sin(4πα-)=1时，21z z -取得最大值249+．从而得到1z z -的最大值为122+．……12分（19）本小题考查抛物线的概念和性质，直线的方程和性质，运算能力和逻辑推理能力．满分12分．证明一：因为抛物线y 2=2px (p ＞0)的焦点为F (2p，0)，所以经过点F 的直线的方程可设为2p my x +=；……4分代入抛物线方程得y 2－2pmy －p 2=0，若记A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1，y 2是该方程的两个根，所以y 1y 2=－p 2．……8分因为BC ∥x 轴，且点c 在准线x =－2p上，所以点c 的坐标为（－2p，y 2），故直线CO 的斜率为111222x y y p p y k ==-=．即k 也是直线OA 的斜率，所以直线AC 经过原点O ．……12分证明二：如图，记x 轴与抛物线准线l 的交点为E ，过A 作AD ⊥l ，D 是垂足．则AD ∥FE ∥BC ．……2分连结AC ，与EF 相交于点N ，则ABBF AC CN AD EN ==，，ABAF BCNF =……6分根据抛物线的几何性质，AD AF =，BC BF =，……8分∴NF ABBC AF ABBF AD EN =⋅=⋅=，即点N 是EF 的中点，与抛物线的顶点O 重合，所以直线AC 经过原点O ．……12分（20）本小题考查排列、组合、二项式定理、不等式的基本知识和逻辑推理能力．满分12分．（Ⅰ）证明：对于1＜i ≤m 有i m p =m ·…·(m －i ＋1)，⋅-⋅=m m m m mp ii m 1…m i m 1+-⋅，同理⋅-⋅=n n n n n p iin 1…n i n 1+-⋅，……4分由于m ＜n ，对整数k =1，2…，i －1，有mkm n k n ->-，所以i im i i n mp n p >，即im i i ni p n p m >．……6分（Ⅱ）证明由二项式定理有()in ni i nC m m ∑==+01，()im mi i mC n n ∑==+01，……8分由(Ⅰ)知in ip m ＞im ip n (1＜i ≤m ＜n ＝，而!i p C i m im=，!i p C in in =，……10分所以，im i i n i C n C m >(1＜i ≤m ＜n ＝．因此，∑∑==>mi im i mi iniC n Cm 22．又10==m n C n C m ，mn nC mC m n ==11，()n i m C m in i≤<>0．∴∑∑==>mi im i ni iniC n Cm 0．即(1＋m )n ＞(1＋n )m ．……12分（21）本小题主要考查建立函数关系式、数列求和、不等式等基础知识；考查综合运用数学知识解决实际问题的能力．满分12分．解：（Ⅰ）第1年投入为800万元，第2年投入为800×（1－51）万元，……，第n 年投入为800×（1－51）n －1万元．所以，n 年内的总投入为a n =800＋800×（1－51）＋…＋800×（1－51）n －1∑=--⨯=nk k 11511(800=4000×[1－(54)n]；……3分第1年旅游业收入为400万元，第2年旅游业收入为400×（1＋41）万元，……，第n 年旅游业收入为400×（1＋41）n －1万元．所以，n 年内的旅游业总收入为b n =400＋400×（1＋41）＋…＋400×（1＋41）n －1∑=-⨯=nk k 1145(400=1600×[(54)n－1]．……6分（Ⅱ）设至少经过n 年旅游业的总收入才能超过总投入，由此b n －a n ＞0，即1600×[（45）n －1]－4000×[1－（54）n ]＞0．化简得5×（54）n ＋2×（54）n －7＞0，……9分设=x （54）n ，代入上式得5x 2－7x ＋2＞0，解此不等式，得52<x ，x ＞1(舍去)．即（54）n ＜52，由此得n ≥5．答：至少经过5年旅游业的总收入才能超过总投入．……12分（22）本小题主要考查函数的概念、图像，函数的奇偶性和周期性以及数列极限等基础知识；考查运算能力和逻辑思维能力．满分14分．（Ⅰ）解：因为对x 1，x 2∈[0，21]，都有f (x 1＋x 2)=f (x 1)·f (x 2)，所以=)(x f f (2x)·f (2x)≥0，x ∈[0，1]．∵=)1(f f (2121+)=f (21)·f (21)=[f (21)]2，f (21)=f (4141+)=f (41)·f (41)=[f (41)]2．……3分0)1(>=a f ，∴f (21)21a =，f (41)41a =．……6分（Ⅱ）证明：依题设y =f (x )关于直线x =1对称，故f (x )=f (1＋1－x )，即f (x )=f (2－x )，x ∈R ．……8分又由f (x )是偶函数知f (－x )=f (x )，x ∈R ，∴f (－x )=f (2－x )，x ∈R ，将上式中－x 以x 代换，得f (x )=f (x ＋2)，x ∈R ．这表明f (x )是R 上的周期函数，且2是它的一个周期．……10分（Ⅲ）解：由（Ⅰ）知f (x )≥0，x ∈[0，1]．∵f (21)=f (n ·n 21)=f (n 21＋（n －1）·n 21)=f (n21)·f (（n －1）·n 21)=f (n 21)·f (n 21)·…·f (n 21)=[f (n 21)]n ，f (21)=21a ，∴f (n 21)=n a 21．∵f (x )的一个周期是2，∴f (2n ＋n 21)=f (n 21)，因此a n =n a 21，……12分∴()∞→∞→=n n n a lim ln lim (a n ln 21)=0．……14分。