○○
直 线
。
N ＜Ncr N ＜Ncr
Ncr
○○
○ ○
○ ○
Ncr
N > Ncr
○ ○
○ ○
直
直
直
弯 平失 弯
线
线
线
曲 衡去 曲
平
平
平
平 直破
衡
。
。衡
。衡
。衡 。线 坏
理想轴心压杆的弹性弯曲屈曲计算公式的推导
N
稳
定
平
衡
状
态
F
对两端铰支的理想细长压杆， 当压力N较小时，杆件只有轴心压 缩变形，杆轴保持平直。如有干扰
N
稳 定 平 衡F 状 态
N
随 遇 平 衡F 状 态
Ncr Ncr
临
界 状
F
态
l
N
N
Ncr
l
下面按随遇平衡法推导临界力Ncr
Ncr
y y1 y2
Ncr M=Ncr·y
x
Ncr Ncr
取微弯状态平衡分析，如下：
轴心压杆发生弯曲时,截面中将引起弯矩M和剪力V，任一
点由弯矩M产生的变形为y1，由剪力V产生的变形为y2，总变 形y=y1+y2。
结构的整体失稳破坏
N
失稳形态与截面形式有密切关系
轴心整体屈曲形式:
弯曲屈曲—构件仅绕弱轴弯曲。
扭转屈曲—截面仅发生扭转变形。
弯扭屈曲—既有弯曲变形又发生扭转变形。
N
一、理想轴心压杆的临界力
理想轴心受压构件（理想直，理想轴心受力）当其压力小于某个值 （Ncr）时，只有轴向压缩变形和均匀压应力。达到该值时，构件可能弯 曲或扭转，产生弯曲或扭转应力。此现象称：构件整体失稳或整体屈曲。 意指：失去了原先的直线平衡形式的稳定性。
或长细比
cr
2E 2
fp
p
E fP
4、理想轴心压杆的弹塑性弯曲屈曲
当σcr＞fp后，σ-ε曲线为非线性,σcr难以确定。 历史上曾出现过两种理论来解决该问题，即：切线模 量理论和双模量理论。
临界力Ncr：
2EI
Ncr l02
其对应的临界应力：
Ncr
Ncr
cr
Ncr A
2E 2
Ncr
l
使之微弯，干扰撤去后，杆件就恢
复原来的直线状态，这表示直线状
态的平衡是稳定的。
N
l
N
随 遇 平 衡F 状 态
N
当逐渐加大N力到某一数值时，如有 干扰，杆件就可能微弯，而撤去此干扰 后，杆件仍然保持微弯状态不再恢复其 原有的直线状态，这时除直线形式的平 衡外，还存在微弯状态下的平衡位置。 这种现象称为平衡的“分枝”，而且此 时外力和内力的平衡是随遇的，叫做随 遇平衡或中性平衡。
Ncr
这是著名的L. Euler荷载，常用Ne表示。1744
年俄国数学家欧拉提出，19世纪被实验证实对
细长柱是正确的。
轴心受压杆件的弹性弯曲屈曲
N
N
A 稳 定 平F 衡 状 态
B 随 遇 平F 衡 状 态
l
N
N
Ncr Ncr C 临 界 状F 态
Ncr
整体弯曲屈曲实例
二、残余应力的影响 1. 残余应力产生的原因
再 引 入 边 界 x条 l，y件 0， ：得 ： Asinkl0
解上式，得：
A=0 不符合杆件微弯的前提，不是问题的解答。
sinkl0kln（n1， 2， 3） 取n1， 得k： l 即 ： k2 2 l2
因： k2
Ncr
2
EI1Ncr l2
GA
解出N即为中性平衡的临界力Ncr
Ncr l22 EI1l22 E 1IG A 临界应力 cr：
(c) 格构式柱 （缀条式）
四、轴心受压构件的设计内容
状态 构件
承载能力极限状态
轴心受压构件 强度、稳定性
正常使用极限状态 刚度（长细比）
轴心受压构件的强度、刚度计算与受拉构件相同。 轴心受压构件的截面设计往往由稳定所决定。稳定问题 包括整体稳定和局部稳定。
第二节 轴心受压实腹式构件的整体稳定性
①焊接时的不均匀加热和冷却； ②型钢热扎后的不均匀冷却； ③板边缘经火焰切割后的热塑性收缩； ④构件冷校正后产生的塑性变形。
残余应力的测量方法：锯割法
二：柱的组成
三、轴心受压构件的分类： 按截面形式分
实腹式
格构式
缀条式 缀板式
缀板柱
格构式柱实例
缀条柱
实腹式轴压柱与格构式轴压柱
柱头
柱头
01l 1l 01l =l1
柱身 柱脚
缀 板
缀 条
柱身 柱脚
y
(a)
x y
x
实腹式柱
x（虚轴）
x （虚轴）
y
y
y
y
（实轴）
（实轴）
x
x
(b) 格构式柱 （缀板式）
由于MNcr y，得：
d2yNcr yNcr d2y
dx2 EI
GA dx2
即 ： y 1G N crA N E crIy0
令k2
Ncr
EI
1
Ncr
GA
则： yk2y 0
这是常系数线性二阶齐次方程，其通解为:
yA sik n x B co ks x
引 入 边 界 x0， 条 y件 0，： B 得 0， 从 而 ： yAs iknx
l
Ncr Ncr
临 界F 状 态
Ncr
当外力N超过此数值时，微小的干 扰将使杆件产生很大的弯曲变形随即 破坏，此时的平衡是不稳定的，即杆 件“屈曲”。中性平衡状态是从稳定 平衡过渡到不稳定平衡的一个临界状 态，所以称此时的外力N值为临界力。 此临界力可定义为理想轴心压杆呈微 弯状态的轴心压力。
理想轴心受压杆件随N的增加，整个工作状态如下：
由材料力学知：
d 2 y1 dx2
M EI
剪力V产生的轴线转角为
1VdM
G G A GAdx
A、I 杆件截面积和惯性矩； E、G 材 料 弹 性 模 量 和 剪量变；模
与截面形状有关的。系数
因为：
d2y2 dx2
GA
d2M dx2
所以： d dx 2y 2d d 2 xy 2 1d d 2 xy 2 2E M IG Ad d 2 x M 2
cr
Ncr A22E12E12源自GA(45)(46)
对实腹式构件剪切变形的影响较小，可忽略不计，即
得欧拉临界力和临界应力：
N c r N El 2 2 E I2 E 2 A
(4 7 )
crE22 E
(48 )
上述推导过程中，假定材料满足虎克定律，E为常量， 因此当截面应力超过钢材的比例极限 fp 后，欧拉临界力 公式不再适用，以上公式的适用条件应为：
水工钢结构第五章 钢柱与钢压杆
第一节 钢柱与钢压杆的应用和构造形式
一、基本概念
轴心受力构件：只受通过构件截面形心轴线的轴向力作用的构件。 轴心受拉构件：轴向力为拉力时称轴心受拉构件。 轴心受压构件：当轴向力为压力时称轴心受压构件 。 柱：用来支承梁、桁架等构件并将荷载传递给基础的受 压构件。它由柱头、柱身、柱脚组成。 拉弯构件：同时受拉和受弯的构件称为拉弯构件。 压弯构件：同时受压和受弯的构件称为压弯构件。