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高中数学《一元二次函数方程和不等式》公开课优秀教学设计

课题:一元二次函数、方程和不等式(衔接课)一、教学设计1.教学内容解析在现行人民教育出版社A版高中数学教材中,“一元二次不等式的解法”这一部分内容安排在《必修5》的第三章第二节,学生高二时才学习,导致高一学生在学习《必修1》的“集合”、“函数”等内容时,有一定的障碍,达不到一定的深度,初高中数学内容衔接不连贯,对于这一部分内容,老师普遍认为应调整到《必修1》之前,或是安排在《必修1》的“集合”之后,“函数”之前比较好.本节课的产生正是基于以上原因,但它并不是一节“一元二次不等式的解法”的新知课,也不是一节复习课,而是一节衔接课,以一元二次函数、一元二次方程与一元二次不等式(后面称三个“二次”)三者之间的关系及其应用为核心内容,特别是用函数的观点来处理方程与不等式问题,引导学生感悟高中阶段数学课程的特征,适应高中阶段的数学学习,为高中数学课程的学习作学习心理、学习方式和知识技能等方面的准备,帮助学生完成初高中数学学习的过渡.三个“二次”是初中三个“一次”(一元一次函数、一元一次方程与一元一次不等式)在知识上的延伸和发展,它是函数、方程、不等式问题的基础和核心,在高中数学中,许多问题的解决都会直接或间接用到三个“二次”.如,解析几何中解决直线与二次曲线位置关系问题,导数中导函数为二次函数时的许多问题等,同时,此部分内容又是培养函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想以及等价转化思想的极好素材,本节课的地位和作用主要体现在它的基础性和工具性方面.根据以上分析,本节课的教学重点确定为教学重点:一元二次函数、一元二次方程与一元二次不等式三者之间的关系及应用.2.学生学情诊断本节课的授课对象为华中师大一附中高一平行班学生,华中师大一附中是湖北省示范高中,学生基础很好,一般而言,学生已经掌握了一次函数、二次函数的图象与性质,简单的一元二次不等式的解法,能利用函数图象解决简单的方程和不等式问题. 但是,当所研究的问题中含有参数或者综合性较强、或者运算较复杂的时候,学生往往不能正确理解题意,不能准确地利用三个“二次”之间的内在联系进行合理转化,不善于分类讨论,不善于归纳总结,对函数、方程、不等式的处理方法不够完整,没有形成基本的规律.教学难点:含参数的二次方程、不等式,如何利用三个“二次”之间的关系进行等价转化处理,为今后处理其它类型的函数、方程、不等式问题提供范式.3.教学目标设置(1)理解一元二次函数、一元二次方程及一元二次不等式三者之间的关系;(2)能够用二次函数的观点处理二次方程和二次不等式问题,感悟函数的重要性以及数学知识之间的关联性;(3)引导学生感悟高中阶段数学课程的特征,适应高中阶段的数学学习,能够在本主题的学习中,逐步提升数学抽象、逻辑推理、几何直观和数学运算等核心素养.4.教学策略分析本课作为初高中内容和方法上的“衔接课”,有其重要特点:一不能靠单纯的复习;二不宜上成新课;三,必须展示基本的套路,而又不可能一次到位;四,需要立足于函数、圆锥曲线等核心概念必然联系的高度,着眼于继续学习,而又必须遵循数学的自然顺序,避免后继内容的前移。

这种课的关键是整合和提升,形成基本套路并了解它在进一步学习中的基本价值。

这些都需要问题驱动,循序渐进,在师生互动中不断地归纳总结。

5.教学过程环节一:回顾师:同学们,我们初中学过一元一次不等式,同学们说说这个不等式023>-x 的解集是多少啊?生:32>x . 师:诶,怎么算出来的啊?哪位同学来说说?生:把2移到右边去,再不等式左右两边同时除以3.师:你的解题依据是什么呢?生:不等式的性质.师:很好,请坐,这位同学利用不等式的性质,从代数的角度把这个不等式解出来了,还有其它的解法吗?生:可以先画出一次函数的图象,从图象可以看出不等式的解集.师:好,我们先画图象,怎么画这个函数的图象?生:找两个点.师:找那两个点比较好?生:与坐标轴的交点.师:与x 轴的交点是多少?生:)0,32(. 师:这32是怎么出来的啊? 生:令0=y . 即023=-x ,这个方程的根.师:很好,与x 轴的交点的横坐标恰好是对应一次方程的根. 与y 轴的交点是多少? 生:令0=x . 得2-=y ,交点)2,0(-. 师:所以这个不等式的解集就是?生:32>x ,即图象在x 轴上方时所对应的x 的范围. 师:很好,请坐,由此可以看出一次函数、一次方程和一次不等式三者之间有着密切的联系,谁来概括一下?生:一次方程的根就是一次函数图象与x 轴交点的横坐标(即一次函数的零点), 一次不等式的解集就是一次函数图象在x 轴上方时所对应的x 的范围, 一次方程的根也是一次不等式解集的端点师:同学们再想一想,这三者之间为什么会有关系呢?生:……师:我们从代数表达式来看一看, 一次方程、一次不等式和一次函数,这个三个表达式有什么共同点?^……,都含有一次式,对吧,所以它们之间有关系.【评析】回顾初中知识,利用一次函数的图象理解一次方程和一次不等式. 由三个“一次”,类比引出课题,并为三个“二次”的研究提供思路.环节二:整合师:很好,一次函数、一次方程和一次不等式三者之间有着密切的关系. 我们再来看一下一元二次函数)0(2≠++=a c bx ax y ,一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 、一元二次不等式)0(02≠>++a c bx ax ,)0(02≠<++a c bx ax .师:从它们表达式来看,好像也有相同的部分,是什么呀?……,二次多项式,对吧?那么这三个二次之间是否也有类似三个一次之间的关系呢?这就是我们这节课要研究的内容,首先请同学们画画这个二次函数的图象. (板书课题)画出二次函数322--=x x y 的图象.观看几何画板动画,随着动点C 横坐标x 的变化,纵坐标y 的变化情况.(1) 当x 取哪些值时,0=y ? (2)方程0322=--x x 的根为 ; 当x 取哪些值时,0>y ? 不等式0322>--x x 的解集为 ; 当x 取哪些值时,0<y ? 不等式0322<--x x 的解集为 .问题2:一元二次方程0322=--x x ,一元二次不等式0322>--x x 和一元二次函数322--=x x y ,三者之间有什么关系?动画展示:画一画看一看 说一说 变一变问题3:对于一般的一元二次方程、一元二次不等式和一元二次函数,三者之间有什么关系?小组合作探究:师:二次函数、方程和不等式三者之间有着密切的联系,函数是核心,图象是载体,可以通过函数的观点来处理方程和不等式问题.【评析】以具体的常系数的二次函数、方程、不等式为例,让学生通过类比三个“一次”,理解三个“二次”之间的内在联系,突出二次函数在“三个二次”中的中心地位。

并对一般情形的二次函数、方程和不等式之间的关系进行整合,培养学生的数学抽象、几何直观、逻辑推理等核心数学素养,具体策略是问题驱动,在教学中,鼓励学生自主探索、合作研究. 师:好,对于一个具体的一元二次不等式,我们会求解集,如果反过来,已知不等式的解集,你会求这个不等式吗?同学们思考这样的一个问题:【例1】已知关于x 的不等式02<++c bx x 的解集为)3,1(-,求实数c b ,的值.【评析】逆向变式,强化一元二次函数、方程和不等式的内在联系.生1:依题意,3,1-是对应一元二次方程02=++c bx x 的两根,将1-=x 和3=x 代一元二次函数 一元二次方程 一元二次不等式 图象入方程得,⎪⎩⎪⎨⎧=+⋅+=+-⋅+-0330)1()1(22c b c b ,即⎩⎨⎧=++=++-09301c b c b , 解得⎩⎨⎧-=-=32c b . 生2:依题意,3,1-是对应一元二次方程02=++c bx x 的两根,由韦达定理有⎩⎨⎧=⨯--=+-c b 3131,解得⎩⎨⎧-=-=32c b . 师:很好,请坐. 根据三个“二次”之间的关系,不等式的解集就是函数图象在x 轴下方时,所对应的x 的取值范围,所以3,1-正好是图象与x 轴交点的横坐标,也就是方程02=++c bx x 的两个根,从而根据韦达定理,可以求出c b ,的值. (画图分析)环节三:提升辩证唯物主义告诉我们,任何事物都是运动、变化、发展的,当我们将方程和不等式中常系数改为字母时, 随着字母取值的不同,方程的根和不等式的解会发生相应的变化,这类方程和不等式称为含参方程和含参不等式,下面我们一起来研究两个含参问题.师:我们再把前面那个具体的方程变一下,系数上加一个参数,同学们思考这样的一个问题:【例2】已知关于x 的方程0322=+-ax x ,一根小于1,另一根大于1,求实数a 的取值范围.【评析】含参二次方程问题,继续对二次方程和二次函数进行整合提升,用函数的观点来处理方程问题. 生1:设32)(2+-=ax x x f ,则0)1(<f ,解之得2>a . 师:有不同意见吗?生2:不对,应该还要0>∆.师:诶,生2好像说得很有道理呢?还有其它观点吗?生3:我觉得生1是对的,因为0>∆的作用是控制图象与x 轴有两个交点,而这是开口向上的抛物线,0)1(<f 也能保证与x 轴有两个交点.师,同学们同意哪位同学的说法?生:曾子轩.师:很好,题目要求这个方程的两根,一个小于1,一个大于1,根据函数与方程的关系,方程的根就是函数图象与x 轴交点的横坐标,我们可以通过控制二次函数的图象来控制方程的根,也就是要保证函数图象与x 轴的交点,一个在1的左侧,一个在1的右侧. 只需要0)1(<f ,就可以控制住这个二次函数的图象了,当然如果把0>∆加进去,可不可以?也是可以的. 我们从代数的角度来检验一下,看两种解法的答案是否一样?法1:202-4)1(>⇒<=a a f法2:2330124202-4)1(2>⇒⎩⎨⎧>-<⇒>-=∆>⇒<=a a a a a a f 或. 师:这是一个方程问题,我们可以根据函数与方程的关系将它转化为函数问题来处理. 师:我们再把前面那个具体的不等式也变一下,系数上加一个参数,同学们思考这样的一个问题:【例3】若不等式0322>+-ax x 对任意]3,1[-∈x 恒成立,求实数a 的取值范围. 【评析】含参二次不等式问题,继续对二次不等式和二次函数进行整合提升,用函数的观点来处理不等式问题.组内学生相互讨论,分析解题思路,再让学生先分析.学生分析:只需二次函数32)(2+-=ax x x f ,在]3,1[-∈x 这一段的图象位于x 轴上方,应分三种情况讨论,当对称轴在区间的左边、中间和右边.师:非常不错啊,刘钰欣同学将这个不等式问题等价转化为函数图象问题,只需要函数图象在]3,1[-∈x 这一段的图象位于x 轴上方即可. 如何保证图象在x 轴上方呢?我们边看动画一起来分析.动画展示:随着a 的取值变化,函数图象与x 轴的位置关系.师:当对称轴在区间的左边时,怎么样就能保证图象在x 轴上方?生:只需要0)1(>-f ,师:很好,因为当对称轴在区间的左边时,函数在]3,1[-∈x 这一段的图象是上升的,即y 随着x 的增大而增大,只需要最小值0)1(>-f 即可.师:当对称轴在区间的里面时,怎么样就能保证图象在x 轴上方?生:0<∆.师:还可以通过什么来控制?生:0)(>a f .师:就是函数的最小值大于零即可.师:再来看,当对称轴在区间的右边时,怎么样就能保证图象在x 轴上方? 生:只需要0)3(>f ,师:很好,因为当对称轴在区间的右边时,函数在]3,1[-∈x 这一段的图象是下降的,即y 随着x 的增大而减小,只需要最小值0)3(>f 即可.下面同学们把具体的解答过程写出来,找一个同学上黑板完成具体过程:生:记32)(2+-=ax x x f ,这个函数的对称轴为a x =,则当1-<a 时,只需要024)1(>+=-a f ,解得2->a , 又1-≤a ,所以12-≤<-a ;当31<<-a 时,只需要01242<-=∆a ,解得33<<-a ,又31<<-a , 所以31<<-a ;当3>a 时,只需要0612)3(>-=a f ,解得2<a ,与3≥a 矛盾.综上:32<<-a .师:找个同学来点评一下.生:答案正确,但解题过程有点不对,没有讨论1-=a 和3=a 的情况.师:很好,这两种情况,可以加在哪里比较好.生:加在中间.师:很好,对于含参问题,我们除了要选择恰当的分类讨论标准之外,还应该注意分类讨论还应做到不重不漏..师:好,这是一个不等式问题,我们仍然将它转化为一个函数问题来处理.环节四:展望师:同学们,今天莅临我们课堂的还有一位神秘嘉宾,大家想不想见一下?生:想.师:掌声有请.嘉宾:学弟,学妹们好,首先自我介绍一下,我是现在高三(15)班的刘今欣同学,很高兴走进学弟学妹们的课堂,和大家一起交流、学习.嘉宾:大家都知道一元二次函数是中考的压轴题,那么,我们今天学习的二次函数、二次方程和二次不等式在以后的高中学习中有什么作用呢?课前,陈老师给我布置了一个任务,让我归纳整理一下. 二次函数、二次方程和二次不等式在高中数学其它领域的应用. 其实三个“二次”及其相关问题的处理方法广泛应用于高中数学的各大核心模块:如数列、三角函数、立体几何、解析几何、导数等.下面重点以三个“二次”在解析几何中的应用为例,让同学们对三个“二次”在以后学习中的地位和作用有所了解.【案例1】直线1:+=kx y l 与双曲线1222=-y x C :的右支交于不同的两点B A 、,求实数k 的取值范围.解:联立方程22121y kx x y =+⎧⎨-=⎩,消去y ,得到x 的一元二次方程 .022)2(22=++-kx x k ……①直线l 与双曲线C 的右支交于不同两点,等价于方程①有两个不相等的正实数根.即对应二次函数图象与x 轴有两个交点,且交点在y 轴右侧. 我们可以通过以下几个条件控制二次函数的图象.2222220,(2)8(2)0,20220.2k k k k k k ⎧-≠⎪∆=-->⎪⎪⎨->-⎪⎪>⎪-⎩ 解得k 的取值范围是22k -<<【案例2】(2016年江苏高考第19题)试题和答案如下:已知函数()()0,0,1,1x x f x a b a b a b =+>>≠≠.⑴ 设2a =,12b =① 求方程()2f x =的根; ② 若对于任意x ∈R ,不等式()()26f x mf x -≥恒成立,求实数m 的最大值; ⑵ 略.解:⑴ ① ()122xx f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,由()2f x =可得1222x x +=, 则()222210x x -⨯+=,即()2210x -=,则21x =,0x =;② 由题意得221122622x x x x m ⎛⎫++- ⎪⎝⎭≥恒成立, 令122x x t =+,则由20x>可得12222x x t ⨯=≥, 原问题等价于不等式2+4t mt -≥0,对任意的t 在),2[+∞上恒成立,记2()+4f t t mt =-,当对称轴02≤m ,即0≤m 时,显然成立; 当对称轴220≤<m ,即40≤<m 时,只需(2)820f m =-≥,即40≤<m ; 当对称轴22>m ,即4>m 时,只需216044m m ∆=-≤⇒-≤≤,与4>m 矛盾; 综上,40≤<m ,所以实数m 的最大值为4.【案例3】(2016年全国Ⅱ卷文科高考第11题)试题和答案如下:函数π()cos 26cos()2f x x x =+-的最大值为 (A )4 (B )5 (C )6 (D )7 解:因为2311()2(sin )22f x x =--+,而sin [1,1]x ∈-,所以当sin 1x =时,取最大值5, 以上是最终可以转化为二次函数、二次方程和二次不等式的题目,其实还有更多的考题是考其他类型的方程、不等式问题,也可以用函数的观点,数形结合的思想来处理,如 【案例4】(2016年山东卷文理高考第15题,填空压轴)试题和答案如下:已知函数=)(x f 2,,24,,x x m x mx m x m ⎧≤⎪⎨-+>⎪⎩其中0>m .若存在实数b ,使得关于x 的方程b x f =)(有三个不同的根,则m 的取值范围是_______.解:画出函数图像如下图所示:由图所示,要()f x b =有三个不同的根,需要红色部分图像在深蓝色图像的下方,即2224,30m m m m m m m >-⋅+->,解得3m >时间关系,我暂时只讲这么多,欢迎同学们以后常来找我交流,预祝学弟学妹们早日适应华师一的学习. 也预祝大家在这个顶尖中学度过愉快而又成功的三年高中生活!【评析】结课:从高中数学的核心问题中回望基础,让学生加深对三个“二次”作用的理解,并试图产生对进一步学习的期待.师:很好,谢谢这位学长. 高中数学中的许多问题,都与三个“二次”直接有关或间接有关. 二次函数、二次方程和二次不等式的研究方法为研究其它函数、方程和不等式提供了套路. 以后,对于其它类型的方程和不等式问题,我们仍然可以用函数的观点来处理.师:这里其实还蕴含着一种重要的数学思想方法,同学们说说,是什么?生:数形结合,师:著名数学家华罗庚专为数形结合思想写了一首诗,我们一起来朗诵一下.数缺形时少直观,形少数时难入微;数形结合百般好,隔离分家万事非。

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