A
a 与 b 垂直，
记作 a b
练习1、如图，等边三角形中，求
（1）AB与AC的夹角；
C'
（2）AB与BC的夹角。 C
120 60
A
通过平移 变成共起点！
B
我们学过功的概念，即一个物体在力F的 作用下产生位移s（如图）
F
┓
s
力F所做的功W可用下式计算 W=|F| |S|cosθ 其中θ是F与S的夹角
即 150 a b a b cos150
若a与b反向,则 180 , a b a b cos180
4 5 ( 3) 2
10 3
4 5 (1) 20
作业：练习 第3题.
习题 第1题.
隆德职业中学
（ 1）“ • ”不能省略不写，也不能写为“ ”
（2）a b表示数量而不表示向量,与a、a b、a b 不同, 它们表示向量；
（3） 在运用数量积公式解题时,一定要注意向量
夹角的取值范围是0 180
（4）这是一种新的运算法则，以前所学的运算律、 性质不适合．
练习1，已知|a |=5，|b |=4，a与b的夹角 60 ，
a ·b =| a || b |cos
设a，b都是非零向量，e是与b方向相同的单 位向量，是a与e的夹角,则
a⊥b=/2cos=0
| a || b |cos=0
(1)a⊥b a ·b =0.
a ·b =0
(2)当a与b同向时,a ·b=|a||b|;当a与b反向时,a·b=-|a||b|.
√ 特别地,a ·a (或写成 a 2)=| a |2或| a |= a ·a
(3)cos=( a ·b )/(|a||b|).
(4) e ·a = a ·e=| a |cos.
练习3、判断下列命题是否正确
1.若a=0,则对任意向量b，有a ·b=0.
()
2.若a≠0,则对任意非零向量b，有a ·b≠0.
(×)
3.若a≠0,且a ·b=0,则b=0.
(×)
4.若a·b=0，则a=0或b=0.
(2) a =(0,2) b =(-2,2)
已知: a 4, b 5,当⑴a∥b;
⑵ 当a⊥b时, 90
⑵ a⊥b;⑶a与b的夹角为150 a b a b cos90
时,分别求a与b的数量积.
0
解:
⑴∵a ∥b ,∴a与b同向或反向 ⑶ 当a与b夹角为150 ,
若a与b同向,则 0, a b a b cos 0 4 5 20
1、向量的夹角的概念
两个非零向量 a和 b ，作OA a, OB b，
则AOB bb 的夹角
B
记作<a,b>.
b
O
aA
注意:在两向量的夹角 定义中,两向量必须是 同起点的
B
a
ObB
0
a 与b 同向
a
ABb O
A
180
a与 b 反向
b
O
a
90
15
四、小结：
本节课我们主要学习了平面向量的夹角,数量 积的概念,运算率与性质，常见的题型主要有：
1、直接计算数量积（定义式以及夹角的定义） 2、由数量积求向量的模 3、由数量积确定两向量的夹角 4、运用数量积的性判定两向量是否垂直
练习2：作图并求出求下列各组向量的夹角
（1）a =(0,-3) b =(2,0)
解： （ka b）（a 2b）
（ka b）（ a 2b） 0
新疆 王新敞
奎屯
即k a 2
（2k
1）a b
2
2b
0
2
2
k a （2k 1）a b cos60o 2 b 0
25k （2k 1） 5 4 1 2 42 0
k 14
2
15
当k 14时，向量ka b与a 2b垂直。
求a ·b.
知道 a b与
解： a ·b =|a | |b |cosθ
a b 能不
5 4 cos 60 能求出 cos
54(1)
2
10
cos a b
ab
变1：当
0 时求
a
•
b
变2：当 90时求 a • b
变3：当 180 时求 a • b
变4：e 与 a 同方向，求 a e
3、向量数量积的性质
已知向量 a, b, c 和实数 ，则向量的数量积满足：
（1）a b b a （交换律）
（2）( a) b (a b) a (b) （数乘结合律）
（3）(a b) c a c b c （分配律）
4 (a b) c a (b c)（不一定成立）
例2、已知 a 5，b 4，a与b的夹角为60o，问当k为何值时， 向量k a b与a 2b垂直？
(×)
5.对任意的向量a，有a2=│a│2.
()
6.若a≠0,且a ·b=a ·c,则b=c.
(×)
7.对实数a,b,c有 (ab)c=a(bc) 对向量,是否有 (a.b)c=a(b.c)
4、向量数量积的运算律 运算律和运算紧密相连。引入向量数量积后，
自然要看一看它满足怎样的运算律。看看向量数量 积能否满足下面的运算律？
功是一个标量，它由力和位移两个向量来 确定。这给我们一种启示，能否把“功” 看成这两个向量的一种运算的结果呢？
2、数量积的概念
已知两个非零向量 a 和 b ，它们的夹角为 ，我们把数量
a b a b cos 叫做 a 与b 的数量积（或内积），记作
即有 a b = a b cos
规定：零向量与任意向量的数量积为0，即 0 a 0