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全等三角形模型(教案设计)

教学过程一、课堂导入【问题】如图,你能感觉到哪两个三角形全等吗?【思考】△ABD≌△ACE二、复习预习【问题】工人师傅常用角尺平分一个任意角,作法如下:如图,∠AOB是一个任意角,在边OA,OB上分别取OM=ON.移动角尺,使角尺两边相同的刻度分别与M、N重合.则过角尺顶点P的射线OP便是∠AOB的角平分线,为什么?请你说明理由.【解答】OP平分∠AOB理由如下:∵OM=ON,PM=PN,OP=OP∴△MOP≌△NOP(SSS)∴∠MOP=∠NOP∴OP平分∠MON(即OP是∠AOB的角平分线)三、知识讲解考点1全等三角形性质:全等三角形的对应边相等,对应角相等,对应边上的高、中线相等,对应角的平分线相等。

考点2全等三角形的判定:所有三角形SAS、ASA、AAS、SSS;直角三角形HL四、例题精析【例题1】【题干】如图,正方形ABCD中,E、F分别为BC、CD上的点,且AE⊥BF,垂足为点G.求证:AE=BF.【答案】证明:∵正方形ABCD,∴∠ABC=∠C=90°,AB=BC.∵AE⊥BF,∴∠AGB=∠BAG+∠ABG=90°,∵∠ABG+∠CBF=90°,∴∠BAG=∠CBF.在△ABE和△BCF中,BAE CBF AB CBABE BCF∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩,∴△ABE≌△BCF(ASA),∴AE=BF.【解析】根据正方形的性质,可得∠ABC与∠C的关系,AB与BC的关系,根据两直线垂直,可得∠AGB的度数,根据直角三角形锐角的关系,可得∠ABG与∠BAG的关系,根据同角的余角相等,可得∠BAG与∠CBF的关系,根据ASA,可得△ABE≌△BCF,根据全等三角形的性质,可得答案.【例题2】【题干】如图,四边形ABCD是正方形,BE⊥BF,BE=BF,EF与BC交于点G.(1)求证:AE=CF;(2)求证:AE⊥CF.【答案】(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,∴∠ABC=90°,AB=BC,∵BE⊥BF,∴∠FBE=90°,∵∠ABE+∠EBC=90°,∠CBF+∠EBC=90°,∴∠ABE=∠CBF,在△AEB和△CFB中,AB BCABE CBF BE BF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AEB≌△CFB(SAS),∴AE=CF.(2)延长AE交BC于O,交CF于H,∵△AEB≌△CFB,∴∠BAE=∠BCF,∵∠ABC=90°,∴∠BAE+∠AOB=90°,∵∠AOB=∠COH,∴∠BCF+∠COH=90°,∴∠CHO=90°,∴AE⊥CF【解析】(1)利用△AEB≌△CFB来求证AE=CF.(2)利用全等三角形对应角相等、对顶角相等、等量代换即可证明.【例题3】【题干】(2014•顺义区一模)已知:如图1,△MNQ中,MQ≠NQ.(1)请你以MN为一边,在MN的同侧构造一个与△MNQ全等的三角形,画出图形,并简要说明构造的方法;(2)参考(1)中构造全等三角形的方法解决下面问题:如图2,在四边形ABCD中,∠ACB+∠CAD=180°,∠B=∠D.求证:CD=AB.【答案】:(1)如图1,以N 为圆心,以MQ 为半径画圆弧;以M 为圆心,以NQ 为半径画圆弧;两圆弧的交点即为所求.主要根据“SSS”判定三角形的全等.(2)如图3,延长DA至E,使得AE=CB,连结CE.∵∠ACB+∠CAD=180°,∠DAC DAC +∠EAC=180°∴∠BAC BCA =∠EAC在△EAC和△BAC中,AE CEAC CAEAC BCN=⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△AECEAC≌△BCA (SAS),∴∠B=∠E,AB=CE∵∠B=∠D,∴∠D=∠E,∴CD=CE,∴CD=AB.【解析】(1)以点N为圆心,以MQ长度为半径画弧,以点M为圆心,以NQ长度为半径画弧,两弧交于一点F,则△MNF为所画三角形.(2)延长DA至E,使得AE=CB,连结CE.证明△EAC≌△BCA,得:∠B =∠E,AB=CE,根据等量代换可以求得答案.出结论,他的结论应是;∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF,∴∠EAF=∠GAF,五、课堂运用【基础】1.在平面内正方形ABCD与正方形CEFH如图放置,连DE,BH,两线交于M.求证:(1)BH=DE.(2)BH⊥DE.【答案】证明:(1)在正方形ABCD与正方形CEFH中,BC=CD,CE=CH,∠BCD=∠ECH=90°,∴∠BCD+∠DCH=∠ECH+∠DCH,即∠BCH=∠DCE,在△BCH和△DCE中,BC CDBCH DCE CE CH=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△BCH≌△DCE(SAS),∴BH=DE;(2)∵△BCH≌△DCE,∴∠CBH=∠CDE,又∵∠CGB=∠MGD,∴∠DMB=∠BCD=90°,∴BH⊥DE.【解析】(1)根据正方形的性质可得BC=CD,CE=CH,∠BCD=∠ECH=90°,然后求出∠BCH=∠DCE,再利用“边角边”证明△BCH和△DCE全等,根据全等三角形对应边相等证明即可;(2)根据全等三角形对应角相等可得∠CBH=∠CDE,然后根据三角形的内角和定理求出∠DMB=∠BCD=90°,再根据垂直的定义证明即可.2.(1)操作发现如图1,在等边△ABC中,点M是BC上的任意一点(不含端点B,C),连接AM,以AM为边作等边△AMN,连接CN,猜想∠ABC与∠ACN有何数量关系?并证明你的结论;(2)类比探究如图2,在等边△ABC中,点M是BC延长线上的任意一点(不含端点C),其他条件不变,(1)中的结论是否仍然成立?请说明理由.【答案】(1)∵在等边△ABC中,AB=AC,∠BAC=∠BAM+∠MAC=60°在等边△AMN中,AM=AN,∠MAN=∠NAC+∠MAC=60°∴∠BAM=∠NAC=60°-∠MAC,在△ABM和△ACN中,AB ACBAM NACAM AN=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△ABM≌△ACN(SAS),∴∠ABC=∠ACN.(2)∵在等边△ABC中,AB=AC,∠BAM=∠BAC+∠MAC=60°+∠MAC在等边△AMN中,AM=AN,∠NAC=∠NAM+∠MAC=60°+∠MAC,∴∠BAM=∠NAC=60°+∠MAC,在△ABM和△ACN中,AB ACBAM NACAM AN=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△ABM≌△ACN(SAS),∴∠ABC=∠ACN.【解析】(1)由全等三角形可以判定AB=AC,AM=AN,即可求证△ABM≌△ACN,即可求得∠ABC=∠ACN;(2)和(1)同理,由全等三角形可以判定AB=AC,AM=AN,即可求证△ABM≌△ACN,即可求得∠ABC=∠CAN.【巩固】1.如图,△ABC和△ADE都是等腰三角形,且∠BAC=90°,∠DAE=90°,B,C,D在同一条直线上.求证:BD=CE.【答案】∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,∴AD=AE,AB=AC,又∵∠EAC=90°+∠CAD,∠DAB=90°+∠CAD,∴∠DAB=∠EAC,∵在△ADB和△AEC中AB ACBAD CAEAD AE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△ADB≌△AEC(SAS),∴BD=CE.【解析】求出AD=AE,AB=AC,∠DAB=∠EAC,根据SAS证出△ADB≌△AEC即可.2.如图,△ABC与△BEF都是等边三角形,D是BC上一点,且CD=BE,求证:∠EDB=∠CAD.【答案】如图,过点D作DG∥AB交AC于G,∵△ABC是等边三角形,∴∠GDC=∠ABC=∠C=60°,AC=BC,∴△CDG是等边三角形,∴DG=CD=CG,∠AGD=120°,∴BD=AG,∵CD=BE,∴BE=DG,又∵△BEF是等边三角形∴∠EBF=60°,∴∠EBD=∠DGA=120°,【解析】过点D作DG∥AB交AC于G,求出∠EBD=∠AGD=120°,BD=AG,根据SAS证△EBD≌△DGA,根据全等三角形的性质推出即可.【拔高】正方形ABCD中,点E、F分别是边AD、AB的中点,连接EF.(1)如图1,若点G是边BC的中点,连接FG,则EF与FG关系为:;(2)如图2,若点P为BC延长线上一动点,连接FP,将线段FP以点F为旋转中心,逆时针旋转90°,得到线段FQ,连接EQ,请猜想BF、EQ、BP三者之间的数量关系,并证明你的结论.(3)若点P为CB延长线上一动点,按照(2)中的作法,在图3中补全图形,并直接写出BF、EQ、BP三者之间的数量关系:.【答案】(1)∵点E 、F 分别是边AD 、AB的中点,G 是BC 的中点,∴AE=AF=BF=BG ,在△AEF 和△BFG 中,AE BG A B AF BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△AEF ≌△BFG (SAS ), ∴EF=FG ,∠AFE=∠BFG=45°,∴EF ⊥FG ,EF=FG ; (2)BF+EQ=BP . 理由:如图2,取BC 的中点G ,连接FG , 则EF ⊥FG ,EF=FG ,∴∠1+∠2=90°,又∵∠2+∠3=90°,∴∠1=∠3, 在△FQE 和△FPG 中,13FQ FP EF FG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△FQE ≌△FPG (SAS ), ∴QE=PG 且BF=BG ,∵BG+GP=BP ,∴BF+EQ=BP ; (3)如图3所示,BF+BP=EQ .【解析】(1)根据线段中点的定义求出AE=AF=BF=BG,然后利用“边角边”证明△AEF和△BFG全等,根据全等三角形对应边相等可得EF=FG,全等三角形对应角相等可得∠AFE=∠BFG=45°,再求出∠EFG=90°,然后根据垂直的定义证明即可;(2)取BC的中点G,连接FG,根据同角的余角相等求出∠1=∠3,然后利用“边角边”证明△FQE和△FPG全等,根据全等三角形对应边相等可得QE=FG,BF=BG,再根据BG+GP=BP等量代换即可得证;(3)根据题意作出图形,然后同(2)的思路求解即可.课程小结1.全等三角形的性质2.全等三角形的判定。

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