(k1 y1 k2 y2 k p y p ) 0
k1 y1 k2 y2 k p y p 0 k1, k2 ,, k p全为零 Ay1, Ay2 ,, Ay p线性无关
AH A的特征子空间V 的维数不大于AAH的
特征子空间V的维数 同理可证： AAH的特征子空间V 的维数
不大于AH A特征子空间V的维数
§5 矩阵的奇异值分解
定理 1 设 A Crmn , 则有 (1) rank( A) rank( AH A) rank( AAH )
(2) AH A、AAH的特征值均为非负实数
(3) AH A、AAH的非零特征值相同.
证 设 rank( AH A) r
AH Ax 0 的解空间
为n r 维，记为X 设 x1 X x1H AH Ax1 0
0 0
0 0 0 0 1
定义 z (cos i sin )
一阶复矩阵的极分解 定理 4 设A Cnnn，则必存在酉矩阵U与两个 正定Hermite 矩阵H1、H2，使得
A H1U UH2 而且这种分解式是唯一的.
证 A Cnnn AH A正定 i 0 故 i 0
A U1DV1 U1DU1HU1V1 H1U
推论 1 设A Rnnn，则必存在唯一正交矩阵Q 两个正定实对称矩阵H1、H2，使得
A H1Q QH2
推论 2 设A Cnnn，则必存在酉矩阵U1、U2 , 使得
U2 AU1 diag(1,2,,n ) 其中1 2 n 0是A的n个正奇异值.
证 A Cnnn A UH
AH A H 2
并且H12 AAH，H22 AH A.
证
A C nn
A
U1
Dr 0
0 0V1
A
U1
Dr 0
00U1HU1V1 H1U
同理
A
U1V1V1H
同理 A U1DV1 U1V1V1H DV1 UH2
唯一性：A H11U1 H12U2 H11 H12U2U1H H121 H11H1H1 H12U2U1H (H12U2U1H )H
H12U2U1HU1U2H H1H2 H12H1H2 H122 H11 H12 U1 U2
x1H AH Ax1 ( Ax1)H Ax1 0
Ax1 0
rank( A) rank( AH A)
rank( A) rank( AH A)
(2) AH A
0 ( A , A )
(, AH A ) ( , ) ( , )
0
(3) 设 AH A的特征值为
1 2 r r1 n 0
A
U
0
0V
其中, D diag(1, 2 , , r ).
证 AH A为n阶正规矩阵
VAH AV H
D
H
D
0
diag(
2 1
,
2 2
,,
2 r
,0,,0)
0 0
V
VV12 ,
V1
C
rn r
,
V2 Cn(nrr)n
V1 V2
AH AH
AV1H AV1H
V1 AH V2 AH
AV2H AV2H
AAH 的特征值为
1 2 r r1 m 0
AH Ai ii
( AAH )Ai A( AH Ai )
( AAH )Ai i Ai
i 也是 AAH 的非零特征值
同理可证: AAH的非零特征值也是 AH A的非零特征值 设y1,, y p是AH A的特征子空间V一组基
k1Ay1 k2 Ay2 k p Ay p 0 k1AH Ay1 k2 AH Ay2 k p AH Ay p 0
DH 0
D
0
0
V1AH AV1H DH D, V2 AH AV2H 0
V2 AH AV2H ( AV2H )H AV2H 0
AV2H 0
U1H (DH )1V1AH C rm
UH
U1H
U
H 2
U2HU1 U2H AV1H D1 0
U2H AV1H 0 (1)
U1H AV1H (DH )1V1AH AV1H (DH )1 DH D
H U1diag(1,2,,n )U1H
A UU1diag(1,2,,n )U1H
U
H 2
UU1
A U2H diag(1,2,,n )U1H
U2 AU1 diag(1,2,,n )
定理 5 设A C nn，则必存在酉矩阵U与两个
半正定Hermite 矩阵H1、H2，使得
A H1U UH2
定理 2 若A与B酉等价，则A与B有相同正Βιβλιοθήκη 奇异值. 证 A与B酉等价
A UBV
AAH
UBV(UBV )H UBVV H BHU H UBBHU H
AAH ~ BBH
A与B有相同正奇异值.
定理 3
设
mn
AC
r
,
1,
2 ,,
r
是A的r个正
奇异值，则存在酉矩阵 U C mm和V C nn,
使得
D 0
0 0
1 0
10
三、构造酉矩阵U :
1 2
1.
U1H (DH )1V1AH
1 1
5
0
0 0
0
0 0
1 2
5 5
2. 将U1H扩充成酉矩阵
U1H x 0
U
H 2
2 5
1 5
1
U
5 2
5
2 5
1 5
四、结论：
1
A
5 2
5
2
5 1
5
5 0
0
0
1 0
0 1
U1H AV1H D (2)
AV2H 0
U1H AV2H U2H AV2H 0 (3)
U H AV H
U1H
U
H 2
A
V1H
V2H
UU12HH
AV1H AV1H
U1H
U
H 2
AV2H AV2H
D
0
0 0
例
求矩阵
A
1 2
0 0
00 的 奇 异 值 分 解.
一、求AH A的特征值及特征向量
AH A与AAH的非零特征值的代数重复度相同.
定义 1 设 A Crmn, AH A的特征值为
1 2 r r1 n 0
则称 i i (i 1,2,, r)为A的正奇异值.
定义 2 设 A、B C mn, 如果存在酉矩阵
U C mm和V C nn, 使得
A UBV
则称A与B酉等价.
A
H
A
1 0
0
002
1 2
0 0
00
5 0 0
0 0 0
0 0 0
1 5, 2 0, 2 0; 1 5 (i E AH A)x 0
1
1 0
0
0
2 1
0
0
1 0
1
二、构造酉矩阵V：
1 0 0
V 0 0
1 0
0 1
V1
V2
其中，
V1 1
0
0, V2