第六章 定积分的应用习题 6-2 (A)1． 求下列函数与 x 轴所围部分的面积：]3,0[,86)1(2+-=x x y ]3,0[,2)2(2x x y -=2． 求下列各图中阴影部分的面积： 1.图 6-13．求由下列各曲线围成的图形的面积：;1,)1(===-x e y e y x x 与;)0(ln ,ln ,0ln )2(>>====a b b y a y x x y 与;0,2)3(2==-=y x y x x y 与;)1(,2)4(22--==x y x y;0,2)1(4)5(2=-=-=y x y x y 与;2,)6(2x y x y x y ===与;)0(2sin ,sin 2)7(π≤≤==x x y x y;8,2)8(222（两部分都要计算）=+=y x x y4．的图形的面积。

所围成与直线求由曲线e x e x y x y ====-,,0ln 15．的面积。

处的切线所围成的图形和及其在点求抛物线)0,3()3,0(342--+-=x x y6．的面积。

处的法线所围成的图形及其在点求抛物线),2(22p ppx y = 7．形的面积。

与两坐标轴所围成的图求曲线a y x =+8．所围图形的面积。

求椭圆12222=+by a x9．。

与横轴所围图形的面积（的一拱求由摆线)20)cos 1(),sin (π≤≤-=-=t t a y t t a x10．轴之间的图形的面积。

的切线的左方及下方与由该曲线过原点求位于曲线x e y x =11．求由下列各方程表示的曲线围成的图形的面积： ;)0(sin 2)1(>=a a θρ;)0()cos 2(2)2(>+=a a θρ ;2cos 2)3(2（双纽线）θρ=抛物体的体积。

轴旋转，计算所得旋转所围成的图形绕及直线把抛物线x x x x ax y )0(4.12002>==体的体积。

旋转轴旋转，计算所得两个轴及所围成的图形，分别绕由y x y x x y 0,2,.133===14．求下列已知曲线所围成的图形，按指定的轴旋转所产生的旋转体的体积： ;,0,,0)1(轴绕与x y a x x axcha y ====;,2sin )2(轴绕与x xy x y π== ;,)20(cos sin )3(轴绕与x x x y x y π≤≤==;0,2,ln )4(轴绕与y y x x y === ;0,2)5(2轴绕与y y x y x x y ==-=;,16)5()6(22轴绕y y x =+-。

产生的旋转体的体积旋转轴绕轴所围的图形处的切线和及其在求由抛物线x x x y )2,0()1(4.152-=积。

轴旋转所得旋转体的体所围图形绕求x y x y x 2223,4.16≥≤+求其体积。

，图面都是等边三角形为底，垂直于长轴的截一立体以椭圆)26(125100.1722-≤+y x体体积。

面都是等边三角形的立一条固定直径的所有截的圆，而垂直于底面上求底面是半径为R .18的一段弧的长度。

上相应于计算曲线83ln .19≤≤=x x y的长度。

的一段弧上相应于计算曲线)36(31)3(3.20-≤≤-=x x xy 的一段弧长。

到相应于求对数螺线ϕθθρθ===0.21a e的一段弧长。

到相应于求曲线34431.22===θθθρ 的一段弧长。

到上自求曲线10)1ln(21arctan .232==⎪⎩⎪⎨⎧+==t t t y tx 的一拱的长度。

上相应于求摆线π20sin ,cos 1.24≤≤-=-=t t t y t x习题 6-2 (B)1．求由下列各组曲线围成的图形的公共部分的面积：;cos 23)1(θρρa a ==与 ;cos 1cos 3)2(θρθρ+==与 ;2cos sin 2)3(2θρθρ==与。

的值定是大于零的常数，试确，其中图的两部分分成面积相等轴所围区域被曲线轴和与假设曲线a a ax y L y x x x y L )46(:)10(1:.22221-=≤≤-=.)3(56.32HR H V -=-π中球缺的体积为图用积分方法证明 ，求铸件的质量。

度是而成的旋转体，铁的密轴旋转围成的图形绕与直线抛物线一铁铸件，其形状为两)/(8.7101101,10.4322cm g y y x y x y =+== 积。

旋转而成的旋转体的体直线；直线轴；轴；绕所围成的图形及求4)4(2)3()2()1(02,.5=====x y y x x y x y。

旋转所成旋转体的体积绕求)0(,.6222>>-=≤+a b b x a y x。

的体积旋转而成的旋转体围成的平面图形绕直线轴和求第一象限内由曲线1.73=-=y y y y x而成的旋转体的体积。

旋转轴所围图形绕直线与（的一拱求由摆线a y x t t a y t t a x 2)20)cos 1(),sin (.8=≤≤-=-=π.)(2)(0,0.9dx x f x y x f y b x a b a⎰≤≤≤≤≤π为体积轴旋转而成的旋转体的绕证明由平面图形的分点坐标。

段长为上求分摆线第一拱的弧在摆线3:1)cos 1(),sin (.10t a y t t a x -=-=长。

所截下的有限部分的弧被圆求抛物线321.11222=+=y x x y 的长度。

截得的一段弧被抛物线计算半立方抛物线3)1(32.12232x y x y =-=的周长。

的弧长等于椭圆证明曲线22)20(sin .1322=+≤≤=y x x x y π整个弧长。

积；轴旋转而成的旋转体体所围成的图形的绕所围成的图形的面积；，或求由星形线)3()2()1()0,sin cos (.1433323232x a t a y t a x a y x >===+.4.)(1)(2)0,0)((,)(.1522R R dx x f x f x b x x f x f y xoy b aππ的球体的表面积为为并利用此公式证明半径积）为（或称为旋转体的侧面面积（称为旋转曲面）的表产生的曲面轴旋转一周绕平面上一段曲线弧利用元素法证明由+≤≤≥=⎰习题 6-3 (A)所作的功。

弹簧拉伸是比例系数），计算把（即）成正比，（单位：与伸长量）（单位：过程中，需要的力由实验知道，弹簧拉伸)(6.1cm k ks F cm s N F =，问需作多少功。

要使蒸汽体积缩小一半变，的蒸汽，设温度保持不的圆柱体内充满压强为，高为直径为)/(10)(80)(20.22cm N cm cm。

时，克服阻力所作的功移至计算物体由与速度的平方成正比，力作直线运动，介质的阻一物体按规律a x x t c x ===0.33多少？第二次时，铁钉又击入击钉所做的功相等，问锤；如果铁锤每次打击铁入木板击第一次时，将铁钉击度成正比，在力与铁钉击入木板的深板，设木板对铁钉的阻用铁锤将一铁钉击入木)(1.4cm ？全吸尽，至少做多少功了水，问把池内的水完半球形水池，其中充满的半径为)(.5m R吸尽，需要做多少功？，若要将水从池口全部，水面离池口有，口径深设一正圆锥形贮水池，)(1)(20)(15.6m m m问至少做多少功？的圆锥形沙堆，，高为，现要堆成一个半径为设沙的比重为)()()/(2.73m h m R m kN g水压力的大小。

平行，试求它每面所受且底边与水面，底在下面没在水中，顶在上离水的三角形薄片，垂直沉，高为一底为)(3)(6)(8.8cm cm cm倍，水面应升高多少？欲使闸门所受的压力加；时，闸门所受的水压力求水面在闸门顶上；，闸门上边平行于水面，高闸门，阔水坝中有一直立的矩形)2()(8)1()(6)(10.9m cm m的引力。

，试求这细棒对质点的质点为单位处有一质量一端垂直距离为的均匀细直棒，在棒的，线密度为一根长为M M m a l μ.10习题 6-3 (B)问所做的功是多少？球的比重是水的两倍，取出，需做多少功？若中与水相同，现将球从水与水面相切，球的比重球沉入水中，球的上部的半径为)(.1m R，问需做多少功？现在要将水抽出，盛满了水，容器，容积为绕其对称轴旋转而成的设有一个由抛物线)(64)(72.2332cm cm x y ππ=的压力增加多少？水面，则水对薄板一侧水面相齐，而底平行于若倒转薄板，使顶点与压力；计算薄板一侧所受的水水比重为底为相齐，薄板的高为没在水中，其底与水面等腰三角形薄片垂直沉)2()1(1,,.3a h。

，求两细杆之间的引力为杆密度，杆密度为，间距离为，位于同一直线上，相均为有两根匀质细杆，长度νμB A a l .4习题 6-4时成本的增加量。

到求产量从的函数为产量某产品的边际成本20001000002.0100)(.1x x P x P +=个单位时的总收入。

个单位，则求再生产若已经生产了个单位时的总收入；求生产，为的变化率（边际收入）个单位时，总收入某产品生产100100)2(50)1()0(100200)(.2≥-='x xx R R x毛利－固定成本提示：净利的毛利和净利。

时，求当，固定成本是，边际成本是是已知某产品的边际收益===-='-='510413)(225)(.30x C x x C x x R时才能获得最大利润。

并问每天生产多少单位，出，求总利润函数元，且产品可以全部售售单价为如果这种产品规定的销单位），求总成本函数（元元，边际成本函数为单位的固定成本为设某种产品每天生产)(18);(/24.0)(20.4x L x C x x C x +='总收入。

利润最大时的总成本与的函数关系式；总利润与产量（万元），求总成本、已知不变成本？最大产量为多少时，总利润本的增量；百台的与总收入与总成百台增加到产量从求百台），（万元百台），边际成本是（万元设某产品的边际收益是)4(1)0()3()2(51)1(/44)(/8)(.5x C xx C x x R =+='-='利润为多少？开发时，该公司所获总停止续开发多少年？并问在试判断该石油公司应连相应的成本率为以年为单位）（时间为（以每年亿元为单位）率已知某石油公司的收入,31)(9)(.63131t t C tt t R +='-='的函数关系。

与价格，求需求量为（边际需求）变化率，已知需求量的最大需求量为的函数，假设该商品的为价格某商品的需求量p Q p Q p Q p ⎪⎭⎫⎝⎛⋅-='313ln 1000)(1000.7 入函数。

，试求需求函数和总收大需求量为，而市场对该商品的最的弹性对价格已知某商品的需求量4004.8ppp Q -=η总习题六一、选择题.)()()(;)()(;)()(;)()(.)(,)(.10dx x f dx x f D dx x f C dx x f B dx x f A A b x a x x f y a b b ab ab a ⎰⎰⎰⎰⎰-====所围成的图形的面积与曲线.)()()(;)]()([)(;)]()([)(;)]()([)(.)(,)(,)(.222222122222212221dx x f x f D dx x f x f C dx x f x f B dx x f x f A V x b x a x x f y x f y b ab ab ab a ⎰⎰⎰⎰----=====ππππ旋转所得旋转体的体积所围图形绕与连续曲线.)2(cos 21)(;2cos 2)(;2cos 2)(;2cos 2)(.)()2cos ()(.340240402022222θθθθθθθθθρππππd D d C d B d A A y x y x ⎰⎰⎰⎰==-=+所围成的面积双纽线.)()(;)()(;)()(;)()(.)(.400dy y H h S D dy y h S C dy y H h S B dy y H h S A W h H S hH H h H -+--+-+=⎰⎰⎰⎰+则所作功的水塔上，为把水全部抽到离池口高的水池装满水，，深为横截面为.)(2)(;)(2)(;)()(;)()(.)(.5202022202dx x a km D dx x a km C dx x a km B dx x a km A k a m l x ll l l⎰⎰⎰⎰++----μμμμμ引力大小为，则质点和细杆之间的，已知引力系数为且到右端的距离为上的质点位于杆的延长线有质量为，的细杆长度为轴上有一线密度为常数二、填空题 ._______22,1.1积为所围成的平面图形的面及曲线==+=y x xx y ._______)0(sin .223为旋转所成旋转体的体积轴轴围成的图形绕与曲线x x x x y π≤≤=米。