( S1z - S 2 z )c 1 = 0 ( S1z - S 2 z )c 2 = 0 c 4 ( S1z - S 2 z )c 3 = c 3 ( S1z - S2 z )c 4 = 2 2
骣1 2 ç A ç ç 4 ç ç ç ç 0 ç ç ç 所以得到： H ' = ç ç eB ç ç ç ç mc 2 ç ç ç ç ç 0 ç 桫
i
(
e B sin cos t e B sin sin t i )c1 (t ) 2me c 2me c
（7）
再结合初始条件 c1 (0) 1 ， c2 (0) 0 解（6） （7）两式得 t 时刻粒子跃迁到自旋在磁场方 向上的分量等于－
2
1 的态中的概率 2
2 2/ 2 ( ')2 sin 2 2 t 2 2 2 / ( ') / 4 4 1/ 2
解久期方程得：
0 A 1 4 0 0
2
eB mc 2 0 A 1 2 4 eB mc 2
0 ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ 0 ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ eB ÷ ÷ ÷ ÷ mc 2 ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ 0 ÷ ÷ ÷
E (1) = A
1 4
2
(二重)，－A
1 4
2
?
A
1 2 e2 2 B 2 ＋ 2 2 4 mc
i d c1 (t ) e dt eB c o s t me c
（5）
i
(
e B sin cos t e B sin sin t i )c2 (t ) 2me c 2me c
（6）
同理， （4）式两边同乘以 并利用（2） （3） （5）式得
i d c2 (t ) e dt eB c o s t me c
编辑者：霍团长
1 2 2 me w0 r 中运动，求粒子的能谱. 2 1 e 1 2 2 解：该带电粒子的哈密顿量 H = ( p - A)2 + me w0 r ， 2m c 2 1 1 且 A = ( B ? r ) ，不妨设磁场沿＋y 轴方向，则有 A = （-By,Bx,0） 2 2
6.16 带电粒子在均匀磁场和三维谐振子势场 U (r ) =
c2 (t )
其中

e Bs i n eB cos ， ' . me c 2me c
6.18 电子和正电子靠库仑吸引力束缚在一起构成一个类氢的系统． 在外磁场中它的哈密顿量 （l=0）近似为 H = H 0 + AS1 S2 +
eB ( S1z - S2 z ) ,A, e, m, c,是正实数， B = Bz , S1 , S2 分 mc
\ H=
1 １ 1 2 1 2 2 2 2 2 2 ( px + py )＋ m(w0 + wL )( x 2 + y 2 ) + pz + mw0 z - wLlz 2m ２ 2m 2
批注 [JL1]: 如何得到的？
= H 1 + H 2 - wLlz
其中H 1 =
1 １ 2 2 2 2 ( px + py )＋ m(w0 + wL )( x 2 + y 2 ) 2m ２ 1 2 1 2 2 H2 = pz + mw0 z 2m 2 eB wL = (拉磨频率) 2mc
在狄拉克绘景中，我们仍采用 和 为我们的基矢量，设粒子 t 时刻的态为 ; t 有
（2）
I
， 则
; t I c1 (t ) c2 (t )
i
其中
（3） （4）
;t t
I
VI ; t
I
VI (t ) eiH0t / V (t )eiH0t /
（4）式两边同乘以 并利用（2） （3） （5）式得
Bx = B sin q cos wt , By = B sin q sin wt , Bz = B cos q
设 t=0 时自旋在磁场方向上的分量等于 ，求在 t 时刻粒子跃迁到自旋在磁场方向上的分量 等于－
1 2
1 的态中的概率？ 2
解：此系统的 Hamiltonian 能被分解为两部分
H B H 0 V (t )
别是电子和正电子的自旋算符， H 0 包含电子动能，正电子动能及正负电子间的库仑能．对 自旋相互作用 H - H 0 用一级微扰计算 H 0 的四度简并基态的能量分裂．
eB ( S1z - S2 z ) mc 解： eB ＝H 0 + A( sx 2 + s y 2 + sz 2 ) + ( S1z - S2 z ) mc H = H 0 + AS1 S2 +
其中
H 0 z Bz
eBz e Bc o s Sz ( ) me c 2me c
（1）
V (t ) x Bx y By
eB eBx Sx y Fra bibliotek y me c me c
e B sin cos t e B sin sin t ( )i ( ) 2me c 2me c
由两自旋为
1 的粒子系统具有对称三重态和反对称单态，写出其波函数为： 2
c 1 = c 1+ c 2+ c 2 = c 1- c 2c3 = 1 (c 1+ c 2- + c 1- c 2+ ) 2 1 c4 = (c 1+ c 2- - c 1- c 2+ ) (波函数正交归一) 2
1 2 c1 4 1 A( sx 2 + s y 2 + sz 2 )c 2 = A 2 c 1 4 易得： 1 A( sx 2 + s y 2 + sz 2 )c 3 = A 2 c 1 4 2 2 2 A( sx + s y + sz )c 4 = 0 A( sx 2 + s y 2 + sz 2 )c 1 = A
易知 H 1 ， H 2 ， l z 相互对易，所以有共同的本征函数，所以可得到能谱为：
E = ( N1 + 1) w + ( N 2 +
1 2 2 ) w0 - wL m （w２=w0 + wL ; N1,N 2 ? 0） 2
6.17 自旋为 满足
1 的粒子，在均匀磁场中运动，磁场的绝对值不变，但各个分量随时间变化， 2