双因素方差分析表
A B C D E F G 1 误差来源 误差平 方和SS SSR SSC SSE SST 自由度 df k-1 r-1 均方 MS
， MSR
F值
P值
F临界值
2 3 4 5
行因素 列因素 误差 总和
FR Fc
MSC
(k-1)×(r-1) MSE Kr-1
有交互作用的双因素方差
自变量A
广告方案
A B 报纸 8 12 22 14 10 18
广告媒体 电视 12 8 26 30 18 14
C
为检验广告方案，广告媒体或其交互作用对销售量的影响是否显 著（α =0.05）。
SSE SST SSR SSC SSRC
总 平 方 和
行 变 量 平 方 和
列 变 量 平 方 和 交 互 作 用 平 和
决策
《一》：用F来检验
若FR>F ，拒绝原假设H0 ，表明均值之间的差异是显 著的，即所检验的行因素对观察值有显著影响； 若FC > F ，拒绝原假设H0 ，表明均值之间有显著差 异，即所检验的列因素对观察值有显著影响； FRC > F ,拒绝原假设H0 ，表明行列因素的交互影响 对观察值有显著影响。
x i . 为行因素的第i个水平的样本均值 ；
x. j 为列因素的第j个水平的样本均值 ；
xij对应于行因素的第i个水平和列因素的第j个水平组合的样本均值 ；
各平方和的计算
x
为全部n个观测值的总均值 。
总平方和(SST)：
SST ( xijl x ) 2
i 1 j 1 l 1
x
x
i 1 j 1
k
r
ij
kr
分析步骤：
（1）提出假设
（2）构造检验的统计量
（3）统计决策
（1）提出假设 对行因素提出的假设为：
H0：u1 = u2 = … = ui = …= uk (ui为第i个水平的均值) 行因素（自变量）对 因变量没有显著影响；
H1：ui (i =1,2, … , k) 不完全相等 行因素（自变量）对因变量有显著影响；
（列）P-value﹤α则拒绝原假设H0 。反之则不拒绝。
关系强度的测量
联合效应 SSR SSC R 总效应 SST
2
1.行平方和(SSR)度量了行因素（自变量）对因变量的影响大小；
2.列平方和(SSC)度量了列因素（自变量）对因变量的影响大小；
3.行列平方和加在一起则度量了两个自变量对因变量的联合效应； 4.R则反映了这两个自变量合起来与因变量之间的关系强度 。
SST xij x
x
的误差平方
2
行因素误差平方和 ：
SSR xi. x
i 1 j 1
k r i 1 j 1
i 1 j 1 k r
2
列因素误差平方和 ：
SSC x. j x
k r
2
随机误差项平方和：
SSE xij xi. x. j x
10.3
双因素方差分析
A
当方差分析中涉及两 个分类型自变量时。
B
方 什么是“双”因素 差
分析 ？
10.3.2无交互作用的双因素方差
A
B
无交互作用：独立
无交互作用双因素数据结构
Xij：是由行因素的K个水平（i=1，2，……，k）和列因素的R个水 平（ i=1，2，……，r）所组和成的k×r个总体中抽取的样本量为1 的独立随机样本。而k×r个总体中的每一个总体都服从正态分布且 有相同的方差。
新 的 影 响
自变量B
因变量C
分析步骤： （1）提出假设
（2）构造检验的统计量
（3）统计决策
有交互作用的双因素方差分析表的结构
A B C D E F G
误差来源 自由度 df k-1 均方MS
F 临 界 值
1
SS
F值
P 值
2
行因素
SSR
MSR=SSR/（k-1）
FR ＝ MSR/MSE
3
列因素
SSC
《二》：用P值检验
P行﹤α则拒绝原假设H0，反之则不拒绝；
P列﹤α则拒绝原假设H0 ，反之则不拒绝；
PRC ﹤α则拒绝原假设H0,即交互作用对观察值有影响 ， 反之则不拒绝。
P264-10.12 为检验广告媒体和广告方案对产品销售量的影响，一
家营销公司做了一项试验，考察三种广告方案和两种广告媒体，获 得的销售量数据如下：
SSE MSE (k 1)( r 1)
F值：为检验行列因素对因变量的影响是否显著而采用的统计量。
行因素对因变量的影响是否显著：
MSR FR ~ F k 1, (k 1)( r 1) MSE
列因素对因变量的影响是否显著：
MSC FC ~ F r 1, (k 1)( r 1) MSE
x i .（各行均值）：是行因素的第i个水平下各观测值的平均值。
xi .
x
j 1
r
ij
x. j （各列均值）：是列因素的第j个水平下各观测值的平均值。
x. j
r
(i 1,2,, k )
x
i 1
k
ij
k
( j 1,2,, r )
x
（总均值）：是全部kr个样本数据的总平均值。
k
rSSR rm ( xi. x ) 2
i 1
r
k
列变量平方和(SSC):
SSC km ( x. j x ) 2
j 1
交互作用平方和(SSRC)：
SSRC m ( xij xi. x. j x ) 2
i 1 j 1
k
r
误差项平方和(SSE)：
r-1
MSC=SSC/(r-1)
FC ＝ MSC/MSE
FRC ＝ MSRC/MSE
4
交互作用
SSRC
(k-1)(r-1)
MSRC=SSRC/ (k-1)(r-1)
5
误差
SSE
kr(m-1)
MSE=SSE/ kr(m-1)
6
总和
SST
n-1
设:
xijl为对应于行因素的第i个水平和列因素的第j个 水平的第l行的观测值 ；
(3)统 计 决 策（一）
计算出F统计量后再根据给定的显著性水平和两个自由度，查F分 布表得到相应的临界值F。 若FR>F ，拒绝原假设H0 ，则表明均值之间的差异是显著的抑 或检验的行因素对观察值有显著影响。 若FC > F ，拒绝原假设H0 ，则表明均值之间的差异是显著的抑 或检验的列因素对观察值有显著影响。 （二） (行)P-value﹤α则拒绝原假设H0.反之则不拒绝。
对列因素提出的假设为：
H0： u1 = u2 = … = uj = …= ur (uj为第j个水平的均值) 列因素（自变量）对 因变量没有显著影响； H1： uj (j =1,2,…,r) 不完全相等 列因素（自变量）对因变量有显著影响。
（2）构造检验的统计量： •总平方和（SST）：总平方和是全部样本观察值Xij与总的样本平均值 和。 k r
i 1 j 1
2
计算均方MSR、MSC 、 MSE
总误差平方和SST的自由度为 kr-1 行因素误差平方和SSR的自由度为 k-1，其均方： MSR
SSR k 1
SSC 列因素误差平方和SSC的自由度为 r-1，其均方： MSC r 1
随机误差平方和SSE的自由度为 (k-1)(r-1)，其均方：