八、动量与能量1．动量 2．机械能1．两个“定理”（1）动量定理：F ·t =Δp 矢量式 (力F 在时间t 上积累，影响物体的动量p )（2）动能定理：F ·s =ΔE k 标量式 (力F 在空间s 上积累，影响物体的动能E k )动量定理与动能定理一样，都是以单个物体为研究对象．但所描述的物理内容差别极大．动量定理数学表达式：F 合·t =Δp ，是描述力的时间积累作用效果——使动量变化；该式是矢量式，即在冲量方向上产生动量的变化．例如，质量为m 的小球以速度v 0与竖直方向成θ角打在光滑的水平面上，与水平面的接触时间为Δt ，弹起时速度大小仍为v 0且与竖直方向仍成θ角，如图所示．则在Δt 内：以小球为研究对象，其受力情况如图所示．可见小球所受冲量是在竖直方向上，因此，小球的动量变化只能在竖直方向上．有如下的方程：F ′击·Δt -mg Δt =mv 0cos θ-（-mv 0cos θ）小球水平方向上无冲量作用，从图中可见小球水平方向动量不变．综上所述，在应用动量定理时一定要特别注意其矢量性．应用动能定理时就无需作这方面考虑了．Δt 内应用动能定理列方程：W 合=m υ02/2－m υ02 /2 =02．两个“定律”（1）动量守恒定律：适用条件——系统不受外力或所受外力之和为零公式：m 1v 1+m 2v 2=m 1v 1′+m 2v 2 ′或 p =p ′（2）机械能守恒定律：适用条件——只有重力（或弹簧的弹力）做功公式：E k2+E p2=E k1+E p1 或 ΔE p = －ΔE k3．动量守恒定律与动量定理的关系一、知识网络二、画龙点睛 规律动量守恒定律的数学表达式为：m 1v 1+m 2v 2=m 1v 1′＋m 2v 2′，可由动量定理推导得出． 如图所示，分别以m 1和m 2为研究对象，根据动量定理：F 1Δt = m 1v 1′- m 1v 1 ①F 2Δt = m 2v 2′- m 2v 2 ②F 1=-F 2 ③∴ m 1v 1+m 2v 2=m 1v 1′＋m 2v 2′ 可见，动量守恒定律数学表达式是动量定理的综合解．动量定理可以解决动量守恒问题，只是较麻烦一些．因此，不能将这两个物理规律孤立起来．4．动能定理与能量守恒定律关系——理解“摩擦生热”(Q =f ·Δs )设质量为m 2的板在光滑水平面上以速度υ2运动，质量为m 1的物块以速度υ1在板上同向运动，且υ1＞υ2，它们之间相互作用的滑动摩擦力大小为f ，经过一段时间，物块的位移为s 1，板的位移s 2，此时两物体的速度变为υ′1和υ′2由动能定理得：-fs 1=m 1υ1′2/2－m 1υ12/2 ①fs 2=m 2υ2′2/2－m 2υ22/2 ②在这个过程中，通过滑动摩擦力做功，机械能不断转化为内能，即不断“生热”，由能量守恒定律及①②式可得：Q =(m 1υ12/2+m 2υ22/2)－(m 1υ1′2/2－m 2υ2′2/2)=f (s 1－s 2)= f ·Δs ③ 由此可见，在两物体相互摩擦的过程中，损失的机械能（“生热”）等于摩擦力与相对位移的乘积。

特别要指出，在用Q = f ·Δs 计算摩擦生热时，正确理解是关键。

这里分两种情况：（1）若一个物体相对于另一个物体作单向运动，Δs 为相对位移；（2）若一个物体相对于另一个物体作往返运动，Δs 为相对路程。

5.相互作用中的动量与能量，三类碰撞中能量的变化： (1)(2) 设两物体发生完全弹性碰撞，其中m 1以v 1匀速运动，m 2静止。

据⎪⎩⎪⎨⎧++=+=''''222211211221111212121v m v m v m v m v m v m 可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+='+-='2112121212m m m v m m m m v 讨论：(a)当m 1＞m 2时，v 1′与v 1方向一致；(b)当m 1=m 2时，v 1′=0,v 2′=v 1，即m 1与m 2交换速度(c)当m 1＜m 2时，v 1′反向，v 2′与v 1同向。

(3)非完全弹性碰撞：为一般情况，只有动量守恒，机械能有损失，损失量不最大，亦不最小。

6． 功和能的关系例题： 质量为M 的楔形物块上有圆弧轨道，静止在水平面上。

质量为m 的小球以速度v 1向物块运动。

不计一切摩擦，圆弧小于90°且足够长。

求小球能上升到的最大高度H 和物块的最终速度v 。

解析：解析：系统水平方向动量守恒，全过程机械能也守恒。

在小球上升过程中，由水平方向系统动量守恒得：()v m M mv '+=1由系统机械能守恒得：()mgH v m M mv +'+=2212121 解得()gm M Mv H +=221 全过程系统水平动量守恒，机械能守恒，得12v m M m v += 本题和上面分析的弹性碰撞基本相同，唯一的不同点仅在于重力势能代替了弹性势能。

例题：动量分别为5kg ∙m/s 和6kg ∙m/s 的小球A 、B 沿光滑平面上的同一条直线同向运动，A 追上B 并发生碰撞后。

若已知碰撞后A 的动量减小了2kg ∙m/s ，而方向不变，那么A 、B 质量之比的可能范围是什么？解析：A 能追上B ，说明碰前v A >v B ,∴BA m m 65>；碰后A 的速度不大于B 的速度，B A m m 83≤；又因为碰撞过程系统动能不会增加， BA B A m m m m 282326252222+≥+，由以上不等式组解得：7483≤≤B A m m 此类碰撞问题要考虑三个因素：①碰撞中系统动量守恒；②碰撞过程中系统动能不增加；③碰前、碰后两个物体的位置关系（不穿越）和速度大小应保证其顺序合理。

例题：设质量为m 的子弹以初速度v 0射向静止在光滑水平面上的质量为M 的木块，并留在木块中不再射出，子弹钻入木块深度为d 。

求木块对子弹的平均阻力的大小和该过程中木块前进的距离。

解析：子弹和木块最后共同运动，相当于完全非弹性碰撞。

从动量的角度看，子弹射入木块过程中系统动量守恒：()v m M mv +=0从能量的角度看，该过程系统损失的动能全部转化为系统的内能。

设平均阻力大小为f ，设子弹、木块的位移大小分别为s 1、s 2，如图所示，显然有s 1-s 2=d 对子弹用动能定理：22012121mv mv s f -=⋅ ……① 对木块用动能定理：2221Mv s f =⋅ ……② ①、②相减得：()()2022022121v m M Mm v m M mv d f +=+-=⋅ ……③ 这个式子的物理意义是：f ∙d 恰好等于系统动能的损失；根据能量守恒定律，系统动能的损失应该等于系统内能的增加；可见Q d f =⋅，即两物体由于相对运动而摩擦产生的热（机械能转化为内能），等于摩擦力大小与两物体相对滑动的路程的乘积（由于摩擦力是耗散力，摩擦生热跟路径有关，所以这里应该用路程，而不是用位移）。

由上式不难求得平均阻力的大小：()dm M Mmv f +=220 至于木块前进的距离s 2，可以由以上②、③相比得出：d mM m s +=2 从牛顿运动定律和运动学公式出发，也可以得出同样的结论。

由于子弹和木块都在恒力作用下做匀变速运动，位移与平均速度成正比：()d mM m s m m M v v s d v v v v v v s d s +=+==∴+=+=+2020022,,2/2/ 一般情况下m M >>，所以s 2<<d 。

这说明，在子弹射入木块过程中，木块的位移很小，可以忽略不计。

这就为分阶段处理问题提供了依据。

象这种运动物体与静止物体相互作用，动量守恒，最后共同运动的类型，全过程动能的损失量可用公式：()202v m M Mm E k +=∆…④ 当子弹速度很大时，可能射穿木块，这时末状态子弹和木块的速度大小不再相等，但穿透过程中系统动量仍然守恒，系统动能损失仍然是ΔE K = f d （这里的d 为木块的厚度），但由于末状态子弹和木块速度不相等，所以不能再用④式计算ΔE K 的大小。

做这类题目时一定要画好示意图，把各种数量关系和速度符号标在图上，以免列方程时带错数据。

以上所列举的人、船模型的前提是系统初动量为零。

如果发生相互作用前系统就具有一定的动量，那就不能再用m 1v 1=m 2v 2这种形式列方程，而要利用(m 1+m 2)v 0= m 1v 1+ m 2v 2列式。

例题：在距地面高为h ，同时以相等初速V 0分别平抛，竖直上抛，竖直下抛一质量相等的物体m ，当它们从抛出到落地时，比较它们的动量的增量△P ，有[ ]A ．平抛过程较大B ．竖直上抛过程较大C ．竖直下抛过程较大D ．三者一样大的。

解析：1．由动量变化图中可知，△P 2最大，即竖直上抛过程动量增量最大，所以应选B 。

2、由动量定理可知I 合＝ΔP ，而I 合＝mgt ，竖起上抛过程t 2为最大)(22h H g gv t m o ++=，而mg 均相同。

所以ΔI 2为最大。

正确答案为B【小结】 对于动量变化问题，一般要注意两点：(1)动量是矢量，用初、末状态的动量之差求动量变化，一定要注意用矢量的运算法则，即平行四边形法则。

(2) 由于矢量的减法较为复杂，如本题解答中的第一种解法，因此对于初、末状态动量不在一条直线上的情况，通常采用动量定理，利用合外力的冲量计算动量变化。

如本题解答中的第二种解法，但要注意，利用动量定理求动量变化时，要求合外力一定为恒力。

例题： 向空中发射一物体．不计空气阻力，当物体的速度恰好沿水平方向时，物体炸裂为a,b 两块．若质量较大的a 块的速度方向仍沿原来的方向则 [ ]A ．b 的速度方向一定与原速度方向相反B ．从炸裂到落地这段时间里，a 飞行的水平距离一定比b 的大C ．a ，b 一定同时到达地面D ．炸裂的过程中，a 、b 中受到的爆炸力的冲量大小一定相等解析： 物体炸裂过程发生在物体沿水平方向运动时，由于物体沿水平方向不受外力，所以沿水平方向动量守恒，根据动量守恒定律有：(m A +m B )v = m A v A ＋m B v B当v A 与原来速度v 同向时,v B 可能与v A 反向，也可能与v A 同向,第二种情况是由于v A 的大小没有确定，题目只讲的质量较大，但若v A 很小，则m A v A 还可能小于原动量(m A +m B )v 。

这时,v B 的方向会与v A 方向一致，即与原来方向相同所以A 不对。

a ，b 两块在水平飞行的同时，竖直方向做自由落体运动即做平抛运运动，落地时间由gh t 2 决定。