第25 题专题复习训练 ( 含答案)1.已知△ ABC和△ ADE是等腰直角三角形,∠ ACB=∠ADE=90°,点 F 为 BE的中点,连接 DF、CF。
(1)如图 1,当点 D 在 AB上,点 E 在 AC中点,DE 2 ,求CF;(2)如图 2,在( 1)的条件下将△ ADE绕 A 点顺时针旋转45°时,线段 DF、CF有何数量关系和位置关系?证明你的结论;(3)如图 3,在(1)的条件下将△ ADE绕 A 点顺时针旋转任意角度时,线段DF、CF又有何数量关系和位置关系?证明你的结论;2. 如图所示,△ ABC ,△ ADE 为等腰直角三角形,∠ ACB= ∠AED=90°.F 为线段 BD 的中点.( 1)如图 1,点 E 在 AB 上,点 D 与 C 重合, EF=2,求 AB 的长 .( 2)如图 2,当 D、 A 、 C 在一条直线上时.线段EF 与 FC 有何数量关系和位置关系?证明你的结论;( 3)如图③,连接EF、 FC,线段 EF 与 FC 又有何数量关系和位置关系?证明你的结论;.3.如图 1,△ ACB 、△ AED 都为等腰直角三角形,∠ AED= ∠ ACB=90 °,点 D 在 AB 上,连 CE,M 、N 分别为BD 、 CE 的中点.(1)求证: MN ⊥CE;(2)如图 2 将△ AED 绕 A 点逆时针旋转 30°, CE 与 MN 有何数量关系和位置关系?证明你的结论.4. 已知,如图1,等腰直角△ ABC 中, E 为斜边 AB 上一点,过 E 点作 EF⊥ AB交 BC于点 F,连接 AF, G为 AF 的中点,连接EG, CG。
(1)如果 BE=2,∠ BAF=30°,求 EG, CG的长;(2)将图 1 中△ BEF 绕点 B 逆时针旋转 45°,得如图 2 所示,取 AF 的中点 G,连接 EG,CG。
延长 CG 至 M ,使GM=GC ,连接 EM=EC ,求证:△ EMC 是等腰直角三角形;(3)将图 1 中△ BEF 绕点 B 旋转任意角度,得如图 3 所示,取 AF 的中点 G,再连接 EG, CG,问线段 EG 和GC 有怎样的数量关系和位置关系?并证明你的结论。
MA AAGFGGE EF EB FC B C B C图 1图 2图 35.已知正方形 ABCD中,点 E在BC上,连接 AE,过点 B作 BF⊥ AE于点 G,交 CD于点 F。
( 1)如图 1,连接 AF,若 AB= 4, BE=1,求 AF的长;( 2)如图 2,连接 BD,交 AE于点 N,连接 AC,分别交 BD、BF于点 O、M,连接 GO,求证: GO平分∠ AGF;( 3)如图 3,在第( 2)问的条件下,连接CG,若 CG⊥ GO,求证:AG2CG .6.在△ ABC中, AB=AC,点 F是BC延长线上一点,以 CF为边,作菱形 CDEF,使菱形 CDEF与点 A在 BC的同侧,连结 BE,点 G是 BE的中点,连结 AG、 DG.(1)如图①,当∠ BAC=∠ DCF=90°时,已知 AC=3 2, CD=2,求 AG的长度;(2)如图②,当∠ BAC=∠ DCF=60°时, AG与 DG有怎样的位置和数量关系,并证明;(3)当∠ BAC=∠ DCF=α时,试探究 AG与 DG的位置和数量关系(数量关系用含α的式子表达).图 1图2图37. 已知等腰Rt △ABC 和等腰 Rt △ AED 中,∠ ACB= ∠AED=90 °,且 AD=AC( 1)发现:如图1,当点 E 在 AB 上且点 C 和点 D 重合时,若点M 、 N 分别是 DB 、 EC 的中点,则MN 与 EC1的位置关系是 ______, MN 与 EC 的数量关系是 MN= 2EC( 2)探究:若把( 1)小题中的△ AED 绕点 A 旋转一定角度,如图 2 所示,连接 BD 和 EC,并连接 DB 、 EC 的中点 M 、N ,则 MN 与 EC 的位置关系和数量关系仍然能成立吗?若成立,请以逆时针旋转 45°得到的图形(图3)为例给予证明位置关系成立,以顺时针旋转45°得到的图形(图4)为例给予证明数量关系成立,若不成立,请说明理由.8.重庆一中初 2016九上期末如图 1,在等腰Rt ACB中,ACB 90 , AC BC ;在等腰 Rt DCE 中,DCE 90 , CD CE ;点 D 、 E 分别在边 BC 、 AC 上,连接 AD 、 BE ,点 N 是线段 BE 的中点,连接 CN 与 AD 交于点 G .( 1)若CN 6.5,CE5,求BD的值 .( 2)求证: CN AD .( 3)把等腰Rt DCE 绕点 C 转至如图2位置,点 N 是线段 BE 的中点,延长NC 交 AD 于点 H ,请问( 2)中的结论还成立吗?若成立,请给出证明,若不成立,请说明理由.图 29.(西南大学附属中学初2016 级九年级第七次月考 )已知,如图1,等腰直角△ ABC 中, E 为斜边 AB 上一点,过 E 点作 EF⊥ AB交 BC于点 F,连接 AF,G 为 AF 的中点,连接EG, CG。
(1)如果 BE=2,∠ BAF=30°,求 EG, CG的长;(2)将图 1 中△ BEF 绕点 B 逆时针旋转 45°,得如图 2 所示,取 AF 的中点 G,连接 EG,CG。
延长 CG 至 M ,使GM=GC ,连接 EM=EC ,求证:△ EMC 是等腰直角三角形;(3)将图 1 中△ BEF 绕点 B 旋转任意角度,得如图 3 所示,取 AF 的中点 G,再连接 EG, CG,问线段 EG 和GC 有怎样的数量关系和位置关系?并证明你的结论。
MA AAGFGGE EF EB FC B C B C图 1图 2图 310.( 重庆实验外国语学校 2015-2016学年度下期第一次月考)已知四边形 ABCD是正方形,△ AEF是等腰苴角三角形,∠ AFE=90°,点 M是 CE的中点,连接DM.(1) 如图 1,当点E、F分别在 AD、AC上时,若 AD=4,EF= 2 ,求DM的长;(2)如图2,当点E在BA延长线上时,连接DF、FM,求证:DM=FM,DM⊥FM; (3) 如图 3,当点 E不在 BA延长线上且点 F在 DE上时 , 过点 A作 AG⊥ EC,垂足为 G,连接 FM,试探究 DM与 FM的关系。
511.( 重庆八中初 2016 级初三(下)第三次月考 )以 A 为顶角顶点的等腰三角形ABC 和等腰三角形 ADE ,D 在 BC 边上, E 在 AB 边上, F 为线段 AD 上一点,连接 FC ,BDE1FCA .2(1) 如图 1.若 AB=6 ,∠ BAC= 30°,求 S ABC(2) 如图 1,求证: FA=FC .(3) 如图 2,延长 CF 交 AB 于 G ,延长 AB 到 M 使 GM=AC ,连接 CM ,∠ BAD= ∠ BCG , N 是 GC 的中点,探究 AN 与 CM 之间的数量关系并证明.AAGFFECE BNDB DC图 1M图 22016 重庆中考数学第25 题专题复习训练答案1.已知△ ABC和△ ADE是等腰直角三角形,∠ ACB=∠ADE=90°,点 F 为 BE的中点,连接 DF、CF。
(4)如图 1,当点 D 在 AB上,点 E 在 AC中点,DE 2 ,求CF;(5)如图 2,在( 1)的条件下将△ ADE绕 A 点顺时针旋转45°时,线段 DF、CF有何数量关系和位置关系?证明你的结论;(6)如图 3,在(1)的条件下将△ ADE绕 A 点顺时针旋转任意角度时,线段DF、CF又有何数量关系和位置关系?证明你的结论;(1) CF5(2)CF DF ,CF DF(如图)(3)CF DF ,CF DF (如图)2. 如图所示,△ ABC ,△ ADE 为等腰直角三角形,∠ ACB= ∠AED=90°.F 为线段 BD 的中点.( 1)如图 1,点 E 在 AB 上,点 D 与 C 重合, EF=2,求 AB 的长 .( 2)如图 2,当 D、 A 、 C 在一条直线上时.线段EF 与 FC 有何数量关系和位置关系?证明你的结论;( 3)如图③,连接EF、 FC,线段 EF 与 FC 又有何数量关系和位置关系?证明你的结论;.3.如图 1,△ ACB 、△ AED 都为等腰直角三角形,∠ AED= ∠ ACB=90 °,点 D 在 AB 上,连 CE,M 、N 分别为BD 、 CE 的中点.(1)求证: MN ⊥CE;(2)如图 2 将△ AED 绕 A 点逆时针旋转 30°, CE 与 MN 有何数量关系和位置关系?证明你的结论.4. 已知,如图1,等腰直角△ ABC 中, E 为斜边 AB 上一点,过 E 点作 EF⊥ AB交 BC于点 F,连接 AF, G为 AF 的中点,连接EG, CG。
(1)如果 BE=2,∠ BAF=30°,求 EG, CG的长;(2)将图 1 中△ BEF 绕点 B 逆时针旋转 45°,得如图 2 所示,取 AF 的中点 G,连接 EG,CG。
延长 CG 至 M ,使GM=GC ,连接 EM=EC ,求证:△ EMC 是等腰直角三角形;(3)将图 1 中△ BEF 绕点 B 旋转任意角度,得如图 3 所示,取 AF 的中点 G,再连接 EG, CG,问线段 EG 和GC 有怎样的数量关系和位置关系?并证明你的结论。
MA AAGFGGE EF EB FC B C B C图 1图 2图 35.在△ ABC中, AB=AC,点 F是BC延长线上一点,以 CF为边,作菱形 CDEF,使菱形 CDEF与点 A在 BC的同侧,连结 BE,点 G是 BE的中点,连结 AG、 DG.(1)如图①,当∠ BAC=∠ DCF=90°时,已知 AC=3 2, CD=2,求 AG的长度;(2)如图②,当∠ BAC=∠ DCF=60°时, AG与 DG有怎样的位置和数量关系,并证明;(3)当∠ BAC=∠ DCF=α时,试探究 AG与 DG的位置和数量关系(数量关系用含α的式子表达).图 1图2图36. (2014? 密云县二模)已知等腰Rt △ ABC 和等腰 Rt △ AED 中,∠ ACB= ∠AED=90 °,且 AD=AC( 1)发现:如图1,当点 E 在 AB 上且点 C 和点 D 重合时,若点M 、 N 分别是 DB 、 EC 的中点,则MN 与 EC1的位置关系是 ______, MN 与 EC 的数量关系是 MN= 2 EC的中点 M 、N ,则 MN 与 EC 的位置关系和数量关系仍然能成立吗?若成立,请以逆时针旋转45°得到的图形(图3)为例给予证明位置关系成立,以顺时针旋转45°得到的图形(图4)为例给予证明数量关系成立,若不成立,请说明理由.1(1) MN ⊥ EC, MN= 2 EC;理由:∵当点 E 在 AB 上且点 C 和点 D 重合时,点M 、 N 分别是 DB 、EC 的中点,1∴ MN 是三角形BED 的中位线,∴MN ∥2BE,∵等腰Rt△ ABC 和等腰 Rt△AED 中,∠ ACB= ∠ AED=90°,且 AD=AC ,∴ BE=DE ,∠ AED=90°,1∴ MN 与 EC 的位置关系是:MN ⊥ EC, MN 与 EC 的数量关系是:MN= 2 EC.1( 2) MN ⊥ EC, MN= 2EC;理由:如图3,连接 EM 并延长到 F,使 EM=MF ,连接 CM 、 CF、 BF.在△ EDM和△ FBM 中, DM = MB∠ EMD =∠ FMB ME = FM ,∴△ EDM ≌△ FBM ( SAS),∴BF=DE=AE ,∠ FBM= ∠ EDM=135°,∴∠ FBC= ∠ EAC=90°,在△ EAC 和△ FBC 中, AE = BF∠ EAC=∠ FBC AC = BC ,∴△ EAC ≌△ FBC ( SAS),∴FC=EC ,∠ FCB= ∠ECA ,∴∠ ECF= ∠ FCB+∠ BCE= ∠ ECA+ ∠ BCE=90°,∴ EC⊥ FC,又∵点 M 、N 分别是 EF、 EC 的中点,∴ MN ∥ FC,∴ MN ⊥ EC,如图 4,连接 EM 并延长交BC 于 F,∵∠ AED= ∠ ACB=90°,∴ DE ∥ BC,∴∠ DEM= ∠ BFM ,∠ EDM= ∠ MBF ,在△ EDM 和△ FBM 中,7.如图 1,△ ACB 、△ AED 都为等腰直角三角形,∠ AED= ∠ ACB=90 °,点 D 在 AB 上,连 CE,M 、N 分别为BD 、 CE 的中点.(1)求证: MN ⊥CE;(2)如图 2 将△ AED 绕 A 点逆时针旋转 30°,求证: CE=2MN .解:( 1)证明一:延长 DN 交 AC 于 F,连 BF,∵ N 为 CE 中点,∴ EN=CN ,∵△ ACB 和△ AED 是等腰直角三角形,∠AED= ∠ ACB=90°, DE=AE ,AC=BC ,∴∠ EAD= ∠ EDA= ∠ BAC=45°,∴ DE∥AC ,∵ EN=NC∴△ EDN≌△ CFN,∴DN=FN , FC=ED ,∴ MN 是△ BDF 的中位线,∴ MN ∥BF ,∵ AE=DE , DE=CF ,∴AE=CF ,∵∠ EAD= ∠ BAC=45°,∴∠ EAC= ∠ ACB=90°,在△ CAE 和△ BCF 中, CA = BC∠ CAE=∠ BCF AE = CF∴△ CAE≌△ BCF(SAS),∴∠ ACE= ∠ CBF ,∵∠ ACE+ ∠ BCE=90°,∴∠ CBF+ ∠ BCE=90°,即 BF ⊥ CE,∵ MN ∥BF,∴ MN ⊥ CE.证明二: (如图 )证明三:(如图)(2)证明一:延长 DN 到 G,使 DN=GN ,连接 CG,延长 DE 、 CA 交于点 K,∵M 为 BD 中点,∴ MN 是△ BDG 的中位线,∴ BG=2MN ,在△ EDN 和 ?CGN 中, DN= NG∠DNE=∠ GNC EN= NC∴△ EDN≌△ CGN(SAS),∴DE=CG=AE ,∠ GCN= ∠ DEN ,∴ DE ∥ CG,∴∠ KCG= ∠ CKE ,∵∠ CAE=45° +30°+45°=120°,∴∠ EAK=60°,∴∠ CKE= ∠ KCG=30°,∴∠BCG=120°,在△ CAE 和△ BCG 中, AC =BC ∠ CAE =∠ BCG AE = CG∴△ CAE ≌△ BCG( SAS),∴ BG=CE ,∵ BG=2MN ,∴ CE=2MN .BMDENCAG8.( 重庆南开初 2016级九年级(上)期末 ) 已知正方形 ABCD中,点 E在 BC上,连接 AE,过点 B作 BF⊥AE于点 G,交CD 于点 F。