令 ，则当 时，有
从而 ，由 的任意性推出 即
.
3.利用夹逼定理证明：若a1,a2，…，am为m个正常数，则
=A,
其中A=max{a1,a2,…，am}.
证：因为 ，即
而 ， ，由夹逼定理得
.
4※.利用单调有界数列必存在极限这一收敛准则证明：若x1＝ ,x2= ,…，xn+1= （n=1,2,…），则 xn存在，并求该极限.
解：（1） ，即 时， 是无穷小量，所以 是无穷小量，因而 也是无穷大量。
（2）从 的图像可以看出， ，所以，当 时， 时， 是无穷大量；
当 时， 是无穷小量。
（3）从 的图可以看出， ，
所以，当 时， 是无穷大量；
当 时， 是无穷小量。
（4） ，
当 时， 是无穷小量。
（5） 当 时， 是无穷小量， 是有界函数，
而
于是 ，
即
由数列极限的定义得
考察数列 ，知 不存在，而 ， ，
所以前面所证结论反之不成立。
3.利用夹逼定理证明：
(1) =0；(2) =0.
证：（1）因为
而且 ， ，
所以由夹逼定理，得
.
（2）因为 ，而且 ，
所以，由夹逼定理得
4.利用单调有界数列收敛准则证明下列数列的极限存在.
(1)xn= ，n=1,2,…；
3.指出下列函数哪些是该极限过程中的无穷小量，哪些是该极限过程中的无穷大量.
(1)f(x)= ,x→2; (2)f(x)=lnx，x→0+，x→1,x→+∞；
(3)f(x)= ,x→0+，x→0-；(4)f(x)= -arctanx,x→+∞;
(5)f(x)= sinx,x→∞; (6)f(x)= ，x→∞.
（5）错误，例如当 时， 与 都是无穷大量，但它们之和 不是无穷大量；
（6）正确，因为 ， 正整数k，使 ，从而 ，即 在 内无界，又 ，无论 多么大，总存在正整数k，使 ，使 ，即 时， 不无限增大，即 ；
（7）正确，见教材§2.3定理5；
（8）错误，只有非零的无穷小量的倒数才是无穷大量。零是无穷小量，但其倒数无意义。
证：先证充分性：即证若 ，则 .
由 及 知：
,当 时，有 ，
当 时，有 。
取 ，则当 或 时，有 ，
而 或 就是 ，
于是 ，当 时，有 ，
所以 .
再证必要性：即若 ，则 ,
由 知， ，当 时，有 ，
由 就是 或 ，于是 ，当 或 时，有 .
所以
综上所述， f(x)=a的充要条件是f(x)在x0处的左、右极限均存在且都等于a.
解：因为当 时， 的值在-1与1之间来回振摆动，即 不无限接近某一定直线 ，亦即 不以直线 为渐近线，所以 不存在。
习题2-3
1.举例说明：在某极限过程中，两个无穷小量之商、两个无穷大量之商、无穷小量与无穷大量之积都不一定是无穷小量，也不一定是无穷大量.
解：例1：当 时， 都是无穷小量，但由 （当 时， ）不是无穷大量，也不是无穷小量。
(5)有限个无穷大量之和为无穷大量；
(6)y=xsinx在(-∞，+∞)内无界，但 xsinx≠∞；
(7)无穷大量的倒数都是无穷小量；
(8)无穷小量的倒材§2.3定理3；
（3）错误，例当 时， 为无穷大量， 是有界函数， 不是无穷大量；
（4）正确，见教材§2.3定理2；
(2)x1= ,xn+1＝ ,n=1,2,….
证：（1）略。
（2）因为 ，不妨设 ，则
故有对于任意正整数n，有 ，即数列 有上界，
又 ，而 , ，
所以 即 ，
即数列是单调递增数列。
综上所述，数列 是单调递增有上界的数列，故其极限存在。
习题2-2
1※.证明： f(x)=a的充要条件是f(x)在x0处的左、右极限均存在且都等于a.
(3) ; (4) ；
(5) .
解：（1）原式= ；
（2）因为 ，即当 时， 是无穷小量，而 是有界变量，由无穷小量与有界变量的乘积是无穷小量得： ；
习题2-1
1.试利用本节定义5后面的注（3）证明：若 xn=a,则对任何自然数k，有 xn+k=a.
证：由 ，知 ， ，当 时，有
取 ，有 ， ，设 时（此时 ）有
由数列极限的定义得 .
2.试利用不等式 说明：若 xn=a,则 ∣xn∣=|a|.考察数列xn=(-1)n，说明上述结论反之不成立.
证：
是无穷小量。
（6） 当 时， 是无穷小量， 是有界变量，
是无穷小量。
习题2-4
1.若 f(x)存在， g(x)不存在，问 ［f(x)±g(x)］, ［f(x)·g(x)］是否存在，为什么?
解：若 f(x)存在， g(x)不存在，则
（1） ［f(x)±g(x)］不存在。因为若 ［f(x)±g(x)］存在，则由 或 以及极限的运算法则可得 g(x)，与题设矛盾。
证：因为 有
今设 ，则 ，由数学归纳法知，对于任意正整数n有 ，即数列 单调递增。
又因为 ，今设 ，则 ，由数学归纳法知，对于任意的正整数n有 ，即数列 有上界，由极限收敛准则知 存在。
设 ，对等式 两边取极限得 ，即 ，解得 ， （由极限的保号性，舍去），所以 .
5.求下列极限：
(1) ；(2) ；
（2） ［f(x)·g(x)］可能存在，也可能不存在，如： ， ，则 ， 不存在，但 ［f(x)·g(x)］= 存在。
又如： ， ，则 ， 不存在，而
［f(x)·g(x)］ 不存在。
2.若 f(x)和 g(x)均存在，且f(x)≥g(x)，证明 f(x)≥ g(x).
证：设 f(x)=A， g(x)=B，则 ，分别存在 ， ，使得当 时，有 ，当 时，有
2.(1)利用极限的几何意义确定 (x2+a),和 ；
(2)设f(x)= ，问常数a为何值时， f(x)存在.
解：（1）因为x无限接近于0时， 的值无限接近于a，故 .
当x从小于0的方向无限接近于0时， 的值无限接近于0，故 .
（2）若 存在，则 ，
由（1）知 ，
所以，当 时， 存在。
3.利用极限的几何意义说明 sinx不存在.
例2：当 时， 与 都是无穷大量，但 不是无穷大量，也不是无穷小量。
例3：当 时， 是无穷小量，而 是无穷大量，但 不是无穷大量，也不是无穷小量。
2.判断下列命题是否正确：
(1)无穷小量与无穷小量的商一定是无穷小量；
(2)有界函数与无穷小量之积为无穷小量；
(3)有界函数与无穷大量之积为无穷大量；
(4)有限个无穷小量之和为无穷小量；