• 1、纯弯曲梁。一般梁由于剪力的存在，梁的横截面将 发生翘曲，同时横向力将使梁的纵向纤维间产生局部 挤压应力。弹性力学精确分析表明，当跨度 l 与横截 面高度 h 之比 l / h > 5 （细长梁）时，纯弯曲正应力 公式对于横力弯曲近似成立。 • 2、具有纵向对称面的各种截面形状的梁，但注意中性 轴不是横截面的对称轴时，上下表面的抗弯截面模量 不同。 • 3、弹性变形阶段。
M
ql 2 / 8 67.5kN m

x
bh3 0.12 0.183 IZ 5.832 105 m 4 12 12
180 60 103 ( 30) 10 3 M C yK 2 K IZ 5.832 10 5 61.7 10 Pa 61.7MPa
41
IZ
d 4
WZ
d 3
§4-6 弯曲正应力的强度条件
弯曲正应力强度条件
σmax
M W z
σ max
1.等截面直梁，弯矩最大的截面上下边缘 2.变截面梁要综合考虑 M 与
Wz
3.如横截面不对称于中性轴时，上下表面抗弯截面模量不同 4.脆性材料抗拉和抗压性能不同，二方面都要考虑
以弯曲变形为主的杆件通常称为梁。
7
常见梁截面
8
平面弯曲 •具有纵向对称面 •外力都作用在此面内 •弯曲变形后轴线变成对称面内的平面曲线
9
梁载荷的分类
分布载荷 均匀分布载荷 q
线性（非均匀） 分布载荷
q(x) T
集中力
P
T
载荷集度 q(N/m) 注意还有支座反力
10
集中力偶 T
支座种类
A XA
m
q
n l
例2、图示一受均布载荷的悬 臂梁，画该梁弯矩图。
M
Q
lx 1 2 M q(l x ) q( l x ) 2 2
弯矩图
（-）
1 2 ql 2
19
a
F
例3、图示简支梁 C 点受集中力作用。
b
A
FAY
x1
C x2
l
B
FBY
试写出弯矩方程，并画出弯矩图。
解：1．确定约束力
M
Fab / l
M ＝0， M ＝0
A B

x
FAy＝Fb/l FBy＝Fa/l 2.写出弯矩方程
AC CB
3.依方程画出弯矩图
M x1 ＝Fbx1 / l
0 x1 a a x2 l
20
M x2 ＝Fal x2 / l
y
q
例 4 、简支梁受均布载荷作用试写 出弯矩方程，并画出弯矩图。 B
33
二、弯曲正应力公式的推导 1、几何关系
34
1、几何关系
dx
35
2、物理关系
胡克定理
z
E
E
y

y
纯弯曲时梁横截面上任一点的正应力与该点到中性轴 的距离成正比，距中性轴同一高度上各点的正应力相等。
36
3、静力学关系
轴惯性矩
E
y

M EI Z
37
1
正应力公式
变形几何关系

y

E
物理关系
E
M EI Z
1
y

静力学关系
1
My IZ
38

为曲率半径

为梁弯曲变形后的曲率
4、横截面上的弯曲正应力
My max My max IZ IZ
IZ WZ ymax
抗弯截面模量
max
M WZ
min
M WZ
39
• 三、弯曲正应力公式的适用范围
44

92.55 106 Pa 92.55MPa
3. 全梁最大正应力
q=60kN/m
180 120
最大弯矩：
30
A
FAY
B
1m
C
l = 3m
x
K
M max 67.5kN m
截面惯性矩：
z y
I z 5.832 105 m 4
FBY
M
ql / 8 67.5kN m
2
研究对象：等截面直梁 研究方法：实验——观察——假设
一、实验观察和假设推论
31
实验现象:
1、横线仍是直线，但发伸长，
上侧缩短； 3、横截面的高度不变，宽度在上部略 为增大，下部 略为缩小。
32
假设：
1、平面假设：横截面变形后保持为平面，只是绕截面内某一轴线偏 转了一个角度。 2、互不挤压假设：所有纵向纤维只受到轴向拉伸或压缩，相互之间 没有挤压。
支座反力
固定铰支座 (pin support)
A
YA
滚动铰支座 (roller support)
MA A XA
YA
固定支座（fixed support)
YA
11
梁的类型
P1 P2
XA
A
YA
B
YB
XA
MA
A
YA
P1
P2
B
简支梁
XA A P1 B P2
悬臂梁
C
YA YB
外伸梁
12
简支梁
外伸梁
悬壁梁
13
6
（压应力）
43
q=60kN/m
180
120
2. C 截面最大正应力
30
A
FAY
B
1m
C
l = 3m
x
K
C 截面弯矩
M C 60kN m
z y
FBY
C 截面惯性矩
I Z 5.832 105 m 4
M
ql 2 / 8 67.5kN m

x
Cmax
M C ymax IZ 60 103 180 10 3 2 5.832 10 5
a
M
b
A
FAY
x1
C
l
x2
B
FBY
解：1．确定约束力
M ＝0， M ＝0
A B
Ma / l
FAy＝M / l FBy＝ -M / l

Mb / l
2．写出弯矩方程
AC
M x1 ＝Mx1 / l M x2 ＝ Mx2 / l
0 x1 a 0 x2 b
24
(2)画弯矩图
(i) 分段，初步确定弯矩图形状 仍将全梁分为CA、AD、DB三段。 CA段有向下的均布载荷，弯矩图为凸形的抛物线；AD、DB两段则为傾 斜直线；在A处因有集中力，弯矩图有一折角；在D处弯矩有突变，突 变之值即为该处集中力偶之力偶矩。 (ii)求特殊截面上的弯矩 为画出各段梁弯矩图，需求以下各横截面 上弯矩：
M max 15kN m
26
二、弯矩图的叠加作图法
叠加原理：
P 1 P2

=
P2
P 1
1
+
2
1 2
M M1 M 2
27
叠加原理：
几个载荷共同作用的效果，等于各个载荷单独效果之和。
“效果”—— 指载荷引起的反力、内力、应力或变形。 “之和”——代数和。 叠加原理成立的前提条件： （1）小变形；

§4-2 梁弯曲时的内力
x m n l P
力平衡：Q - P = 0 力矩平衡：M + P(l-x) = 0
M
Q
P
剪力：Q = P 弯矩：M = - P(l-x)
Q
M
（按左半边梁，能算出Q、M吗？） 剪力、弯矩正负号的含义
14
注意:当梁的跨度(两支点间的距离)较大时， 剪力相比于弯矩较小，在工程上可不考虑剪 力的作用，只考虑弯矩。 弯矩的符号约定
t ,max t
c ,max c
42
例题6-1
q=60kN/m x
180
120
A
FAY
B
1m
C
l = 3m
K
FBY
y 解：1. 求支反力 FAy 90kN FBy 90kN
M C 90 1 60 1 0.5 60kN m
1.C 截面上K点正应力 2.C 截面上最大正应力 30 3.全梁上最大正应力 z 4.已知E=200GPa， C 截面的曲率半径ρ
第四章 直梁的弯曲
1

§4-1 平面弯曲的概念 梁的类型
拉压杆：承受轴向拉、压力 轴 ：承受扭矩 墙
桥板
楼板
梁：承受横向力
2
起重机大梁
P
3
目录
镗刀杆
P 目录
4
火车轮轴
目录
5
火车轮轴简化
6
P
P
弯曲特点：
受力特点：受到垂直于杆件轴线的外力（即横向力）或 力偶的作用 变形特点：杆件的轴线由原来的直线变成曲线
推论：
1、纯弯曲时梁的变形本质上是拉伸或压缩变形，而非剪切变形，梁横截 面宽度的改变是纵向纤维的横向变形引起的；
2、横截面上只有正应力，而无剪应力；凹侧纤维缩短，凸侧纤维伸长。 因此凹侧受压缩，存在压缩应力；凸侧受拉伸，存在拉伸应力； 3、梁内既没有伸长也没有缩短的纤维层，叫做中性层，中性层与横截面 的交线叫中性轴，中性层将梁分成受压和受拉区，即中性层一侧作用拉 伸应力，另一侧作用压缩应力，中性层上正应力为零，梁横截面的偏转 就是绕其中性轴旋转的。
一、弯矩图的作法：先求得梁的支座反力，列 出弯矩方程，然后选择适当的比例，以x为横 坐标，弯矩为纵坐标，按方程作图。正的弯矩 画在x的上方，负弯矩画在下方。