1 e 1 ) O( 2 ) p ln x ln x
根据 Mertens 定理 3
(1
p x
得
1 e 1 / 2 (1 p ) ln x / 2 O( ln 2 x / 2 ) ps k x sk

式中大 O(
2e / 1 O( 2 / 2 ) ln x ln x

2e / 1 O( 2 / 2 ) ln x ln x
1 ln x k

i
∴ π(x)=
sk 2 1 2 （ p p ） ) g ( x) k 1 k (1 p k 1 j 1 j
i
=
（ p
k 1

2 k 1
sk
(p
2 k 1
p ) (1
j 1
2 k
1 ) pj
(1)
调整每个区间的 s k 值，理论上就可以得到不大于 n 的素数个数公式 （S） π(n)=
sk 2 1 2 ( p p ) ) g ( n) k 1 k (1 p k 1 j 1 j i
j 1
1 ) pj
成立。
当 i=k+1 时， ∵
p1 |n， p 2 |n，…， p k |n，据归纳假设
k
∴
y k (n) n (1
j 1
1 ) pj
因为 p k 1 |n ，所以 m≠o (mod p k 1 ) 的数有
k n 1 (1 ) 个 p k 1 j 1 pj k
2
1 ， x k x0 ln x 1 △>0， s 1 > s 2 ，ρ> ， xk x0 ln x 1 △<0， s 1 < s 2 ，ρ< ， x k x0 ln x
∴
w(k)<
pk p sk
考虑到这 i 个区间 s k 取值的整体一致性(即 log p k p sk 2e ， 引理 3 这点的证明)， 这 i 个区间中可能存在区间误差 w(k)大于 1，最大可达到
pk ( p k ) ，因为是 p n 导致的 p sk
波动误差，所以，累加后误差 w(S)是不会超过
n (1
j 1
1
k 1
∴
i=k+1 时，结论 y k 1 (n) n
(1பைடு நூலகம் p
j 1
1
j
)
成立。
由 I、Ⅱ可得，当 i 为任何正整数，结论都成立。 引理 1 证毕。 引理 2 ： （素数连乘积公式） ：若 p1 2 , p 2 3 ，… p k …, pi , pi 1 为连续素数，
n 个， 去了 p1 , p 2 , , p k 的倍数后，余 p k 1
∴
y k 1 (n) n (1
j 1 k
k 1 n 1 ) (1 ) pj p k 1 j 1 pj k 1 1 1 1 ) (1 ) n (1 ) pj p k 1 pj j 1
sk 2 1 2 （ p p ） ) g ( x) k 1 k (1 p k 1 j 1 j i
（ log p k p s k ） ，得
p sk p k
∵ ∴
p k2 x p k21
p s k p k ( x ) x / 2
pi21 pi2 t 1 pi21 p i2 t 1 1 1 k 1 1 ，而不是 ( 1 ) (1 ) . (1 ) pi pu j t pj pi pu u 1 u 1 pi21 pi2 t 1 p 2 p i2 t 1 1 1 k 1 1 (1 ) (1 ) ， 所以， 少减了。 (1 ) > i 1 pi pu j t pj pi pu u 1 u 1
pi2 n＜p i21 , 则不大于 n 的素数个数π(n)有公式（S）和公式（L）为
（S） π(n)=
sk 2 1 2 ( p p ) ) g ( n) k 1 k (1 p k 1 j 1 j i
其中 g(n)满足：－
1 1 ( n ) <g(n)< 1 ( n ) 1 pi pi
x
x
ln t
2
dt
（L）’
( x)
x dt 2 ln x 2 ln t
2 ln t ln 2 g ( x)
2
dt
其中 g (x)满足：－
1 p
1 i
dt 1 <g (x)< ln t pi 1 2
x
x
ln t
2
dt
证明：根据引理 2（素数连乘积公式） π(x)=
证明：
2 2 2 2 ∵ n＝3+(8－3)+(24－8)+(48－24)+…+ ( p k 1 p k ) +…+ ( p i 1 p i ) 2 2
∴ 根据引理 1，区间［ p k , p k 1 ）的素数个数可近似表示为
k
2 ( p k21 p k ) (1
j 1
根据素数定理，以及就平均而言 p k 1 p k ln p k
3
∴
2 ［ pk , p k21 ) p 2 p k2 2 p k ln p k ln 2 p k ln p k k 1 1 2 2 pk pk p k ln p k p k ln p k
∴
2 ［ pk , p k21 ) p ［ p k2 , p k21 ) p ln p k p ＝ k k (1 ) <2 k psk p sk pk psk pk p sk
k 1

2 k 1
1 p k2） ln x k
i
2 pk 1 1

k 1
x
2 pk

dt g ( x) ln t

dt g ( x ) ln t 2
2
式中△是代换误差（系统误差） ，任取一素数 p k ，在区间［ p k ， （ p k +ln p k ) ）上， 设素数平均分布密度为ρ，△=0 时的 x k x0 ,则
sk
2 2 w(k)= | ( p k 1 p k )
(1 p
j 1
1
j
) －π［ p k2 , p k21 )|
w(S)=|
sk 2 1 2 ( p p ) ) ( n) | k 1 k (1 p k 1 j 1 j i
l
w(L)= | n
(1 p
j 1
1
j
) ( n) |
2 （上式中的π［ p k , p k21 ）表示区间［ p k2 , p k21 ）的素数个数）
2 2 ［ pk , p k21 ) ［ pk , p k21 ) （1）式误差 w(k)应小于 的一半。下面计算 。 psk psk
( n) n n n n ( n) pl pl ln n 2 pl ln n 2 p l
∵
pi2 n＜p i21
∴
n pi 2
w(L)<
∴ 定理 2 证毕。
pi ( n) 2 pl
4
引理 3： （素数连续函数公式） ：若 p1 2 , p 2 3 ，… p k …, pi , pi 1 为连续素数，
pi2 x＜p i21 , 则不大于 x 的素数个数π(x)有公式（S）’ 和公式（L）’ 为
（S） ’
dt ( x) ln t 2
x
x
2 ln t g ( x)
2
dt
其中 g (x)满足：－
x 2
1 p
1 i
dt 1 <g (x)< ln t pi 1 2 2
因为
为了与引理 1 有相吻合的表达式，也避免向后演绎导致麻烦，采取让 p k 后的去素数倍数因
2
子 (1
1 1 1 2 ) 、(1 )、 …、 (1 ) 提前进入， 来平衡少减的量。 所以， 区间 ［ pk , p k21 ） p sk p k 1 pk 2
有较精确的素数个数表达式
1 ) pj
2 pk 1 / pk 1 时，p k 到
2 因为 p k k＜p k21 ， 所以当 p j = pt >
p k21 之间的数没有 p j 的 pk
倍数，所以在去掉 p1 2 , p 2 3 ， pu pt … p j … p k 1 ,的倍数后，余下数中， p k 的倍 数个数是

（ log p k p sk 2e
l
≈1.123 , 欧拉常数γ=0.5772156649 … ）
（L）
π(n)= n
(1 p
j 1
1
j
) g ( n)
（ log pi pl 单增）
其中 g(n)满足：
pi p ( n ) g ( n) i ( n ) 2 pl 2 pl
其中 g(n)满足：－
1 1 ( n ) <g(n)< 1 ( n ) 1 pi pi

（ log p k p sk 2e
2 2
≈1.123,欧拉常数γ=0.5772156649 … ,）
知道了 n 受 pi n＜p i 1 限制，所导致偏差的原因，同理可得另一形式的 不大于 n 的素数个数公式