第一部分：以“增减性”为主导的综合问题【典型例题1】在平面直角坐标系xOy 中.已知抛物线22y ax bx a =++-的对称轴是直线x =1.（1）用含a 的式子表示b ，并求抛物线的顶点坐标；（2）已知点()0,4A -，()2,3B -，若抛物线与线段AB 没有公共点，结合函数图象，求a 的取值范围；（3）若抛物线与x 轴的一个交点为C （3，0），且当m ≤x ≤n 时，y 的取值范围是m ≤y ≤6，结合函数图象，直接写出满足条件的m ，n 的值.二次函数热点压轴题【变式与拓展】1.在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线222++-=a ax x y 2的顶点C ，过点B （0，t ）作与y 轴垂直的直线l ，分别交抛物线于E ，F 两点，设点E （x 1，y 1），点F （x 2，y 2）（x 1＜x 2）．（1）求抛物线顶点C 的坐标；（2）当点C 到直线l 的距离为2时，求线段EF 的长；（3）若存在实数m ，使得x 1≥m -1且x 2≤m +5成立，直接写出t 的取值范围．2.在平面直角坐标系xOy中，抛物线223y x bx=-+-的对称轴为直线x=2．（1）求b的值；（2）在y轴上有一动点P（0，m），过点P作垂直y轴的直线交抛物线于点A（x1，y1），B（x2，y2），其中12x x<．①当213x x-=时，结合函数图象，求出m的值；②把直线PB下方的函数图象，沿直线PB向上翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象W，新图象W在0≤x≤5时，44y-≤≤，求m的取值范围．【小试身手】已知二次函数)0(222≠--=a ax ax y ．（1）该二次函数图象的对称轴是直线；（2）若该二次函数的图象开口向上，当-1≤x ≤5时，函数图象的最高点为M ，最低点为N ，点M 的纵坐标为211，求点M 和点N 的坐标；（3）对于该二次函数图象上的两点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），设t ≤x 1≤t +1，当x 2≥3时，均有y 1≥y 2，请结合图象，直接写出t 的取值范围．【方法与策略】总结：第二部分以“对称性”为主导的综合问题【典型例题】1.抛物线M ：241y ax ax a =-+-(a ≠0)与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 左侧），抛物线的顶点为D .（1）抛物线M 的对称轴是直线____________；（2）当AB =2时，求抛物线M 的函数表达式；（3）在（2）的条件下，直线l ：y kx b =+(k ≠0)经过抛物线的顶点D ，直线y n =与抛物线M 有两个公共点，它们的横坐标分别记为1x ，2x ，直线y n =与直线l 的交点的横坐标记为3x （30x >），若当2-≤n ≤1-时，总有13320x x x x ->->，请结合函数的图象，直接写出k 的取值范围.2．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线243=-+．y ax ax a（1）求抛物线的对称轴；（2）过点T（0，t）（其中1-≤t≤2）且垂直y轴的直线l与抛物线交于M，N两点，若对于满足条件的任意t值，线段MN的长都不小于1，结合函数图象，直接写出a的取值范围．【拓展与变式】1．在平面直角坐标系xOy 中，已知点(3,1)A -，(1,1)B -，(,)C m n ，其中1n >，以点,,A B C 为顶点的平行四边形有三个，记第四个顶点分别为123,,D D D ，如图所示.（1）若1,3m n =-=，则点123,,D D D 的坐标分别是（），（），（）；（2）是否存在点C ，使得点123,,,,A B D D D 在同一条抛物线上？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，说明理由.2.有一个二次函数满足以下条件：①函数图象与x 轴的交点坐标分别为(1,0)A ，22(,)B x y (点B 在点A 的右侧)；②对称轴是3x =；③该函数有最小值是-2.（1）请根据以上信息求出二次函数表达式；（2）将该函数图象2x x ＞的部分图象向下翻折与原图象未翻折的部分组成图象“G ”，平行于x 轴的直线与图象“G ”相交于点33(,)C x y 、44(,)D x y 、55(,)E x y （345x x x <<），结合画出的函数图象求345x x x ++的取值范围.【小试身手】在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x bx c =-++经过点（2，3），对称轴为直线x =1.（1）求抛物线的表达式；（2）如果垂直于y 轴的直线l 与抛物线交于两点A （1x ，1y ），B （2x ，2y ），其中01<x ，02>x ，与y 轴交于点C ，求BC -AC 的值。

【方法与策略】总结：第三部分以“顶点”为主导的综合问题【典型例题】在平面直角坐标系xOy中，存在抛物线y=mx2+2．线段AB的两个端点分别为A（-3，m），B（1，m）．（1）求该抛物线的顶点坐标；（2）若该抛物线经过点A（-3，m），求m的值；（3）若线段AB与该抛物线只有一个公共点，结合函数的图象，求m的取值范围．一、“特征”二、“界点”三、“区间”抛物线y=mx2+2把A（-3,m）代入抛物线，得m=1.开口:向上或向下把B（1,m）代入抛物线，得m=2.对称轴：x=3.顶点：（，）4.与y轴交点：（0,）5.与x轴交点：————6.过定点：【拓展与变式】在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线G ：224844y x ax a =-+-，(1,0),(,0)A N n ．（1）当1a =时，①求抛物线G 与x 轴的交点坐标；②若抛物线G 与线段AN 只有一个交点，求n 的取值范围；（2）若存在实数a ，使得抛物线G 与线段AN 有两个交点，结合图象，直接写出n 的取值范围．【小试身手】在平面直角坐标系xOy 中，有一抛物线其表达式为222y x mx m =-+.（1）当该抛物线过原点时，求m 的值；（2）坐标系内有一矩形OABC ,其中(4,0)A 、(4,2)B .①直接写出C 点坐标；②如果抛物线222y x mx m =-+与该矩形有2个交点，求m 的取值范围.第三部分：以求“整点”个数为主导的综合问题【典型例题】在平面直角坐标系xOy 中，抛物线c bx ax y ++=2过原点和点A （-2，0）.（1）求抛物线的对称轴；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．已知点B （0，），记抛物线与直线AB 围成的封闭区域（不含边界）为W ．①当=1a 时，求出区域W 内的整点个数；②若区域W 内恰有3个整点，结合函数图象，直接写出a 的取值范围．【变式与拓展】在平面直角坐标系xOy 中，抛物线223y ax ax a =--（0a ¹）顶点为P ，且该抛物线与x 轴交于A ,B 两点（点A 在点B 的左侧）．我们规定：抛物线与x 轴围成的封闭区域称为“G 区域”（不包含边界）；横、纵坐标都是整数的点称为整点．（1）求抛物线223y ax ax a =--顶点P 的坐标（用含a 的代数式表示）；（2）如果抛物线223y ax ax a =--经过（1,3）．①求a 的值；②在①的条件下，直接写出“G 区域”内整点的个数．（3）如果抛物线223y ax ax a =--在“G 区域”内有4个整点，直接写出a 的取值范围.【小试身手】在平面直角坐标系xOy 中，直线(0)y kx b k =+≠与抛物线243y ax ax a =-+的对称轴交于点(1)A m -，，点A 关于x 轴的对称点恰为抛物线的顶点．（1）求抛物线的对称轴及a 的值；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记直线(0)y kx b k =+≠与抛物线围成的封闭区域（不含边界）为W ．①当=1k 时，直接写出区域W 内的整点个数；②若区域W 内恰有3个整点，结合函数图象，求b 的取值范围．【方法与策略】总结：第四部分：以求“交点”个数为主导的综合问题（一）“目标线段”是静止的【典型例题】在平面直角坐标系xOy中，直线y=4x+4与x轴，y轴分别交于点A，B，抛物线y=ax2+bx﹣3a经过点A，将点B向右平移5个单位长度，得到点C．（1）求点C的坐标；（2）求抛物线的对称轴；（3）若抛物线与线段BC恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．【变式与拓展】在平面直角坐标系xOy 中，抛物线24(0)y ax ax c a =-+≠与y 轴交于点A ，将点A向右平移2个单位长度，得到点B .直线335y x =-与x 轴，y 轴分别交于点C ，D .（1）求抛物线的对称轴；（2）若点A 与点D 关于x 轴对称，①求点B 的坐标；②若抛物线与线段BC 恰有一个公共点，结合函数图象，求a 的取值范围.【小试身手】已知：抛物线2(12)2y ax a x =+--(0)a ≠与y 轴交于点C .当1a =时，抛物线与x 轴交于点A ，B （点A 在点B 左侧）．（1）求点A ，B ，C 的坐标；（2）若该抛物线2(12)2y ax a x =+--与线段AB 总有两个公共点，结合函数的图象，求a 的取值范围.（二）“目标线段”是运动的【典型例题】在平面直角坐标系xOy中，抛物线21y ax bxa=+-与y轴交于点A，将点A向右平移2个单位长度，得到点B，点B在抛物线上．（1）求点B的坐标（用含a的式子表示）；（2）求抛物线的对称轴；（3）已知点11(,2Pa-，(2,2)Q．若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．()2230y ax ax a =--¹【变式与拓展】在平面直角坐标系xOy 中，抛物线与y 轴交于点A ．（1）直接写出点A 的坐标；（2）点A 、B 关于对称轴对称，求点B 的坐标；（3）已知点(4,0)P ，1(,0)Q a-．若抛物线与线段PQ 恰有两个公共点，结合函数图象，求a 的取值范围．【方法与策略】总结：。