品管七大手法之直方图 Corporation standardization office #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8 直方图(Histogram) 一、前 言 现场工作人员经常都要面对许多的数据，这些数据均来自于生产过程中抽样或检查所得的某项产品的质量特性。如果我们应用统计绘图的方法，将这些数据加以整理，则生产过程中的质量散布的情形及问题点所在及过程、能力等，均可呈现在我们的眼前；我们即可利用这些信息来掌握问题点以采取改善对策。通常在生产现场最常利用的图表即为直方图。
二、直方图的定义 ⒈什么是直方图： 即使诸如长度、重量、硬度、时间等计量值的数值分配情形能容易地看出的图形。直方图是将所收集的测定值特性值或结果值，分为几个相等的区间作为横轴，并将各区间内所测定值依所出现的次数累积而成的面积，用柱子排起来的图形。因此，也叫做柱状图。 ⒉使用直方图的目的： ⑴了解分配的形态。 ⑵研究制程能力或计算制程能力。 ⑶过程分析与控制。 ⑷观察数据的真伪。 ⑸计算产品的不合格率。 ⑹求分配的平均值与标准差。 ⑺用以制定规格界限。 ⑻与规格或标准值比较。 ⑼调查是否混入两个以上的不同群体。 ⑽了解设计控制是否合乎过程控制。
3.解释名词： ⑴次数分配
116 品管七大手法 将许多的复杂数据按其差异的大小分成若干组，在各组内填入测定值的出现次数，即为次数分配。 ⑵相对次数 在各组出现的次数除以全部的次数，即为相对次数。 ⑶累积次数(f) 自次数分配的测定值较小的一端将其次数累积计算，即为累积次数。 ⑷极差(R) 在所有数据中最大值和最小值的差，即为极差。 ⑸组距(h) 极差/组数=组距 ⑹算数平均数(X) 数据的总和除以数据总数，通常一X（X-bar）表示。
⑺中位数(X) 将数据由大至小按顺序排列，居于中央的数据为中位数。若遇偶位数时，则取中间两数据的平均值。 ⑻各组中点的简化值(μ)
⑼众数(M) 次数分配中出现次数最多组的值。
例： 不合格数 3 5 7 9 10 11 次 数 11 15 18 24 13 16 次数最多为24，不合格数是9，故众数为9。 ⑽组中点(m) 一组数据中最大值与最小值的平均值， （上组界+下组界）÷ 2=组中点
第八章 直方图 117
X= X1+X2+ …… +Xn n
X= Sμf n X0+h ~
μ= ,
Xi -
X 组距
(h)
X0=次数最多一组的组中点 X=各组组中点
nXini1= ⑾标准差（σ）
⑿样本标准差(S)
三、直方图的制作 ⒈直方图的制作方法 步骤1：收集数据并记录 收集数据时，对于抽样分布必须特别注意，不可取部分样品，应全部均匀地加以随机抽样。所收集的数据个数应大于50以上。
例:某厂成品尺寸规格为130至160mm，今按随机抽样方式抽取60个样本，其测定值如附表，试制作直方图。 138 139 144 131 140 145 134 135 137 136 142 140 138 127 130 141 136 134 132 131 148 141 139 138 136 135 137 132 130 131 145 138 136 137 128 131 133 134 135 139 140 138 137 137 138 136 134 121 135 136 141 139 137 133 132 131 132 129 134 135 步骤2：找出数据中的最大值(L)与最小值(S) 先从各行（或列）求出最大值，最小值，再予比较。 最大值用“□”框起来，最小值用“○”框起来
118 品管七大手法
σ=σ0 = h×
s=σn-1 = h×
nnff2)μ(2μ
12)μ(2μnnff EX: 138 139 144 131 140 145 134 135 137 136 142 140 138 127 130 141 136 134 132 131 148 141 139 138 136 135 137 132 130 131 145 138 136 137 128 131 133 134 135 139 140 138 137 137 138 136 134 121 135 136 141 139 137 133 132 131 132 129 134 135
得知： L1=145 L2=142 L3=148 L4=145 L5=140 L6=141 S1=131 S2=127 S3=130 S4=128 S5=121 S6=129
求得L=148 S=121
步骤3：求极差(R) 数据最大值(L)减最小值(S)=极差(R) 例：R=148-121=27 步骤4：决定组数 ⑴ 组数过少，虽然可得到相当简单的表格，却失去次数分配的本质与意义；组数过多，虽然表格详尽，但无法达到简化的目的。通常，应先将异常值剔除再进行分组。 ⑵ 一般可用数学家史特吉斯(Sturges)提出的公式，根据测定次数n来计算组数k，公式为： k=1+ log n 例：n=60 则k=1+ log 60=1+= 即约可分为6组或7组 ⑶ 一般对数据的分组可参照下表： 数据数 组 数 ～50 5～7 51～100 6～10
第八章 直方图 119 101～250 7～12 250～ 10～20 例：取7组 步骤5：求组距(h)
⑴组距=极差÷组数(h= ) ⑵为便于计算平均数及标准差，组距常取为2，5或10的倍数。 例：h= =，组距取4 步骤6：求各组上限，下限(由小而大顺序)
⑴第一组下限=最小值— 第一组上限=第一组下限+组界 第二组下限=第一组上限 … … ⑵最小测定单位 整数位的最小测量单位为 小数点1位的最小测量单位为 小数点2位的最小测量单位为 ⑶最小数应在最小一组内，最大数应在最大一组内；若有数字小于最小一组下限或大于最大一组上限值时，应自动加一组。 例： 第一组=121-1/2=～ 第二组=～ 第三组=～ 第四组=～ 第五组=～ 第六组=～ 第七组=～ 步骤7：求组中点
组中点(值)=
R — k
27 — 7
最小测量单位 2 120 品管七大手法
该组上限+该组下限 2 例：第一组=+÷2= 第二组=+÷2= 第三组=+÷2= 第四组=+÷2= 第五组=+÷2= 第六组=+÷2= 第七组=+÷2=
步骤8：作次数分配表 ⑴将所有数据，按其数值大小记在各组的组界内，并计算其次数。 ⑵将次数相加，并与测定值的个数相比较；表示的次数总和应与测定值的总数相同。 次数分配表 组 号 组 界 组中点 划 记 次 数 μ μf μ2f
1 2 3 4 5 6 7 ～ ～ ～ ～ ～ ～ ～ 1 2 12 18 19 5 3 -4 -3 -2 -1 0 +1 +2 -4 -6 -24 -18 0 +5 +6 16 18 48 18 0 5 12
合 计 60 Σf=-7 Σμf =-41 Σμ2f=117
Σμ2f —（Σμf）2 / n 117 —（-41）2 / 60 σ= h * √------------------------ = 4 * √---------------------- = n 60
Σμ2f —（Σμf）2 / n 117 —（-41）2 / 60 S = h * √------------------------ = 4 * √---------------------- = n — 1 60 — 1
步骤9：制作直方图 ⑴将次数分配表图表化，以横轴表示数值的变化，纵轴表示次数。 ⑵横轴与纵轴各取适当的单位长度。再将各组的组界分别标在横轴上，各组界应为等距分布。 ⑶以各组内的次数为高，组距为宽；在每一组上画成矩形，则完成直方图。
第八章 直方图 121 ⑷在图的右上角记入相关数据履历（数据总数n，平均值x，标准差σ…），并划出规格的上、下限。 ⑸填入必要事项：产品名称、工序名称、时间、制作日期、制作者。
说明：1.分组后再计算的σ，s为近似值 2.如直接以原始数据60个，依公式计算，可得真值。
2.用计算机计算统计量 若手边有函数型计算机，可使用次数分配表中，输入组中点与次数，迅速求得各统计量n, x,σ与s。 如目前使用最普遍的CASIO fx-3600PV,其计算步骤如下： 按 键 功 能 说 明 荧幕显示
122 品管七大手法 n=60 x= σ= s =
MODE 3 SHIFT KAC ×1 DATA ×2 DATA ×12 DATA ×18 DATA ×19 DATA ×5 DATA ×3 DATA KOUT 3 SHIFT x SHIFT xσn SHIFT xσn-1 KONT 2 KNOT 1 进入统计计算系统 清除记忆 输入组中点及次数数据 " " " " " " 输出统计量n " X " σ " s " ΣX " Σ2 SD 0
60 …
8146 1107379
20 15
SL =130
Sμ=160 n=60
x=
σ=
s =σ n-1=