…………………………………………….1分
…………………………………………..….2分
， 正定，大范围一致渐近稳定….1分
……….……….…………….1分
由
…………...………………..1分
得
………..………….1分
于是
…………..2分
（2）
………...……………….1分
…...………………………1分
…………..……………1分
……………………………………1分
从而知能控标准型为
…………………………1分
五、(10分）（1）利用Lyapunov第一方法判断系统平衡点 的稳定性（5分）：
令位移变量为x1，速度变量为x2，外力为输入u，有
………………………………2分
于是有
………………………………..……………1分
……….….……………….2分
再令位移为系统的输出y，有
…………………………….……….1分
写成状态空间表达式，即矩阵形式，有
………..……………..2分
……………………..……….……….2分
（2）取 ，通过求解Lyapunov方程判断系统平衡点 的稳定性（5分）：
解
（1）
…………………………….2分
……………………………………………….1分
的特征值为 ，具有正实部…………………………..1分
所以系统在平衡点 不稳定……………………...……….1分
（2）
令
………………………………………….1分
.……….…………………..…..1分
…………………………..…..2分
（2）
………….….……….……..2分
……….………………...……….……..1分
四、（10分）
（1）求系统 的传递函数 .（5分）
(2)求系统 的能控标准型（可以不求变换矩阵）。（5分）
解(1)由状态空间表达式得到传递函数的公式为：
现代控制理论试题及答案（网上下载）
一、（10分）考虑如图的质量弹簧系统。其中，m为运动物体的质量，k为弹簧的弹性系数，h为阻尼器的阻尼系数，f为系统所受外力。取物体位移为状态变量x1，速度为状态变量x2，并取位移为系统输出y，外力为系统输入u，试建立系统的状态空间表达式。
解
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二、（8分）矩阵 是 的常数矩阵，关于系统的状态方程式 ，有
时， ； 时， 。
试确定状态转移矩阵 和矩阵 。
解
因为系统的零输入响应是
……………..……….……….2分
所以
，
将它们综合起来，得
……………….……….2分
…………….……….2分
而状态转移矩阵的性质可知，状态转移矩阵 满足微分方程
和初始条件
因此代入初始时间 可得矩阵 为：
…………….……….1分
…………………………………….……….1分
三、（10分）（1）设系统为
试求出在输入为 时系统的状态响应（7分）。
(2)已知系统 ，写出其对偶….……..1分
……….….……….……..2分
….……..1分