第四章根轨迹法
4-1 根轨迹法的基本概念
4-2 常规根轨迹的绘制法则
4-3 广义根轨迹
4-1 根轨迹法的基本概念
一、根轨迹的概念
根轨迹：系统中某个参数从零到无穷变化时，系统闭环特征根在s平面上移动的轨迹。

根指的是闭环特征根(闭环极点)。

根轨迹法是根据开环传递函数与闭环传递函数的关系，通过开环传递函数直接分析闭环特征根及系统性能的图解法。

K =0 s 1=0 s 2=-4
0 < K <1s 1 s 2为不等的负实根
K =1s 1=-2 s 2=-2
1 < K < ∞s 1s
2 实部均为-
2
由根轨迹可知：
1）当K =0时,s 1=0,s 2=-1,这两点恰是开环传递函数的极点,同时也是闭环特征方程的极点.
2）当0<K < 1 时,s 1,2都是负实根,随着k 的增长,s 1从s 平面的原点向左移,s 2从-1点向右移。

3) 当K = 1时, s 1,2= -2,两根重合在一起,此时系统恰好处在临界阻尼状态。

4) 1 <K <∞,s 1,2为共轭复根,它们的实部恒等于-2，虚部随着K 的增大而增大,系统此时为欠阻尼状态。

★在s平面上,用箭头标明K增大时,闭环特征根移动的方向,以数值表明某极点处的增益大小。

有了根轨迹图就可以分析系统的各种性能：(1)稳定性:根轨迹均在s的左半平面,则系
统对所有K>0都是稳定的。

(2)稳态性能:如图有一个开环极点(也是闭
环极点)s=0。

说明属于I型系统，阶跃作用
下的稳态误差为0。

在速度信号V0t作用下,
稳态误差为V0/K，在加速度信号作用下,稳
态误差为∞。

(3)动态性能：
过阻尼临界阻尼欠阻尼
K越大，阻尼比ξ越小,超调量σ%越大。

由此可知：
1、利用根轨迹可以直观的分析K的变化对系统性能的影响。

2、根据性能指标的要求可以很快确定出系统闭环特征根的位置；从而确定出可变参数的大小，便于对系统进行设计。

由以上分析知：根轨迹与系统性能之间有着密切的联系,但是,高阶方程很难求解，用直接解闭环特征根的办法来绘制根轨迹是很麻烦的。

绘制根轨迹的思路：通过一些绘制法则由开环传递函数直接绘制闭环根轨迹。

4-2 常规根轨迹的绘制法则
一、绘制根轨迹的基本法则
1.根轨迹的起点和终点
K*=0时对应的根轨迹点称根轨迹的起点，K* =∞时对应的根轨迹点称根轨迹的终点
根轨迹起于开环极点，终于开环零点。

若开环零点数m小于开环极点数n,则有n-m条根轨迹终于无穷远处（无限零点）。

2.根轨迹的分支数，对称性和连续性
分支数=特征方程阶数；
根轨迹连续且对称于实轴。

3.实轴上的根轨迹
实轴上某一区域右边的开环零、极点总数为奇数时，则该区域是根轨迹。

来说,其左边的因为对实轴根轨迹上的任一点s
1
开环零、极点到s
点的相角总是0，对相角方程
1
点的相角总没影响。

其右边的开环零、极点到s
1
是π，
根轨迹的分离点或出现在实轴上,或共轭成对地出现在复平面中,但以实轴上的分离点最为常见。

实轴上的分离点：
1）若实轴上两个相邻开环极点之间是根轨迹，则这两极点之间至少存在一个分离点。

2）若实轴上两个相邻开环零点之间是根轨迹，则这两零点之间至少存在一个分离点（其中一个零点可以是无限零点）。

注意：由分离点公式求出d后，一定要进行检查，应舍弃不在根轨迹上的点d。

法则:仅由两个极点(实数或复数)和一个有限零点组成的开环系统。

只要有限零点没有位于两个实数极点之间。

当k*从0到无穷变化时,闭环根轨迹的复数部分是以有限零点为圆心,以有限零点到分离点的距离为半径的圆或圆的一部分。

6.根轨迹与虚轴的交点根轨迹方程1+G (s)=0
令s=j w 代入根轨迹方程得1+G (j w )=0,然后分别令1+G (j w )的实部和虚部都等于0,即可求得根轨迹与虚轴的交点,及此时的K*。

7.根轨迹的起始角与终止角(针对有开环复数极点或开环复数零点情况)
起于开环复极点的根轨迹,在起点处的切线与正实轴的夹角, 称为根轨迹的起始角。

终止于开环复零点的根轨迹,在终点处的切线与正实轴的夹角叫终止角。

pl θzl ϕ
∑∑∑∑=≠==≠=−∠−−∠++=−∠−−∠++=n
i m
l
i i i l i l zl m i n
l i i i l i l pl z z p z k p p z p k 1
1
11
)12()12(）
（）（）
（）（πϕπθ
0)
k ( 6.71906.26135)1k 2()j 1(j 1()3j 1()j 1()1k 2()p p ()p p ()p p ()1k 2(4323133p =−=−−−π+=−−−+−∠−++−∠−+−∠π+=−∠−−∠−−∠π+=θ取－－D
D
D
D
由根轨迹的对称性可知
(6)根轨迹与虚轴的交点
系统的特征方程为0685)(*
234=++++=K s s s s s D 令s=jw 代入实部和虚部都为0得:
⎪⎩⎪⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧=+−=+−16
.8K 1
.1ω（舍去），0K 0ω0ω6ω50K ω8ω*
*3*24D
6
.714=p θ
系统根轨迹为下图：
8.根之和
n-m≥2时，闭环极点之和=开环极点之和
绘制根轨迹的步骤
(1)把闭环特征方程表示成根轨迹方程的形
式，画出开环零极点分布图；
(2)实轴上的根轨迹
(3)求渐近线与实轴的夹角和交点
(4)求出分离点
(5)求与虚轴交点
(6)求起始角和终止角（一般不会遇到）注：实轴上的根轨迹不能画错，用粗线标出；渐近线、分离点一定要求；渐近线
虚线，根轨迹要标箭头。

二、闭环极点的确定
每条根轨迹上的任何一点，都是对应于某一K*值的闭环极点，应在准确的根轨迹上按模值方程确定。

较简便的方法：对于特定K*值的闭环极点，使用试验法确定实轴上的闭环极点的数值，然后用综合除法或根之和根之积的代数方法确定其余的闭环极点。

4-3广义根轨迹
绘制根轨迹时，可变参数可以是控制系统中的任何一个参数,如某开环零点、开环极点。

以非开环根轨迹增益为可变参数绘制的根轨迹叫广义根轨迹。

负反馈系统中以开环根轨迹增益K*为可变参数绘制的根轨迹称为常规根轨迹。

广义根轨迹分为参数根轨迹和零度根轨迹。

这里只介绍参数根轨迹。

利用等效开环传递函数绘制的根轨迹，只能确定控制系统的闭环极点，对系统稳定性进行分析。

若要求根轨迹某点处系统的稳态误差和动态性能，必须用原系统的结构。

即：等效只是与原系统闭环特征方程等效，等效系统的闭环极点与原系统相等，要对原系统进行分析，零点仍要用原系统的零点。