选修4－1几何证明选讲1．平行截割定理(1)平行线等分线段定理如果一组__________在一条直线上截得的线段______，那么在任一条(与这组平行线相交的)直线上截得的线段也________．(2)平行线分线段成比例定理两条直线与一组平行线相交，它们被这组平行线截得的对应线段成________．2．相似三角形的判定与性质(1)相似三角形的判定定理①两角对应________的两个三角形________；②两边对应成________且夹角________的两个三角形________；③三边对应成________的两个三角形________．(2)相似三角形的性质定理①相似三角形的对应线段的比等于____________．②相似三角形周长的比等于____________．③相似三角形面积的比等于________________________．3．直角三角形射影定理直角三角形一条直角边的平方等于________________________________，斜边上的高的平方等于________________________________．4．圆中有关的定理(1)圆周角定理：圆周角的度数等于其所对弧的度数的________．(2)圆心角定理：圆心角的度数等于________________的度数．(3)切线的判定与性质定理①切线的判定定理过半径外端且与这条半径________的直线是圆的切线．②切线的性质定理圆的切线________于经过切点的半径．(4)切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，切线长________．(5)弦切角定理弦切角的度数等于其所夹弧的度数的________．(6)相交弦定理圆的两条相交弦，每条弦被交点分成的两条线段长的积________．(7)割线定理从圆外一点引圆的两条割线，该点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积________．(8)切割线定理从圆外一点引圆的一条割线与一条切线，切线长是这点到割线与圆的两个交点的线段长的________________．(9)圆内接四边形的性质与判定定理①圆内接四边形判定定理(ⅰ)如果四边形的对角________，则此四边形内接于圆；(ⅱ)如果四边形的一个外角________它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆．②圆内接四边形性质定理(ⅰ)圆内接四边形的对角________；(ⅱ)圆内接四边形的外角________它的内角的对角．1．如图，F为▱ABCD的边AD延长线上的一点，DF＝AD，BF分别交DC，AC于点G，E，EF＝16，GF＝12，则BE的长为________．第1题图 第2题图2．如图，在直角梯形ABCD 中，DC ∥AB ，CB ⊥AB ，AB ＝AD ＝a ，CD ＝a2，点E ，F 分别为线段AB 、AD 的中点，则EF ＝________.3. 如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，BC 是直径，MN 与⊙O 相切，切点为A ，∠MAB ＝30°，则∠D ＝________.4．如图所示，EA 是圆O 的切线，割线EB 交圆O 于点C ，C 在直径AB 上的射影为D ，CD ＝2，BD ＝4，则EA ＝________.第4题图第5题图5．(2012·湖南)如图所示，过点P的直线与⊙O相交于A，B两点．若P A＝1，AB＝2，PO ＝3，则⊙O的半径等于________.题型一相似三角形的判定及性质例1如图，已知在△ABC中，点D是BC边上的中点，且AD＝AC，DE⊥BC，DE与AB相交于点E，EC与AD相交于点F.(1)求证：△ABC∽△FCD；(2)若S△FCD＝5，BC＝10，求DE的长．思维升华(1)三角形相似的证明方法很多，解题时应根据条件，结合图形选择恰当的方法．一般的思考程序：先找两对内角对应相等；若只有一个角对应相等，再判定这个角的两邻边是否对应成比例；若无角对应相等，就要证明三边对应成比例．(2)证明等积式的一般方法是化为等积的比例式，若题目中无平行线，需利用相似三角形的性质证明．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，DE∥CA，且交BA的延长线于E，求证：ED·CD ＝EA·BD.题型二直角三角形的射影定理例2如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，BE平分∠ABC交AC于E，EF⊥BC于F.求证：EF∶DF＝BC∶AC.思维升华已知条件中含直角三角形且涉及直角三角形斜边上的高时，应首先考虑射影定理，注意射影与直角边的对应法则，根据题目中的结论分析并选择射影定理中的等式，并分清比例中项．如图所示，在△ABC 中，∠CAB ＝90°，AD ⊥BC 于D ，BE 是∠ABC 的平分线，交AD 于F ，求证：DF AF ＝AE EC .题型三 圆的切线的判定与性质例3如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BE平分∠ABC交AC于点E，点D在AB上，DE⊥EB，且AD＝23，AE＝6.(1)判断直线AC与△BDE的外接圆的位置关系；(2)求EC的长．思维升华证明直线是圆的切线的方法：若已知直线经过圆上某点(或已知直线与圆有公共点)，则连结圆心和这个公共点，设法证明直线垂直于这条半径；如果已知条件中直线与圆的公共点不明确(或没有公共点)，则应过圆心作直线的垂线，得到垂线段，设法证明这条垂线段的长等于圆半径．(2013·广东改编)如图，AB是圆O的直径，点C在圆O上，延长BC到D使BC＝CD，过C作圆O的切线交AD于E.若AB＝6，ED＝2，求BC的长．题型四与圆有关的比例线段例4(2012·辽宁)如图，⊙O和⊙O′相交于A，B两点，过A作两圆的切线分别交两圆于C，D两点，连结DB并延长交⊙O于点E.证明：(1)AC·BD＝AD·AB；(2)AC＝AE.思维升华(1)应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容：如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等．(2)相交弦定理、切割线定理主要用于与圆有关的比例线段的计算与证明．解决问题时要注意相似三角形知识及圆周角、弦切角、圆的切线等相关知识的综合应用．如图，⊙O的半径OB垂直于直径AC，M为AO上一点，BM的延长线交⊙O于N，过N点的切线交CA的延长线于P.(1)求证：PM2＝P A·PC；(2)若⊙O的半径为23，OA＝3OM，求MN的长．与圆有关的几何证明问题典例：(10分)(2012·课标全国)如图，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE交△ABC的外接圆于F，G两点．若CF∥AB，证明：(1)CD＝BC；(2)△BCD∽△GBD.思维启迪(1)连结AF，利用平行关系构造平行四边形可得结论；(2)先证△BCD和△GBD为等腰三角形，再证明两三角形顶角相等即可．规范解答证明(1)因为D，E分别为AB，AC的中点，所以DE∥BC.又已知CF∥AB，故四边形BCFD是平行四边形，所以CF＝BD＝AD.而CF∥AD，连结AF，所以四边形ADCF是平行四边形，故CD＝AF.[5分]因为CF∥AB，所以BC＝AF，故CD＝BC.[6分] (2)因为FG∥BC，故GB＝CF.由(1)可知BD＝CF，所以GB＝BD，所以∠BGD＝∠BDG.[8分]由BC＝CD知∠CBD＝∠CDB，又因为∠DGB＝∠EFC＝∠DBC，所以△BCD∽△GBD.[10分]处理与圆有关的比例线段的常见思路：(1)利用圆的有关定理；(2)利用相似三角形；(3)利用平行线分线段成比例定理及推论；(4)利用面积关系等．温馨提醒(1)解决几何证明问题需用各种判定定理、性质定理、推理和现有的结论，要熟悉各种图形的特征，利用好平行、垂直、相似、全等的关系，适当添加辅助线和辅助图形，这些知识都有利于问题的解决．(2)证明等积式时，通常转化为证明比例式，再证明四条线段所在的三角形相似．另外也可利用平行线分线段成比例定理来证明．(3)弦切角定理与圆周角定理是证明角相等的重要依据，解题时应根据需要添加辅助线构造所需要的角．(4)圆内接四边形的性质也要熟练掌握，利用该性质可得到角相等，进而为三角形的相似创造了条件．方法与技巧1．证明等积式成立，应先把它写成比例式，找出比例式中给出的线段所在三角形是否相似，若不相似，则进行线段替换或等比替换．2．圆幂定理与圆周角、弦切角联合应用时，要注意找相等的角，找相似三角形，从而得出线段的比．由于圆幂定理涉及圆中线段的数量计算，所以应注意代数法在解题中的应用．失误与防范1．在应用平行截割定理时，一定要注意对应线段成比例．2．在解决相似三角形时，一定要注意对应角和对应边，否则容易出错.A组专项基础训练1．已知△ABC中，BF⊥AC于点F，CE⊥AB于点E，BF和CE相交于点P，求证：(1)△BPE∽△CPF；(2)△EFP∽△BCP.2.如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC交BC于点D，若E是AC的中点，ED的延长线交AB的延长线于F，求证：ABAC＝DFAF.3. 如图所示，已知在△ABC中，∠ABC＝90°，O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于点E，与AC切于点D，连结DB，DE，OC.若AD＝2，AE＝1，求CD的长．4．(2013·江苏)如图，AB和BC分别与圆O相切于点D，C，AC经过圆心O，且BC＝2OC.求证：AC＝2AD.5. 如图，梯形ABCD中，AB∥CD，若S△ODC∶S△BDC＝1∶3，求S△ODC∶S△ABC.6. 如图，锐角三角形ABC的内心为I，过点A作直线BI的垂线，垂足为H，点E为内切圆I与边CA的切点．(1)求证：四点A，I，H，E共圆；(2)若∠C＝50°，求∠IEH的度数．B组专项能力提升1. 如图所示，已知：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，M是BC的中点，CN⊥AM，垂足是N，求证：AB·BM＝AM·BN.2. 如图所示，在△ABC中，AD为BC边上的中线，F为AB上任意一点，CF交AD于点E.求证：AE·BF＝2DE·AF.3．(2013·辽宁) 如图，AB为⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于E，AD垂直CD于D，BC 垂直CD于C，EF垂直AB于F，连结AE，BE.证明：(1)∠FEB＝∠CEB；(2)EF2＝AD·BC.4．(2013·课标全国Ⅰ)如图，直线AB为圆O的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于点D.(1)证明：DB＝DC；(2)设圆的半径为1，BC＝3，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．答案要点梳理1．(1)平行线 相等 相等 (2)比例2．(1)①相等 相似 ②比例 相等 相似 ③比例 相似 (2)①相似比 ②相似比 ③相似比的平方3．该直角边在斜边上的射影与斜边的乘积 两条直角边在斜边上的射影的乘积 4．(1)一半 (2)它所对弧 (3)①垂直 ②垂直 (4)相等 (5)一半 (6)相等 (7)相等 (8)等比中项 (9)①(ⅰ)互补 (ⅱ)等于 ②(ⅰ)互补 (ⅱ)等于 夯基释疑1．8 2.a 2 3.120° 4.52 5. 6题型分类·深度剖析例1(1)证明∵DE⊥BC，D是BC边上的中点，∴EB＝EC，∴∠B＝∠ECD，又AD＝AC，∴∠ADC＝∠ACD，∴△ABC∽△FCD.(2)解过点A作AM⊥BC，垂足为点M，∵△ABC∽△FCD，BC＝2CD，∴S△ABCS△FCD＝(BCCD)2＝4，又∵S△FCD＝5，∴S△ABC＝20，又S △ABC ＝12×BC ×AM ＝12×10×AM ＝20，解得AM ＝4，又DE ∥AM ，∴DE AM ＝BDBM， ∵DM ＝12DC ＝52，BM ＝BD ＋DM ＝5＋52＝152，∴DE 4＝5152，解得DE ＝83. 跟踪训练1 证明 在梯形ABCD 中， ∵AB ＝DC ，∴∠ABC ＝∠DCB .又BC ＝BC ，∴△ABC ≌△DCB .∴∠BAC ＝∠BDC ， ∵AC ∥ED ，AD ∥BC ，∴∠E ＝∠BAC ＝∠BDC ，∠EAD ＝∠ABC ＝∠DCB ， ∴△EAD ∽△DCB . ∴EA DC ＝EDDB，即ED ·CD ＝EA ·BD . 例2证明 ∵∠BAC ＝90°，且AD ⊥BC ，∴由射影定理得AC 2＝CD ·BC ，∴AC CD ＝BCAC .①∵EF ⊥BC ，AD ⊥BC ，∴EF ∥AD ，∴AE DF ＝ACCD .又BE 平分∠ABC ，且EA ⊥AB ，EF ⊥BC ， ∴AE ＝EF ，∴EF DF ＝ACCD .②由①、②得EF DF ＝BCAC，即EF ∶DF ＝BC ∶AC . 跟踪训练2 证明 由三角形的内角平分线定理得， 在△ABD 中，DF AF ＝BDAB ，①在△ABC 中，AE EC ＝ABBC ，②在Rt △ABC 中，由射影定理知， AB 2＝BD ·BC ，即BD AB ＝ABBC .③由①③得：DF AF ＝ABBC ，④由②④得：DF AF ＝AEEC.例3解(1)取BD的中点O，连结OE.∵BE平分∠ABC，∴∠CBE ＝∠OBE .又∵OB ＝OE ，∴∠OBE ＝∠BEO ，∴∠CBE ＝∠BEO ，∴BC ∥OE .∵∠C ＝90°，∴OE ⊥AC ，∴直线AC 是△BDE 的外接圆的切线，即直线AC 与△BDE 的外接圆相切．(2)设△BDE 的外接圆的半径为r .在△AOE 中，OA 2＝OE 2＋AE 2，即(r ＋23)2＝r 2＋62，解得r ＝23，∴OA ＝2OE ，∴∠A ＝30°，∠AOE ＝60°.∴∠CBE ＝∠OBE ＝30°，∴EC ＝12BE ＝12×3r ＝12×3×23＝3.跟踪训练3 解 C 为BD 中点，且AC ⊥BC ，故△ABD 为等腰三角形．AB ＝AD ＝6，所以AE ＝4，DE ＝2.又AE AC ＝AC AD ，所以AC 2＝AE ·AD ＝4×6＝24，AC ＝26，在△ABC 中，BC ＝AB 2－AC 2＝36－24＝2 3.例4 证明 (1)由AC 与⊙O ′相切于A ，得∠CAB ＝∠ADB ，同理∠ACB ＝∠DAB ，所以△ACB ∽△DAB .从而AC AD ＝AB BD，即AC ·BD ＝AD ·AB . (2)由AD 与⊙O 相切于A ，得∠AED ＝∠BAD .又∠ADE ＝∠BDA ，得△EAD ∽△ABD .从而AE AB ＝AD BD，即AE ·BD ＝AD ·AB . 结合(1)的结论知，AC ＝AE .跟踪训练4(1)证明 连结ON ，则ON ⊥PN ，且△OBN 为等腰三角形，则∠OBN ＝∠ONB ， ∵∠PMN ＝∠OMB ＝90°－∠OBN ，∠PNM ＝90°－∠ONB ，∴∠PMN ＝∠PNM ，∴PM ＝PN .根据切割线定理，有PN 2＝P A ·PC ，∴PM 2＝P A ·PC .(2)解 OM ＝2，在Rt △BOM 中，BM ＝OB 2＋OM 2＝4.延长BO 交⊙O 于点D ，连结DN .由条件易知△BOM ∽△BND ，于是BO BN ＝BM BD， 即23BN ＝443，∴BN ＝6. ∴MN ＝BN －BM ＝6－4＝2.练出高分A 组1．证明(1)∵BF ⊥AC 于点F ，CE ⊥AB 于点E ，∴∠BFC ＝∠CEB ＝90°.又∵∠CPF ＝∠BPE ，∴△CPF ∽△BPE .(2)由(1)得△CPF ∽△BPE ，∴EP BP ＝FP CP. 又∵∠EPF ＝∠BPC ，∴△EFP ∽△BCP .2．证明 ∵E 是Rt △ADC 斜边AC 的中点，∴AE ＝EC ＝DE .∴∠EDC ＝∠ECD ，又∠EDC ＝∠BDF ，∴∠EDC ＝∠C ＝∠BDF .又AD ⊥BC 且∠BAC ＝90°，∴∠BAD ＝∠C ，∴∠BAD ＝∠BDF ，∴△DBF ∽△ADF .∴DB AD ＝DF AF. 又Rt △ABD ∽Rt △CBA ，因此AB AC ＝DB AD .∴AB AC ＝DF AF. 3．解 由切割线定理得AD 2＝AE ·AB ，所以AB ＝4，EB ＝AB －AE ＝3.又∵∠OCD ＝∠ADE ＝90°－∠CDB ，∠A ＝∠A ，∴△ADE ∽△ACO ，∴AD AE ＝AC AO ，即21＝CD ＋22.5，CD ＝3. 故CD 的长等于3.4．证明 连结OD .因为AB 和BC 分别与圆O 相切于点D ，C ， 所以∠ADO ＝∠ACB ＝90°.又因为∠A ＝∠A ，所以Rt △ADO ∽Rt △ACB .所以BC OD ＝AC AD. 又BC ＝2OC ＝2OD ，故AC ＝2AD .5．解 ∵S △ODC ∶S △BDC ＝1∶3，且△ODC 和△BDC 有公共边CD ，设△ODC 和△BDC 在CD 上的高分别为h 和H ，则h ∶H ＝1∶3，∴DO ∶DB ＝1∶3，∴DO ∶OB ＝1∶2.又∵AB ∥CD ，∴△ODC ∽△OBA .∴S △ODC ∶S △OBA ＝1∶4.设S △ODC ＝a ，则S △OBC ＝2a ，S △OAB ＝4a ，∵S △ABC ＝S △OAB ＋S △OBC ，∴S △ABC ＝6a .∴S △ODC ∶S △ABC ＝1∶6.6．(1)证明 由圆I 与边AC 相切于点E ，得IE ⊥AE ，结合IH ⊥AH ，得∠AEI ＝∠AHI ＝90° .所以，四点A ，I ，H ，E 共圆．(2)解 由(1)知四点A ，I ，H ，E 共圆，则∠IEH ＝∠HAI .又∠HIA ＝∠ABI ＋∠BAI ＝12∠ABC ＋12∠BAC ＝12(∠ABC ＋∠BAC )＝12(180°－∠C )＝90°－12∠C . 结合IH ⊥AH ，得∠HAI ＝90°－∠HIA ＝12∠C ， 所以∠IEH ＝12∠C .由∠C ＝50°得∠IEH ＝25°. B 组1．证明 ∵CM 2＝MN ·AM ，又∵M 是BC 的中点，∴BM 2＝MN ·AM ，∴BM AM ＝MN BM， 又∵∠BMN ＝∠AMB ，∴△AMB ∽△BMN ，∴AB BN ＝AM BM，∴AB ·BM ＝AM ·BN . 2．证明 过点D 作AB 的平行线DM 交AC 于点M ，交FC 于点N . 在△BCF 中，D 是BC 的中点，DN ∥BF ，∴DN ＝12BF .∵DN ∥AF ，∴△AFE ∽△DNE ，∴AE AF ＝DE DN. 又DN ＝12BF ，∴AE AF ＝2DE BF， 即AE ·BF ＝2DE ·AF .3．证明 (1)由直线CD 与⊙O 相切， 得∠CEB ＝∠EAB .由AB 为⊙O 的直径，得AE ⊥EB ，从而∠EAB ＋∠EBF ＝π2； 又EF ⊥AB ，得∠FEB ＋∠EBF ＝π2， 从而∠FEB ＝∠EAB .故∠FEB ＝∠CEB .(2)由BC ⊥CE ，EF ⊥AB ，∠FEB ＝∠CEB ，BE 是公共边，得Rt △BCE ≌Rt △BFE ，所以BC ＝BF . 同理可证，得AD ＝AF .又在Rt △AEB 中，EF ⊥AB ，故EF 2＝AF ·BF ，所以EF 2＝AD ·BC . 4.(1)证明连结DE，则∠DCB＝∠DEB，∵DB⊥BE，∴∠DBC＋∠CBE＝90°，∠DEB＋∠EDB＝90°，∴∠DBC＋∠CBE＝∠DEB＋∠EDB，又∠CBE＝∠EBF＝∠EDB，∴∠DBC＝∠DEB＝∠DCB，∴DB＝DC.(2)解由(1)知：∠CBE＝∠EBF＝∠BCE，∴CE＝BE，∴∠BDE＝∠CDE，∴DE是BC的垂直平分线，设交点为H，则BH＝32，∴OH＝1－34＝12，∴DH＝32，∴tan∠BDE＝3232＝33，∴∠BDE＝30°，∴∠FBE＝∠BDE＝30°，∴∠CBF＋∠BCF＝90°，∴∠BFC＝90°，∴BC是△BCF的外接圆直径．∴△BCF的外接圆半径为3 2.。