数学建模竞赛C题解答————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛C 题解答问题1：如图1，设P 的坐标为 (x , y )， (x ≥ 0，y ≥ 0)，共用管道的费用为非共用管道的k 倍，模型可归结为2222)()()(),(min y b x l y a x ky y x f -+-+-++=只需考虑21<≤k 的情形（不妨假设b a ≤）。
对上述二元费用函数求偏导，令()()()()()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+----+--==-+----+=0,0,22222222y b x l yb y a x y a k y x f y b x l x l y a x x y x f y x （＊） 结合图1，将（＊）式改写为 ⎩⎨⎧=+=-kβαβαsin sin 0cos cos ，易知：24cos cos ,2sin sin 2k k-====βαβα 所以 24tan tan kk -==βα，故经过AP 和BP 的直线方程分别为：x k k a y 24--=- ①()l x kk b y --=-24 ②联立①、②解方程组得交点()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡---=22421,421k kl b a y a b k k l x因为 x ≥ 0，y ≥ 0，所以 l 应满足：()a b k k l --≥24 且()a b kk l +-≤24 （a ）当 )(42a b kk l --≤时，此时交点在y 轴上，将0=x 代入①式，可得),0(a P =，即交点P 与A 点重合（如图2）。
ka l a b f ++-=22min )((b) 当)(4)(422a b kk l a b kk +-<<--时，交点在梯形内（如图1）。
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+---=)4(21),(24222k kl b a a b k k l P ， 因为 242cos cos cos k l l x l x BP AP -==-+=+αβα，所以模型简化为：242),(min kl ky y x f -+=，()l k k b a f 2min 4)(21-++=(c) 当)(42a b kk l +-≥时，此时交点在x 轴上，即无共用管线的情形（如图3）。
)0,(ba alP +=，22min )(l b a f ++=。
对于共用管道费用与非共用管道费用相同的情形，只需在上式中令1=k 。
问题2：对于出现城乡差别的复杂情况，模型将做以下变更：(a) 首先考虑城区拆迁和工程补偿等附加费用。
根据三家评估公司的资质，用加权平均的方法得出费用的估计值。
附加费用采用了三家工程咨询公司（其中公司一具有甲级资质，公司二和公司三具有乙级资质）进行了估算。
估算结果如表1所示。
表1 三家工程咨询公司估计的附加费用为合理估计附加费用，我们采用对三家公司进行加权求和的方法进行估计。
权重的估计采用层次分析法确定。
由于公司一具有甲级资质，公司二和公司三具有乙级资质。
不同资质的公司信誉会不同，如甲级注册资本不少于600万元人民币；乙级注册资本不少于300万元人民币。
则这三家公司的权重会不同，根据经验可设甲级资质公司的重要程度为乙级资质公司重要程度的2倍，而两家乙级资质公司重要程度相同。
则构成的成对比较矩阵为：1221/2111/211A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦该矩阵最大特征值为3λ=，为一致矩阵，其一致性指标CI=0。
则该矩阵任意列向量都可以作为最大特征值对应的特征向量，将任意列向量归一化后作为权重。
工程咨询公司 公司一 公司二 公司三 附加费用（万元/千米）212420因此权重向量为(0.5,0.25,0.25)W=。
附加费用估计为：00.5210.25240.252021.5w=⨯+⨯+⨯=(万元)。
用MA TLAB求最大特征值、权向量和附加费用值，程序如下：A=[1,2,2;1/2,1,1;1/2,1,1];[V,D]=eig(A);[p,k]=max(eig(A));v=V(:,k);w=v/sum(v);CI=(p-3)/2;RI=0.58;CR=CI/RI;CR,p,wCR =p =3w =0.50000.25000.2500a=[21,24,20];w0=a*ww0 =21.5000(b) 假设管线布置在城乡结合处的点为Q ，Q 到铁路线的距离为z （参见图4）。
图4模型一：一般情况下，连接炼油厂A 和点Q 到铁路线的输油管最优布置应取上述问题1(b)的结果，因此管道总费用最省的数学模型一为22)()()3(21)(min c l z b t c z a z g -+-⋅+++=其中t 表示城乡建设费用的比值（2.7.275.21+=t ）。
求导，令()0)()()(2122=-+---='c l z b z b t z g ，得驻点14*2---=t cl b z 当 14*2---=t c l b z 时，)(z g 取得最小值))(143(21*)(2c l t c b a z g --+++=或对模型用MA TLAB 软件进行数值求解。
程序如下：g=inline('0.5*(5+z+3^0.5*15)+(21.5+7.2)/7.2*(5^2+(8-z)^2)^0.5','z'); [z,g]=fminbnd(g,0,15); x=0.5*(15-3^0.5*(z-5)); y=0.5*(5+z-15/(3^0.5)); f=7.2*g; x,y,z,fx =5.4494y =1.8538z =7.3678f =282.6973结果为 6973.282),0,3678.7(),8538.1,4494.5(min =f Q P 。
用LINGO 程序求解，程序如下：model :a=5;b=8;c=15;l=20; t=(7.2+21.5)/7.2; u=0.5*(a+z+3^0.5*c);v=t*@sqrt ((b-z)^2+(l-c)^2); g=u+v; min =g;x=0.5*(c-(z-a)*3^0.5); y=0.5*(a+z-c/(3^0.5)); f=7.2*g; end 运行结果：Z7.367829 0.000000X5.449400 0.000000Y 1.853788 0.1692933E-07 F 282.6973 0.000000模型二：如图4，设P 点坐标为(x , y )，Q 点坐标为 (z , 0)，t 表示城乡建设费用的比值，因此管道总费用最省的数学模型二为 222222)()()()()(),,(min z b c l t y y z x c y a x z y x f -+-++-+-+-+=其中2.77.28=t 。
用LINGO 程序求解，程序如下：model :a=5;b=8;c=15;l=20; t=28.7/7.2;f1=@sqrt (x^2+(a-y)^2); f2=@sqrt ((c-x)^2+(z-y)^2); f3=y;f4=t*@sqrt ((b-z)^2+(l-c)^2); f=f1+f2+f3+f4; M=7.2*f; min =M; endX 5.449400 0.1246698E-08Y 1.853788 0.1116410E-08 Z 7.367829 -0.1861630E-08 F 39.26352 0.000000 M 282.6973两种极端情形：当权重取为1:1:1时，P 点坐标为(5.4462,1.8556)，Q 点坐标为 (15.0000, 7.3715)，最小费用为283.5373万元。
当权重取为1:0:0时，P 点坐标为(5.4593,1.8481)，Q 点坐标为 (15.0000, 7.3564)，最小费用为280.1771万元。
最终的答案依赖于权重的不同取值，但最小费用应介于280.1771万元和283.5373万元之间。
问题3： 考虑各部分管道费率不等的情况。
分别用4321,,,k k k k 记AP 、PQ 、PH 、BQ 段管道的费率，并设P 和Q 点的坐标分别为(x , y )、(c ,z ) (如图5)，则总费用的表达式为2243222221)()()()()(),,(z b c l k y k y z x c k y a x k z y x F -+-++-+-+-+=其中5.275.210.6,2.7,0.6,6.54321=+====k k k k 。
图5用LINGO 程序求解，程序如下：model :a=5;b=8;c=15;l=20;k1=5.6;k2=6.0;k3=7.2;k4=27.5; f1=k1*@sqrt (x^2+(a-y)^2); f2=k2*@sqrt ((c-x)^2+(z-y)^2);f4=k4*@sqrt((b-z)^2+(l-c)^2);F=f1+f2+f3+f4;min=F;end运行结果：X 6.733784 0.000000Y 0.1388990 0.000000Z 7.279503 0.000000F 251.9685 0.000000两种极端情形：当权重取为1:1:1时，P点坐标为(6.7310,0.1409)，Q点坐标为(15.0000,7.2839)，最小费用为252.8104万元。
当权重取为1:0:0时，P点坐标为(6.7424,0.1327)，Q点坐标为(15.0000, 7.2659)，最小费用为249.4422万元。
最终的答案依赖于权重的不同取值，但最小费用应介于249.4422万元和252.8104万元之间。