海文考研数学三模考试卷
一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分，把答案填在题中横线上）
（1）已知当+→0x 时⎰-=x
dt t x f cos 102sin )(是x 的k 阶无穷小，则=k _______.
（2）差分方程t t t y y )25(2211=-
+的通解是__________. （3）设二元函数)(y x f e z xy --=，其中)(u f 具有连续导数，且1)0('=f ，则z 在点（1,1）处的全数分=)1,1(|dz ____________.
（4）已知00200
0221
1003
200=A ，*A 是A 的伴随矩阵，则（=-12)*8
1A A ____________. （5）一个工人用同一台机器独立地加工出三个零件，第k 个零件为不合格的概率是
)3,2,1(=k k p . 已知加工出的三个零件至少有一件是合格品的概率为12
11，则=p ______. （6）将一均匀硬币投掷3次，用X 表示正面出现的次数，Y 表示正面出现次数与反面出现次数差的绝对值，则X 与Y 的相关系数为___________.
二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.）
（7）设函数)(x f 在区间（b a ,）上无界，
（A ）若函数)(x g 在区间（b a ,）上有界，则)()(x g x f +在区间（b a ,）上必无界
（B ）若函数)(x g 也在区间（b a ,）上无界，则)()(x g x f +在区间（b a ,）上必无界
（C ）若函数)(x g 在区间（b a ,）上有界，则)()(x g x f 在区间（b a ,）上必无界
（D ）若函数)(x g 也在区间（b a ,）上无界，则)()(x g x f 在区间（b a ,）上必无界[ ]
（8）已知)(x f 是),(+∞-∞上的奇函数，且)0('f 存在，设⎪⎩⎪⎨⎧≠≠=.0,
0,0,2sin )()(x x x x x f x F 则
函数)(x F 在点0=x 处
（A ）极限不存在
（B ）极限存在，但不连续 （C ）连续，但不可导 （D ）可导
（9）设)(x f 在[0，1]上连续，且0)(≥x f 但不恒等于零，记
dx x f I dx x f I dx x f I )(tan ,)(sin ,)(420302101⎰⎰⎰===π
π，则 （A ）321I I I <<
（B ）213I I I << （C ）132I I I << （D ）231I I I <<
（10）设函数),(y x f 连续，且⎰⎰-+=D
d y x f y x y x f σ),(),(22，其中D 是单位圆域
122=+y x ，则=),(y x f
（A ）)1(3222π+-
+y x （B ）)1(3122π+-+y x
（C ）)1(9222π+-+y x （D ）)
1(9122π+-+y x [ ] （11）在下列关于级数的四个论断中正确的是
①若n n u <υ，且∑∞=1n n u
收敛，则∑∞=1n n υ必收敛 ②若11lim <+∞→n
n n u u ，则∑∞=1n n u 必收敛 ③若常数a b <<0，且∑∞
=1
1n n b 收敛，则∑∞=-11n n n b a 必收敛 ④若∑∞=12n n u 收敛，则∑∞=1n n n u 绝对收敛
（A ）①,② (B)②,③
(C)③,④ (D) ①, ④ [ ] (12)已知321,,a a a 是齐次线性方程组0=Ax 的基础解系，那么0=Ax 的基础解系还可以是
（A ）321321453,2a a a a a a ++-+
（B ）31133145,73,2a a a a a a -++
（C ）2133232124,23,2a a a a a a a a --+-+
（D ）213132312,53,2a a a a a a a a +++++ [ ]
（13）已知⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡--+--=424413262
a a A ，B 和C 是某两个不同的3阶矩阵，那么7=a 是使AC AB =成立的
（A ）充分必要条件
（B ）充分而非必要条件 （C ）必要而非充分条件 （D ）既非充分也非必要条件 [ ]
（14）设随机变量X 与Y 相互独立，且方差0,0>>DY DX ，则
（A ）X 与X +Y 一定相关 （B ）X 与X +Y 一定不相关；
（C ）X 与X Y 一定相关 （D ）X 与X Y 一定不相关 [ ]
三、解答题（本题共9小题，满分94分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）（15）（本题满分8分） 求极限)
1ln(11(lim 20x e x x x +---→+） （16）（本题满分8分）
设生产某种产品需投入甲、乙两种原料，x 和y 分别为甲，乙两种原料的投入量（单位，吨）Q 为产出量，且生产函数为βαy kx Q =，其中常数.0,0,0>>>βαk 已知甲种原料每吨的价格为1P （单位：万元），乙种原料每吨的价格为2P （单位：万元），如果投入总价值为A （万元）的这两种原料，当每种原料各投入多少吨时，才能获得最大的产出量？
（17）（本题满分8分）
计算二重积分⎰⎰+D d y x σ
)1(，其中积分区域D 由y 轴与曲线
222,4x x y x y -=-=围成.
（18）（本题满分9分）
设连续函数)(x f 满足方程
⎰⎰-+=x x dt t x tf x dt t f 00
,)()(2求).(x f （19）（本题满分9分） 求幂级数∑∞
=-12)12(n n
n n x 的收敛半径与收敛域，并在此幂级数的收敛区间内求它的和函数.
（20）（本题满分14分）
三元二次型Ax x T 经正交变换Qy x =化为标准形2322215y y y -+，又知05=+a Aa ，
其中T
a )1,1,1(--=求此二次型的表达式并写出所用坐标变换.
(21)（本题满分12分）
已知n 维向量组（Ⅰ）s a a a ,,21 与（Ⅱ）t βββ,,,21 有相同的秩，且（Ⅰ）可由
（Ⅱ）线性表出，证明向量组（Ⅰ）与（Ⅱ）等价，并举例说明仅秩r (Ⅰ)= r （Ⅱ），（Ⅰ）与（Ⅱ）可以不等价.
(22)(本题满分13分)
设二维随机变量（Y X ,）的概率密度函数为
⎩
⎨⎧<<=+-其它,0,0,2),()(y x e y x f y x （1）求（Y X ,）的边缘密度函数).(),(y f x f Y X
（2）如果记X Y V X U -==,，试求),(V U 的联合分布函数υ,(u F ），并问U 、V 是否独立，为什么？
（23）（本题满分13分）
已知总体X 服从正态分布X e Y N =),,0(2σ，现从总体X 中随意抽取容量为16的简单随机样本16,,21x x x ，算得样本均值1=x ，方差222.0=s .
（1）求Y 的数学期望EY （记EY 为b ）.
（2）求证
∑=1612)(i i X σ服从)16(2x 分布，并利用这个结论求2σ置信度为0.95的置信区间.
（3）利用上述结果，求b 置信度为0.95的置信区间，（已知)16(2
x 分布上a 分位数
)16(2a x 的值：)845.28)16(,908.6)16(2025.02975.0==x x。