上内闭一致收敛．
1．当 时， 收敛，此时
绝对收敛．
2．当
，由于
的部分和数列有界， 单调递减且
，由Dirichlet判别法知 当 时，绝对收敛．
收敛．
从而当
时绝对收敛，
条件收敛．
3．对任意的
，由
，有
由Cauchy收敛准则知 敛．
在 上一直收敛，故在 内闭一致收
六、（12分）计算曲面积分 的内部．
，其中 为锥面
答：不真．例如
，显然有
但是
不存在．（构造函数要具有特殊性，里面有一个 ）．
二、（16分）叙述数列收敛的柯西（Cauchy）收敛原理，并证明之．
答：柯西收敛原理如下：
数列 收敛 证明如下：
时有
．
（ ）设
，则
，当
时
因而
故必要性成立． （ ）先证明 有界．取 ，当
及 时有
则
．
令
，则
．将
二等分，将含
有 无穷多项的那部分记作 ；再将 二等分，将含有 无穷
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1．数列 收敛于 的充要条件是对任意给定的正数 ，
中含
有 的无限多项．
答：不真，如
，在
中有 中的无限多项，而 不
收敛（关键是在邻域外面只有有限项）．
2．函数 在 上可积，一定绝对可积．
答：真．因为 在 上可积，则
某积，所以 在 上绝对可积．
3．若
存在，则
与
均存在．
，使得
，即
盾，故 在 内存在唯一的零点 ，即
四、（16分）讨论二元函数
，这与 ．
相矛
在原点 处的连续性及可微性．
解：对
当
时有
故 在 处连续． 由偏导数公式可得
又
，从而
不唯一，所以 在 处不可微． 五、（15分）设有级数
1．当 取何值时，级数条件收敛； 2．当 取何值时，级数绝对收敛；
3．证明级数在 解：因为
（有限
（2）证明：
在 上一致连续．
4．（20分）设
，求广义积分
．
5．（25分）求幂级数
的收敛半径，收敛域与和函数．
6．（20分）计算曲线积分
，其中 为一条分段光滑且不经
过原点的连续闭曲线， 的方向为逆时针方向．
7．（20分）将
，展开为
级数．
多项的那部分记作 ，如此下去得到区间列
，且
因此
是一个区间列；由区间套定理知
含有 的无穷多项，从而
，即 收敛．
．因此在
三、（14分）设函数 在 上可导，对于任意的
有
且
证明：存在唯一的 证明：由题意知
使得
．
，作辅助函数
，则
由零点存在定理知
，使得
，即
．
由
知
．假设 在 内有两个零点 且
由Rolle定理知，
在闭区域
上的最大值与
解：由
，知 的极值点为
求在 利用Lagrange乘数法，记
且
．
上的最大值与最小值．
则
知
或
直接计算有
故
．
由知 而其有非零解（否则与 矛盾）。故
即有
．将上述 的值代入 ，再联立 即知结论．
5．设
均为正整数数列，且适合
，
．
证明：数列 证明：由
的极限存在，并求该极限值．
及 均为正整数知 于是
假设 时结论也成立，则当
时，考察
成立．
由于
而
，故级数
收敛，
从而函数项级数 故函数 在
在 上可微，且
上一致连续，
由以上证明可知 在 上无穷次可微．
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；
（2）求出 的初等函数表达式．
证明：（1）由相应的一致收敛性知
而
（2）
，得
又
，得
有
．
2012年安徽大学数学分析考研真题 1．（20分）求下列积分.
（1）
（n个开立方）；
（2）
（ ）．
2．（20分）设函数
，在闭区间 上连续且严格单调增加
，
，证明：
．
3．（25分）（1）若函数 在 上连续，且 数）．证明： 在 上一致连续．
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1．求极限
．
解：
2．计算 解：记
，为
取逆时针方向．
，
，则
而由格林公式知
3．计算 解：计算如下
，为
，
．
4．求函数 最小值．
，有
在上式中，令
，取极限，则得
由 的任意性，则得
显然
，故有
8．设 为实数，试讨论广义积分 收敛，何时发散，并说明理由．
解：（1）考虑积分
． 何时绝对收敛，何时条件
由于当 时，
当
时，
与 同阶；
有
①当 时， 收敛；当 时， 发散；
②当
时， 收敛；当
时， 发散（Dirichlet判别法）；
当
时， 也发散．
在柱体
解：因为 所以
七、（12分）证明函数 证明：（1）先证明 在
在 上具有无限次的导数．
上可微．
, ,使得
在
上，考察
由于
，
，而
由比较判别法知级数 收敛，从而可知函数项级数
在
上一致收敛．故函数 在
上可微且
特别地
，由
的任意性， 在 上可微，且
（2）在证明对任意的 ，均有
事实上，当 时，由（1）知结论成立．
令
则
注意到 从而
存在．
，有 单调递减且有下界 ．
于（2）两边令 ，得
．
6．设 在 上有连续的导函数，且
．试证明：
证明：由
知
而
记
，则
从而
7．设数列 为正的单调递减数列，且 收敛，证明： ．
证明：因为 为正的单调递减数列，所以 敛，可知必有 ．
存在．由 收
对任意 存在正整数 ,使得对任意正整数 ，成立
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2001年安徽大学数学分析考研真题
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说明：以下试题答案为网上搜集整理，仅供参考，特此说明！
一、（15分）判定下列命题的真伪，若真，给出证明；若伪，举出反 例．
从而当且仅当 （2）考虑
时，原广义积分绝对收敛．
易知：
①当 时， 收敛；当 时， 发散；
②当
时， 收敛；当
时， 发散．
从而当且仅当
时，广义积分收敛．
综上所述，得出结论：
a．当
时，原广义积分绝对收敛；
b．当 且
时，原广义积分条件收敛；
c．其他情况时，原广义积分绝对发散．
9．设
， .已知
．
（1）试证明：