、灰色预测模型简介(P372)特点：模型使用的不是原始数据列，而是生成的数据列。

优点：不需要很多数据，一般只用4个数据就能解决历史数据少，序列的完整性 和可靠性低的问题。

缺点：只适用于中短期的预测和指数增长的预测。

1、GM(1,1)预测模型GM(1,1)表示模型为一阶微分方程，且只含有一个变量的灰色模型。

1.1模型的应用① 销售额预测 ② 交通事故次数的预测 ③ 某地区火灾发生次数的预测④ 灾变与异常值预测，如对旱灾，洪灾，地震等自然灾害的时间与程度进行预报 (百度文库)⑤ 基于GM(1,1)模型的广州市人口预测与分析(下载的文档) ⑥ 网络舆情危机预警(下载的文档)1.2步骤① 级比检验与判断由原始数据列x (0) =(x (o )(1),x (o )(2),…，x (0)(n))计算得序列的级比为2 2若序列的级比(k) -(e^ '.e 0 2)，贝U 可用x (0)作令人满意的GM(1,1)建模。

光滑比为P (k )= k x <0)(k)\- (0)x (I)i珀若序列满足p(k 1)：：1,k =2,3,…，n-1; p(k) p(k)〔0,T,k=3,4, ,n;「:: 0.5.■ (k)二 x (0)(k -1) x (0)(k),k- 2,3,,n.则序列为准光滑序列。

否则，选取常数c 对序列x (0)做如下平移变换y (o )(k)=x (o )(k) c,k=1,2「, n,序列y (0)的级比、 y 0(k-1) 一 'y (k)(0)，k = 2,3， , n ・y(k)② 对原始数据x (0)作一次累加得x ⑴=(x ⑴(1),X (1)(2),…,x (1)(n)) =(x (0)(1，x (0)(1+x (0) (2)，…,x (0)⑴+…+x (0)(n)).建立模型：dx (1)——ax ⑴=b,( 1) dt③ 构造数据矩阵B 及数据向量丫■-z (1)⑵ 1 1fx (0) (2)1B =-z ⑴⑶1 9亍，丫二 x (0)(3) a-z ⑴(n) 1_x (0) (n)J其中：z ⑴(k) =0.5x ⑴(k) 0.5x ⑴(k -1),k =2,3, ,n. ④ 由求得估计值召=b?=⑤ 由微分方程(1)得生成序列预测值为( b?)b?x>(1)(k+1)= ：x (0)(1)—三，k=0,1，…，n —V,l召丿召则模型还原值为00)(k 1)=0)化 1)-0),k =1,2,,n-1,.⑥ 精度检验和预测 残差；(k) =x (0)(k)-?(0)(k),k=1,2,,n,-(B T B)4B T Yu?=相对误差相对误差精度等级表级比偏差若(k) <0.2则可认为达到一般要求；若；-(k) <0.1，则可认为达到较高要求。

利用matlab求出模型的各种检验指标值的结果如表经过验证，给出相应预测预报。

2、新陈代谢模型灰色新陈代谢模型是一个不断考虑新信息的预测模型，它考虑了随着时间推移 相继进入系统的扰动因素带来的影响，在不断补充新信息的同时，及时去掉旧信 息，使整个系统一直处于更新和发展的过程中，更符合现实世界的变化。

与GM(1,1)模型相比，既能充分发挥传统 GM(1,1)模型仅利用少量数据,就能 获得较高预测精度的优点，又能反映出数据的变化趋势，从而使预测结果的精度 获得更进一步的提高。

局限性在于该模型适合预测具有较强指数规律的序列 ，只能描述单调变化的过程。

2.1模型的应用① 深圳货运量预测；(下载文档)② 天津市城市人均住宅建筑面积及非农业户籍人口总数预测(下载文档)； ③ 网络舆情危机预警(下载文档)。

2.2步骤① 建立新陈代谢数据序列原始数据列x (0) =(x (0)(1),x (0)(2),…,x (0) (n))，用最新信息x (0) (n 1)替换最初数据x (0) (1)，即得到新陈代谢数据序列 y® 二(x (0) (2)，…,x (0)(n),x (0) (n 1))。

② 后续步骤同GM(1,1)模型。

-吨11+0.5a.(k),③ 用②计算出的最新结果再次替换最初信息x (0) (2)得到新序列重复步骤②，以此类推，将计算结果制表并分析。

3、波形预测波形预测，是对一段时间内行为特征数据波形的预测。

当原始数据频频摆动且 摆动幅度较大时，可以考虑根据原始数据的波形预测未来的行为数据发展变化 以便进行决策。

从本质上来看，波形预测是对一个变化不规则的行为数据列的整 体发展进的预测。

3.1模型的应用① 区域降水量预测(下载文档)② 运量需求不平衡航线下客流量预测(下载文档) ③ 网络舆情危机预警(下载文档) 3.2步骤① 求出序列折线由原始数据列x =(x(1),x(2),…，x(n))得出序列X 的k 段折线图形为x k =x(k) (x -k) lx(k 1) - x(k) 1序列X 的折线为汶=x(k) (x -k) Lx(k 1)-x(k)|k h,2, ,n -仃② 选取等高线x(i)如果x k 的i 段折线上有 等高点，则坐标为(i型 ，)0x(i+1)-x(i)③ 等高点的计算解方程兀=丫得到折线兀与丫的交点x (0) (i) = (x i ,x(X j ))(i =1,2,…)，即丫等高点 ④ x (0) (i)构成等高时刻序列，求出各等高时刻序列的 GM(1,1)预测。

⑤ 得出波形预测 画出波形图，并分析。

-max二卬 a nx'x(k)；r n' x(k) /■则有1 max minmin )s(二 maxmins —1 LminSax)Jin ,s二二4、Verhulst 模型Verhulst模型主要用来描述具有饱和状态的过程，即S型过程。

常用于人口预测、生物生长、繁殖预测和产品经济寿命预测等。

(例如B题艾滋病疗法的评价及治疗预测)4.1步骤①模型的建立对原始数据x(0)二(X(0) (1),X(0) (2),…,x(0)(n))作一次累加得x⑴=(x⑴(1),X(1 )(2)，…,X(1)(n)) =(x(0)(1，x(0)(1 +X(0) (2)，…，x(0)(1)+…+x(0)(n)).令z⑴(k)=0.5x⑴(k)・0.5x⑴(k-1),k=2,3，…，n,得x⑴的均值生成序列为(i) / (1) (1) ⑴/z (Z ⑵，z ⑶，,z (n)).则得到灰色Verhulst模型为x(0)az(1)=b(z(1))2灰色Verhulst模型的白化方程为ax⑴二b(x⑴)2( 2) dt②参数求解构造数据矩阵B及数据向量丫_-z(1)(2)(z(1 )(2)门I-z(1)(3)(z(1)(3))2，丫二丁⑵1 x(0)⑶亍⑴(n) (z⑴(n))2j由T 4 T i?= |」=(B T B)B T Y求得估计值a?= !?=③解微分方程(2)得灰色Verhulst模型的时间序列响应为x(1)(k -1)=______ ax(0)(1)bX(0)(1)召-bX(0)(1) e k 通过累减还原得00)(k “二炉乐“-炉乐).④精度检验和预测同GM(1,1)模型。

例题：某地区年平均降雨量数据如表1。

规定=320,并认为x(0)⑴乞为旱灾。

预测下一次发生的时间。

解：模型的建立:①列出原始数据列x(0) =(x(o)(1),x(o)(2),…,x(0)(n)),确定在x(0)^320s的条件下的下限灾变数列x0与其相对应的时刻数列t(0)计算光滑比t(0)(k)k』、t(0)(j)判断序列t(0)是否满足满足p(k) 〔0, T,k =3,4,5;0.5.②对数列t(0)做1次累加，得t⑴③建立GM(1 1)模型。

④构造数据矩阵B及数据向量丫--z(1)⑵ 1〕f x(0) (2)1B =-Z⑴⑶13 *，丫—x(0)(3)a-Z⑴(n) Lx(0)(n)] P(k)=P(k 1)P(k):::1,k = 2,3, ,5;dt⑴dtat⑴=b, (1)其中：z⑴(k) =0.5t⑴(k) 0.5t⑴(k T),k =2,3, ,5.求得估计值a?, ?。

⑥ 由微分方程(1)得生成序列预测值为5?⑴(k +1) = ：x (0)⑴―？ e 』+b ，k=0,1，…，n — 1广，I 召丿 召则模型还原值为0o)(k 1) = 01)(k 1)-0),k =1,2, ,n -―.预测到第6个和第7个数据。

模型的求解(1) 根据题得：原始数据列 x (0) =(390.6,412,320,559.2,380.8,542.4,553,310,561,300,632,540,406.2,313.8,576,587.6,318.5)因为当x (0) <320s 时的x (0)(i)为异常值，可得下限灾变数列为X 0 =(320,310,300,313.8,318.5)与其相对应的时刻数列为：t (0) = (3,8,10,14,17) 利用matlab 计算得出序列光滑。

(2) 对数列t (0)做1次累加，得t ⑴=(3,11,21,35,52)(3) 由步骤③，④，⑤并利用 matlab 解得少-0.2536 b?=6.2585 (4) 由步骤⑥，预测得到第6个和第7个数据为t (0)(6) =22.034,严(7) =28.3946由于22.034与17相差5.034这表明下一次旱灾将发生在五年以后。

⑤由=(B T B )」B T Yu?=。