《相似三角形应用举例》拓展练习一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）1．（5分）身高1.6米的小明利用影长测量学校旗杆的高度，如图，当他站在点C处时，他头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合在点A处，测量得到AC ＝2米，CB＝18米，则旗杆的高度是（）A．8米B．14.4米C．16米D．20米2．（5分）如图，小明想利用阳光测量学校旗杆的高度．当他站在C处时，此时他头部顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合，并测得小明的身高为1.7m，AC＝2.0m，BC＝8.0m，则旗杆的高度是（）A．5.1m B．6.8m C．8.5m D．9.0m3．（5分）我国古代数学家刘徽发展了“重差术”，用于测量不可到达的物体的高度．比如，通过下列步骤可测量山的高度PQ（如图）：（1）测量者在水平线上的A处竖立一根竹竿，沿射线QA方向走到M处，测得山顶P、竹竿顶端B及M在一条直线上；（2）将该竹竿竖立在射线QA上的C处，沿原方向继续走到N处，测得山顶P、竹竿顶端D及N在一条直线上；（3）设竹竿与AM，CN的长分别为l，a1，a2，可得公式：PQ＝+l．则上述公式中，d表示的是（）A．QA的长B．AC的长C．MN的长D．QC的长4．（5分）如图所示是一个直角三角形的苗圃，由一个正方形花坛和两块直角三角形的草皮组成．如果两个直角三角形的两条斜边长分别为4米和6米，则草皮的总面积为（）平方米．A．3B．9C．12D．245．（5分）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？意即：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长五寸（提示：1丈＝10尺，1尺＝10寸），则竹竿的长为（）A．五丈B．四丈五尺C．一丈D．五尺二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）6．（5分）如图，在一面与底面垂直的围墙的同侧有一根高10米的旗杆AB和一根高7米的电线杆CD，它们都与地面垂直．某一时刻，在太阳光照射下，旗杆落在地面上的影子BF的长为10米，落在围墙上的影子EF的长度为2米，而电线杆落在地面上的影子DH的长为5米，则落在围墙上的影子GH的长为米．7．（5分）如图1，是一张直角三角形纸片，∠B＝90°，小明想从中剪出一个以∠B为内角且面积最大的矩形．经过多次操作发现，当沿着中位线DE、EF 剪下时，所得的矩形的面积最大，随后，他通过证明验证了其正确性，并得出：矩形的最大面积与原三角形面积的比值为，在图2中，△ABC的边BC＝a，BC边上的高AD＝h，矩形PQMN的顶点P、N分别在边AB、AC 上，顶点Q、M在边BC上，则矩形PQMN面积的最大值为．（用含a，h的代数式表示）8．（5分）如图，一油桶高1m，桶内有油，一根木棒长1.2m，从桶盖的小口处斜插入桶内，一端插到桶底，另一端到小口，抽出木棒，量得棒上浸油部分长为0.48m，求桶内油面的高度．9．（5分）如图，火焰的光线穿过小孔O，在竖直的屏幕上形成倒立的像，像的长度为2cm，OA＝60cm，OB＝15cm，求火焰的长度AC．10．（5分）如图是一个常见铁夹的剖面图，OA，OB表示铁夹的两个面，C是轴，CD⊥OA，垂足为D，DA＝15mm，DO＝24mm，DC＝10mm，且铁夹的剖面图是轴对称图形，求A，B两点间的距离．三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）11．（10分）如图，一个学生在运动场上D处玩要，在他前面2米远的O处有一小块积水，他看到了旗杆AB的倒影．若旗杆底端到积水处的距离为40米，该生的眼部高度为1.5米，求旗杆的高度．12．（10分）如图，x轴表示一条东西方向的道路，y轴表示一条南北方向的道路，小丽和小明分别从十字路口O点处同时出发，小丽沿着x轴以4千米时的速度由西向东前进，小明沿着y轴以5千米/时的速度由南向北前进．有一颗百年古树位于图中的P点处，古树与x轴、y轴的距离分别是3千米和2千米．问：（1）离开路口后经过多少时间，两人与这棵古树的距离恰好相等？（2）离开路口经过多少时间，两人与这颗古树所处的位置恰好在一条直线上？13．（10分）如图，在相对的两栋楼中间有一堵墙，甲、乙两人分别在这两栋楼内观察这堵墙，视线如图1所示．根据实际情况画出平面图形如图2（CD⊥DF，AB⊥DF，EF⊥DF），甲从点C可以看到点G处，乙从点E可以看到点D处，点B是DF的中点，墙AB高5.5米，DF＝100米，BG＝10.5米，求甲、乙两人的观测点到地面的距离之差（结果精确到0.1米）14．（10分）数学实践小组想利用镜子的反射测量池塘边一棵树的高度AB．测量和计算的部分步骤如下：①如图，树与地面垂直，在地面上的点C处放置一块镜子，小明站在BC的延长线上，当小明在镜子中刚好看到树的顶点A时，测得小明到镜子的距离CD ＝2米，小明的眼睛E到地面的距离ED＝1.5米；②将镜子从点C沿BC的延长线向后移动10米到点F处，小明向后移动到点H处时，小明的眼睛G又刚好在镜子中看到树的顶点A，这时测得小明到镜子的距离FH＝3米；③计算树的高度AB；解：设AB＝x米，BC＝y米∵∠ABC＝∠EDC＝90°，∠ACB＝∠ECD∴△ABC∽△EDC∴＝……请你根据材料中得到的测量数据和计算步骤，将剩余的计算部分补充完整．15．（10分）如图，某同学想测量旗杆的高度，他在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长1.5米，在同时刻测量旗杆的影长时，因旗杆靠近一楼房，影子不全落在地面上，有一部分落在墙上，他测得落在地面上影长为21米，留在墙上的影高为2米，求旗杆的高度．《相似三角形应用举例》拓展练习参考答案与试题解析一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）1．（5分）身高1.6米的小明利用影长测量学校旗杆的高度，如图，当他站在点C处时，他头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合在点A处，测量得到AC ＝2米，CB＝18米，则旗杆的高度是（）A．8米B．14.4米C．16米D．20米【分析】因为人和旗杆均垂直于地面，所以构成相似三角形，利用相似比解题即可．【解答】解：设旗杆高度为h，由题意得＝，解得：h＝16米．故选：C．【点评】本题考查了考查相似三角形的性质和投影知识，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．2．（5分）如图，小明想利用阳光测量学校旗杆的高度．当他站在C处时，此时他头部顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合，并测得小明的身高为1.7m，AC＝2.0m，BC＝8.0m，则旗杆的高度是（）A．5.1m B．6.8m C．8.5m D．9.0m【分析】因为人和旗杆均垂直于地面，所以构成相似三角形，利用相似比解题即可．【解答】解：设旗杆高度为h，由题意得：＝，解得：h＝8.5．故选：C．【点评】本题考查了考查相似三角形的性质和投影知识，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．3．（5分）我国古代数学家刘徽发展了“重差术”，用于测量不可到达的物体的高度．比如，通过下列步骤可测量山的高度PQ（如图）：（1）测量者在水平线上的A处竖立一根竹竿，沿射线QA方向走到M处，测得山顶P、竹竿顶端B及M在一条直线上；（2）将该竹竿竖立在射线QA上的C处，沿原方向继续走到N处，测得山顶P、竹竿顶端D及N在一条直线上；（3）设竹竿与AM，CN的长分别为l，a1，a2，可得公式：PQ＝+l．则上述公式中，d表示的是（）A．QA的长B．AC的长C．MN的长D．QC的长【分析】由AB∥PQ，可得＝，即＝，推出AQ＝•a1﹣a1，由CD∥PQ，可得＝，即＝，可得AQ＝×a2﹣a2﹣AC，推出•a1﹣a1＝×a2﹣a2﹣AC，可得PQ＝+l，延长即可判断；【解答】解：∵AB∥PQ，∴＝，∴＝，∴AQ＝•a1﹣a1，∵CD∥PQ，∴＝，∴＝，∴AQ＝×a2﹣a2﹣AC，∴•a1﹣a1＝×a2﹣a2﹣AC，∴PQ＝+l，∴d＝AC，故选：B．【点评】本题考查平行线分线段成比例定理、解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．4．（5分）如图所示是一个直角三角形的苗圃，由一个正方形花坛和两块直角三角形的草皮组成．如果两个直角三角形的两条斜边长分别为4米和6米，则草皮的总面积为（）平方米．A．3B．9C．12D．24【分析】先根据相似三角形的判定定理得出△AMB∽△CBE，故可得出＝的值，设CE＝x，则BC＝2x，在Rt△CBE中根据勾股定理求出x的值，故可得出CE，AB＝BC，AM＝2AB的值，再根据S草皮＝S△CBE+S△AMB，即可得出结论．【解答】解：∵△MDE是直角三角形，四边形ABCD是正方形，∴∠MAB＝∠BCE＝90°，∠M+∠ABM＝90°，∠ABM+∠CBE＝90°，∴∠M＝∠CBE，∴△AMB∽△CBE，∴＝，∵MB＝6，BE＝4，∴＝＝＝，∵AB＝BC，∴＝，设CE＝2x，则BC＝3x，在Rt△CBE中，BE2＝BC2+CE2，即42＝（3x）2+（2x）2，解得x＝，∴CE＝，AB＝BC＝，AM＝AB＝，∴S草皮＝S△CBE+S△AMB＝××+××＝12．故选：C．【点评】本题考查了相似三角形的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．5．（5分）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？意即：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长五寸（提示：1丈＝10尺，1尺＝10寸），则竹竿的长为（）A．五丈B．四丈五尺C．一丈D．五尺【分析】根据同一时刻物高与影长成正比可得出结论．【解答】解：设竹竿的长度为x尺，∵竹竿的影长＝一丈五尺＝15尺，标杆长＝一尺五寸＝1.5尺，影长五寸＝0.5尺，∴，解得x＝45（尺）．故选：B．【点评】本题考查的是相似三角形的应用，熟知同一时刻物髙与影长成正比是解答此题的关键．二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）6．（5分）如图，在一面与底面垂直的围墙的同侧有一根高10米的旗杆AB和一根高7米的电线杆CD，它们都与地面垂直．某一时刻，在太阳光照射下，旗杆落在地面上的影子BF的长为10米，落在围墙上的影子EF的长度为2米，而电线杆落在地面上的影子DH的长为5米，则落在围墙上的影子GH的长为3米．【分析】通过构造相似三角形．利用相似三角形对应边成比例解答即可．【解答】解：过点E作EM⊥AB于M，过点G作GN⊥CD于N．则MB＝EF＝2，ND＝GH，ME＝BF＝10，NG＝DH＝5．所以AM＝10﹣2＝8，CN＝7﹣GH，由平行投影可知：，即，解得：GH＝3，故答案为：3【点评】本题主要考查了相似三角形的应用，解决本题的关键是只要把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比列出方程，通过解方程求解即可．7．（5分）如图1，是一张直角三角形纸片，∠B＝90°，小明想从中剪出一个以∠B为内角且面积最大的矩形．经过多次操作发现，当沿着中位线DE、EF 剪下时，所得的矩形的面积最大，随后，他通过证明验证了其正确性，并得出：矩形的最大面积与原三角形面积的比值为，在图2中，△ABC的边BC＝a，BC边上的高AD＝h，矩形PQMN的顶点P、N分别在边AB、AC 上，顶点Q、M在边BC上，则矩形PQMN面积的最大值为．（用含a，h的代数式表示）【分析】由中位线知EF＝BC、ED＝AB、由＝可得；＝PQ 由△APN∽△ABC知＝，可得PN＝a﹣PQ，设PQ＝x，由S矩形PQMN •PN═﹣（x﹣）2+，据此可得；【解答】解：∵EF、ED为△ABC中位线，∴ED∥AB，EF∥BC，EF＝BC，ED＝AB，又∠B＝90°，∴四边形FEDB是矩形，则＝＝，故答案为：；∵PN∥BC，∴△APN∽△ABC，∴＝，可得PN＝a﹣PQ，＝PQ•PN═﹣（x﹣）2+，设PQ＝x，由S矩形PQMN最大值为，∴当PQ＝时，S矩形PQMN故答案为：；【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、矩形的性质、二次函数的应用等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，学会构建二次函数解决最值问题，属于中考常考题型．8．（5分）如图，一油桶高1m，桶内有油，一根木棒长1.2m，从桶盖的小口处斜插入桶内，一端插到桶底，另一端到小口，抽出木棒，量得棒上浸油部分长为0.48m，求桶内油面的高度．【分析】因为油面与桶底平行，所以△ACD∽△ABE，根据相似三角形的性质即可求出油面高DE的长度．【解答】解：∵CD∥BE，∴△ACD∽△ABE，∴＝，∴＝，∴＝，解得：ED＝0.4，答：桶内油面的高度为0.4米．【点评】本题考查相似三角形性质的应用．解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．9．（5分）如图，火焰的光线穿过小孔O，在竖直的屏幕上形成倒立的像，像的长度为2cm，OA＝60cm，OB＝15cm，求火焰的长度AC．【分析】连接AC、BD，可证明△AOC∽△BOD，根据相似三角形的性质可得＝，代入相应数据进行计算即可．【解答】解：连接AC、BD，∵CA⊥AB，DB⊥AB，∴∠CAO＝∠DBO＝90°，∵∠COA＝∠DOB，∴△AOC∽△BOD，∴＝，∵BD＝2cm，OA＝60cm，OB＝15cm，∴＝，解得：AC＝8cm，答：火焰AC的长度为8cm．【点评】此题主要考查了相似三角形的应用，关键是掌握相似三角形，对应边成比例．10．（5分）如图是一个常见铁夹的剖面图，OA，OB表示铁夹的两个面，C是轴，CD⊥OA，垂足为D，DA＝15mm，DO＝24mm，DC＝10mm，且铁夹的剖面图是轴对称图形，求A，B两点间的距离．【分析】连结AB，延长OC交AB于H，如图，Rt△OCD中，根据勾股定理计算出OC＝26，再根据轴对称图形的性质得CH⊥AB，AH＝BH，接着证明OCD ∽△OAH，然后利用相似比计算出AH＝15，从而可得AB的长．【解答】解：连结AB，延长OC交AB于H，如图，在Rt△OCD中，OC＝＝＝26，∵铁夹的剖面图是轴对称图形，∴CH⊥AB，AH＝BH，∵∠DOC＝∠HOA，∴△OCD∽△OAH，∴＝，即＝，∴AH＝15，∴AB＝2AH＝30（mm）．答：A，B两点间的距离为30mm．【点评】本题考查了相似三角形的应用：利用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的长度．三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）11．（10分）如图，一个学生在运动场上D处玩要，在他前面2米远的O处有一小块积水，他看到了旗杆AB的倒影．若旗杆底端到积水处的距离为40米，该生的眼部高度为1.5米，求旗杆的高度．【分析】因为学生和旗杆平行，且光的入射角等于反射角，所以有一组相似三角形，利用对应边成比例即可解答．【解答】解：∵CD⊥BD，AB⊥BD∴∠D＝∠B＝90°又∠COD＝∠AOB∴△ABO∽△CDO∴＝，∵OB＝40米，OD＝2米，CD＝1.5米，∴＝∴AB＝30米．答：旗杆的高度是30米．【点评】本题考查了相似三角形的应用，解题时，只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出旗杆的高度，体现了转化的思想．12．（10分）如图，x轴表示一条东西方向的道路，y轴表示一条南北方向的道路，小丽和小明分别从十字路口O点处同时出发，小丽沿着x轴以4千米时的速度由西向东前进，小明沿着y轴以5千米/时的速度由南向北前进．有一颗百年古树位于图中的P点处，古树与x轴、y轴的距离分别是3千米和2千米．问：（1）离开路口后经过多少时间，两人与这棵古树的距离恰好相等？（2）离开路口经过多少时间，两人与这颗古树所处的位置恰好在一条直线上？【分析】（1）设离开路口后经过x小时，两人与这棵古树的距离恰好相等．根据P A＝PB构建方程即可解决问题；（2）设离开路口经过y小时，两人与这颗古树所处的位置恰好在一条直线上．作PE⊥OB于E，PF⊥OA于F．根据tan∠BPE＝tan∠P AF，构建方程即可解决问题；【解答】解：（1）设离开路口后经过x小时，两人与这棵古树的距离恰好相等．由题意P（2，3）．A（4x，0），B（0，5x），∵P A＝PB，∴（2﹣4x）2+32＝22+（3﹣5x）2，解得x＝或0（舍弃），答：经过小时，两人与这棵古树的距离恰好相等．（2）设离开路口经过y小时，两人与这颗古树所处的位置恰好在一条直线上．作PE⊥OB于E，PF⊥OA于F．∵B，P，A共线，∴∠BPE＝∠P AF，∴tan∠BPE＝tan∠P AF，∴＝，解得：y＝或0（舍弃），答：离开路口经过小时，两人与这颗古树所处的位置恰好在一条直线上【点评】本题考查动点问题、平面直角坐标系等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．13．（10分）如图，在相对的两栋楼中间有一堵墙，甲、乙两人分别在这两栋楼内观察这堵墙，视线如图1所示．根据实际情况画出平面图形如图2（CD⊥DF，AB⊥DF，EF⊥DF），甲从点C可以看到点G处，乙从点E可以看到点D处，点B是DF的中点，墙AB高5.5米，DF＝100米，BG＝10.5米，求甲、乙两人的观测点到地面的距离之差（结果精确到0.1米）【分析】首先由题意可证得△ABG∽△CDG与△DAG∽△AEF，又由相似三角形的对应边成比例与点B是DF的中点，墙AB高5米，DF＝100米，BG＝10米，即可求得CD与EF的高，则可求得答案．【解答】解：由题意可知∠ABG＝∠CDG＝90°．又∵∠AGD为公共角，∴△ABG∽△CDG．∴＝．∵DF＝100米，点B是DF的中点，∴BD＝BF＝50米，∵AB＝5.5米，BG＝10.5米，∴＝，∴CD≈31.69（米）．又∵∠ABD＝∠EFD＝90°，∠EDF为公共角，∴△ADB∽△EDF，∴＝＝，∴EF＝2AB＝11（米）∴CD﹣EF≈20.7（米）答：甲、乙两人的观测点到地面的距离之差约为20.7米．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质的实际应用．解题的关键是根据实际问题抽象出几何知识，再由几何知识解题，还要注意数形结合思想的应用．14．（10分）数学实践小组想利用镜子的反射测量池塘边一棵树的高度AB．测量和计算的部分步骤如下：①如图，树与地面垂直，在地面上的点C处放置一块镜子，小明站在BC的延长线上，当小明在镜子中刚好看到树的顶点A时，测得小明到镜子的距离CD ＝2米，小明的眼睛E到地面的距离ED＝1.5米；②将镜子从点C沿BC的延长线向后移动10米到点F处，小明向后移动到点H处时，小明的眼睛G又刚好在镜子中看到树的顶点A，这时测得小明到镜子的距离FH＝3米；③计算树的高度AB；解：设AB＝x米，BC＝y米∵∠ABC＝∠EDC＝90°，∠ACB＝∠ECD∴△ABC∽△EDC∴＝……请你根据材料中得到的测量数据和计算步骤，将剩余的计算部分补充完整．【分析】根据题意得出△ABF∽△GHF，利用相似三角形的性质得出AB，BC的长进而得出答案．【解答】解：设AB＝x米，BC＝y米．∵∠ABC＝∠EDC＝90°，∠ACB＝∠ECD∴△ABC∽△EDC∴＝，∴＝，∵∠ABF＝∠GHF＝90°，∠AFB＝∠GFH，∴△ABF∽△GHF，∴＝，∴＝，∴＝，解得：y＝20，把y＝20代入＝中，得＝，解得x＝15，∴树的高度AB为15米．【点评】此题主要考查了相似三角形的应用，正确应用相似三角形的判定与性质是解题关键．15．（10分）如图，某同学想测量旗杆的高度，他在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长1.5米，在同时刻测量旗杆的影长时，因旗杆靠近一楼房，影子不全落在地面上，有一部分落在墙上，他测得落在地面上影长为21米，留在墙上的影高为2米，求旗杆的高度．【分析】过C作CE⊥AB于E，首先证明四边形CDBE为矩形，可得BD＝CE ＝21，CD＝BE＝2，设AE＝x ，则＝，求出x即可解决问题．【解答】解：过C作CE⊥AB于E，∵CD⊥BD，AB⊥BD，∴∠EBD＝∠CDB＝∠CEB＝90°，∴四边形CDBE为矩形，∴BD＝CE＝21，CD＝BE＝2，设AE＝x，∴＝，解得：x＝14，∴旗杆的高AB＝AE+BE＝14+2＝16米．【点评】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用物长：影长＝定值，构建方程解决问题，属于中考常考题型．第22页（共22页）。