八年级数学平行四边形中的最值问题专练一、选择题1.如图，将两张长为8，宽为2的长方形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形(四条边相等)，容易知道当两张纸条垂直时，菱形的周长有最小值8，那么菱形周长的最大值是（）A. 17B. 16C. 8√2D. 2√172.如图，已知∠MON=30°，B为OM上一点，BA⊥ON于点A，四边形ABCD为正方形，P为射线BM上一动点，连结CP，将CP绕点C顺时针方向旋转90°得CE，连接BE，若AB=2，则BE的最小值为()A. √3+1B. 2√3−1C. 3D. 4−√33.如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O的最大距离为()A. √2+1B. √5C. √1455D. 524.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AC=4√3，BC的中点为D.将△ABC绕点C顺时针旋转任意一个角度得到△FEC，EF的中点为G，连接DG.在旋转过程中，DG的最大值是()A. 4B. 6C. 2+2√3D. 85.如图，正方形ABCD，边长为2，E是边BC上的一动点，连DE，取DE中点G，将GE绕E顺时针旋转90°到EF，连接CF。

则CF的最小值为()A. √55B. 25√5 C. 2 D. 16.如图，在边长为4的正方形ABCD中，E是AB边上的一点，且AE=3，点Q为对角线AC上的动点，则△BEQ周长的最小值为()A. 5B. 6C. 4√2D. 87.如图，在平行四边形ABCD中，∠C=120∘，AD=2AB=4，点H、G分别是边AD、BC上的动点.连接AH、HG，点E为AH的中点，点F为GH的中点，连接EF.则EF的最大值与最小值的差为()A. 1B. √3−1C. √32D. 2−√3二、填空题8.如图，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，AB=6，点E在边AB上，且AE=2，P是对角线AC上的一个动点，则PB+PE的最小值是______．9.点P是菱形ABCD的对角线AC上的一个动点，已知AB=1，∠ADC=120°，点M，N分别是AB，BC边上的中点，则△MPN的周长最小值是_______________．10.如图，在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为____________11.如图，已知菱形ABCD的面积为8√3，∠BAD=60°，对角线AC、BD交于点O，若点P为对角线AC上一点，则1AP+BP的最小值是____________．212.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A´B´C，M是BC的中点，P是A´B´的中点，连接PM。

过点C作PM的垂线，垂足为H，若BC=2，∠BAC=30°，则线段PH的最小值是___．13.如图，线段AB=4，M为AB的中点，动点P到点M的距离是1，连接PB，线段PB绕点P逆时针旋转90∘得到线段PC，连接AC，则线段AC长度的最大值是_________．14.如图，O为矩形ABCD对角线AC，BD的交点，AB=6，M，N是直线BC上的动点，且MN=2，则OM+ON的最小值是_____．三、解答题15.已知在△ABC中，AB=AC，D是BC边上一点，连接AD右侧作等腰△ADE，AD=AE．(1)如图1，∠BAC=∠DAE=90°，连接CE.求证：△ABD≌△ACE；(2)如图2，∠BAC=∠DAE=120°，AB=AC=2，取AC边的中点F，连接EF.当D点从B点运动到C点过程中，求线段EF长度的最小值，并直接写出它的最大值；(3)如图3，四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD，DC=1，连接AC，，求AB的长．且AC=√30+√2216.如图所示，在平面直角坐标系中△ABC三个顶点的坐标分别是点A(−2,3)、点B(−1,1)、点C(0,2)．(1)作△ABC关于C成中心对称的△A1B1C1；(2)将△A1B1C1向右平移3个单位，作出平移后的△A2B2C2；(3)在x轴上求作一点P，使PA1+PC1的值最小，并写出点P的坐标．(不写解答过程，直接写出结果)17.如图1，等边△ABC的边长为4cm，动点D从点B出发，沿射线BC方向移动，以AD为边作等边△ADE．(1)在点D运动的过程中，点E能否移动至直线AB上⊕若能，求出此时BD的长;若不能，请说明理由;(2)如图2，在点D从点B开始移动至点C的过程中，以等边△ADE的边AD、DE为边作▱ADEF． ①▱ADEF的面积是否存在最小值⊕若存在，求出这个最小值;若不存在，请说明理由; ②若点M、N、P分别为AE、AD、DE上的动点，直接写出MN+MP的最小值．18.如图，在平面直角坐标系中有矩形OABC，点A(0,2)，将矩形OABC沿AC折叠，使得点B落在点D，∠ACO=30°，过O作OE⊥AC于点E．(1)求OE的长．(2)已知点P是线段AD上的一点，连接EP、CP，求EP+CP的最小值．(3)在x轴上是否存在点Q，使△CEQ为等腰三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．19.如图，以长方形OABC的顶点O为原点，OA所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，建立平面直角坐标系.已知OA=3，OC=2，点E是AB的中点，在OA上取一点D，连结BD，点A关于BD的对称点恰好落在线段BC边上的点F处．(1)直接写出点E，F的坐标；(2)在线段CB上是否存在一点P，使△OEP为等腰三角形？若存在，求出所有满足条件的P点坐标；若不存在，请说明理由．(3)在x轴、y轴上是否分别存在点M、N，使四边形MNFE的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由．20.【阅读】如图1，四边形OABC中，OA=a，OC=8，BC=6，∠AOC=∠BCO=90°，经过点O的直线l将四边形分成两部分，直线l与OC所成的角设为θ，将四边形OABC的直角∠OCB沿直线l折叠，点C落在点D处，我们把这个操作过程记为FZ[θ,a]．【理解】若点D与点A重合，则这个操作过程为FZ[45°,8]；【尝试】(1)若点D与OA的中点重合，则这个操作过程为FZ[______，______]；(2)若点D恰为AB的中点(如图2)，求θ的值；【应用】经过FZ[45°,a]操作，点B落在点E处，若点E在四边形OABC的边AB上，直线l与AB相交于点F，试画出图形并解决下列问题：①求出a的值；②若P为边OA上一动点，连接PE、PF，请直接写出PE+PF的最小值．(备注：等腰直角三角形的三边关系满足1：1：√2或√2：√2：2)答案和解析1.A解：当两张纸条如图所示放置时，菱形周长最大，设这时菱形的边长为x，在Rt△ABC中，由勾股定理：x2=(8−x)2+22，解得：x=174，∴4x=17，即菱形的最大周长为17．2.A解：如图，连接PD，由题意可得，PC=EC，∠PCE=90°=∠DCB，BC=DC，∴∠DCP=∠BCE，在△DCP和△BCE中，{CD=BC∠DCP=∠BCE CP=CE,∴△DCP≌△BCE(SAS)，∴PD=BE，当DP⊥OM时，DP最短，此时BE最短，∵∠AOB=30°，AB=2=AD，∴OD=OA+AD=2√3+2，∴当DP⊥OM时，DP=12OD=√3+1，∴BE的最小值为√3+1．3.A解：如图，取AB的中点E，连接OE、DE、OD，∵OD≤OE+DE，∴当O、D、E三点共线时，点D到点O的距离最大，此时，∵AB=2，BC=1，∴OE=AE=12AB=1，DE=√AD2+AE2=√12+12=√2，∴OD的最大值为：√2+1．4.B解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AC=4√3结合勾股定理：AB=8，BC=12AB=4，∵BC的中点为D，∴CD=12BC=12×4=2，连接CG，∵△ABC绕点C顺时针旋转任意一个角度得到△FEC，EF的中点为G，∴CG=12EF=12AB=12×8=4，由三角形的三边关系得，CD+CG>DG，∴D、C、G三点共线时DG有最大值，此时DG=CD+CG=2+4=6．5.A6.B解：连接BD，DE，∵四边形ABCD是正方形，∴点B与点D关于直线AC对称，∴DE的长即为BQ+QE的最小值，∵DE=BQ+QE=√AD2+AE2=√42+32=5，∴△BEQ周长的最小值=DE+BE=5+1=6．7.C解：如图，取AD的中点M，连接CM、AG、AC，作AN⊥BC于N．∵四边形ABCD是平行四边形，∠BCD=120°，∴∠D=180°−∠BCD=60°，AB=CD=2，∵AM=DM=DC=2，∴△CDM是等边三角形，∴∠DMC=∠MCD=60°，AM=MC，∴∠MAC=∠MCA=30°，∴∠ACD=90°，∴AC=2√3，在Rt△ACN中，∵AC=2√3，∠ACN=∠DAC=30°，AC=√3，∴AN=12∵AE=EH，GF=FH，AG，∴EF=12易知AG的最大值为AC的长，最小值为AN的长，∴AG的最大值为2√3，最小值为√3，，∴EF的最大值为√3，最小值为√32．∴EF的最大值与最小值的差为√328.2√7解：连接DE交AC于P′，连接DE，DB，过D作DH⊥AB，由菱形的对角线互相垂直平分，可得B、D关于AC对称，则P′D=P′B，∴P′E+P′B=P′E+P′D=DE，即DE就是PE+PB的最小值，∵∠ABC=120°，∴∠BAD=60°，∵AD=AB=6，∵DH⊥AB，∴AH=3，DH=3√3，∴EH=AH−AE=3−2=1，在Rt△DEH中，DE=√DH2+EH2=√(3√3)2+12=2√7．即PB+PE的最小值为2√7，9.√3+12解：如图：，作点M关于AC的对称点M′，连接M′N交AC于P，此时MP+NP有最小值，最小值为M′N的长．∵菱形ABCD关于AC对称，M是AB边上的中点，∴M′是AD的中点，又∵N是BC边上的中点，AC，∴AM′//BN，AM′=BN，MN=12∴四边形ABNM′是平行四边形，∴M′N=AB=1，∴MP+NP=M′N=1，即MP+NP的最小值为1，∵∠ADC=120°，∴∠DAB=60°，∴∠BAC=30°，sin∠BAC=12AC：AB=√32，MN=12AC=√32，∴△MPN的周长=√32+1．10.解：∵在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，∴AB2+AC2=BC2，即∠BAC=90°．又∵PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，∴四边形AEPF是矩形，∴EF=AP，∵M是EF的中点，∴AM=EF=AP，因为AP的最小值即为直角三角形ABC斜边上的高，即等于，11.2√3解：过P点作PK⊥AB，垂足为K，∵四边形ABCD为菱形，∠BAD=60°∴∠BAP=30°∴PK=12AP作DP1⊥AB，交AC于P1,垂足为K1，当P点运动到P1的位置，∵P1B=P1DP1K+P1B=DK1，即为12AP+BP的最小值∵△ABD为等边三角形，菱形ABCD的面积为8√3∴△ABD的面积为4√3设菱形ABCD的边长为aa2=4√3∴√34∴a=4(负值舍去)AD=2AK1=12∴DK1=√42−22=2√3．12.√3．解：如图连接PC．在Rt△ABC中，∵∠A=30°，BC=2，∴AB=4，根据旋转不变性可知，A′B′=AB=4，∴A′P=PB′，∴PC= 12A′B′=2，∵CM=BM=1，∴在Rt△PCH中，已知PC=2为定值，当直角边CH值最大时，PH值则最小．由旋转可知，当∠CPH=30°时，CH最大=1，∴PH值则最小.为√3．13.3√2解：如图所示：过点C作CD⊥y轴，垂足为D，过点P作PE⊥DC，垂足为E，延长EP交x轴于点F．∵AB=4，O为AB的中点，∴A(−2,0)，B(2,0)．设点P的坐标为(x,y)，则x2+y2=1．∵∠EPC+∠BPF=90°，∠EPC+∠ECP=90°，∴∠ECP=∠FPB．由旋转的性质可知：PC=PB．在△ECP和△FPB中，{∠ECP=∠FPB∠PEC=∠PFB PC=PB，∴△ECP≌△FPB．∴EC=PF=y，FB=EP=2−x．∴C(x+y,y+2−x)．∵AB=4，O为AB的中点，∴AC=√ (x+y+2)2+(y+2−x)2=√2x2+2y2+8y+8．∵x2+y2=1，∴AC=√10+8y，∵−1≤y≤1，∴当y=1时，AC有最大值，AC的最大值为√10+8=3√2．14.2√10解：由题意知，当OM=ON时，OM+ON的值最小，作OE⊥BC于E，∵MN=2，∴ME=NE=12MN=1，∵AB=6，∴OE=3，∴OM=ON=√32+12=√10，∴OM+ON=2√10．15.解：(1)如图1中，∵∠DAE=∠BAC=90°，∴∠BAD=∠CAE，在△BAD和△CAE中，{AB=AC∠BAD=∠CAE AD=AE，∴△BAD≌△CAE．(2)∵取AB的中点F，连接DG和CG，∵AB=AC=2，F是AC边的中点F∴AG=AF=BG=1，∵∠BAC=ADE=120°∴∠GAD+∠DAC=∠DAC+∠FAE∴∠GAD=∠FAE在△GAD和△FAE中，AG=AF，∠GAD=∠FAE，AD=AE ∴△GAD≌△FAE(SAS)∴EF=DG即DG有最小值时，EF也为最小值当DG⊥BC时，DG最小值为0.5，当点D移动到C时，CG取最大值即为EF最大值，∵BD=√32，BC=2√3，∴CD=BC−BD=32√3，CG=√7∴EF最小值为12，最大值为√7．(3)过点A作AE⊥BC，交BC于点E，将△ABE绕点A逆时针旋转90°到△ADF处，∵∠B+∠ADC=180°，∴点C，D，E三点共线，∵∠BAE=∠DAF，∴∠FAE=∠C=∠F=90°，∴四边形AECF为正方形，设DF=x，AF=CF=x+1，AC=√30+√22=√2(x+1)，解得x=√15−12，∴AB=AD=√AF2+DF2=2√2．16.解：(1)如图，△A1B1C1为所求；(2)如图，△A2B2C2为所求；(3)点C′和C1关于x轴对称，连结C′A1交x轴于P，则PC′=PC1，则PC1+PA1=PC′+PA1=C′A1，此时PA1+PC1的值最小，设直线C′A1的解析式为y=kx+b，把C′(0,−2)，A 1(2,1)代入得{b =−22k +b =1，解得{k =32b =−2， 所以直线C′A 1的解析式为y =32x −2， 当y =0时，32x −2=0，解得x =43， 所以点P 的坐标为(43,0)．17. 解：(1)不能．理由：如图1所示：∵△ABC 和△ADE 均为等边三角形，∴∠BAC =∠ACB =∠EAD =60°．∵∠ACB =∠CAD +∠ADC =60°，∴∠CAD <60°，又∵∠BAC =∠EAD =60°，∴∠CAD +∠BAC +∠EAD <180°．∴点E 不能移动到直线AB 上．(2)①存在：在图(2)中，当AD ⊥BC 时△ADE 的面积最小．∵四边形ADEF 为平行四边形，AE 为对角线， ∴平行四边形ADEF 的面积是△ADE 面积的2倍． ∴▱ADEF 的面积的最小值=2×3√3=6√3； ②MN +MP 的最小值为3．②如图3所示：作点P 关于AE 的对称点P 1，当点N、M、P1在一条直线上，且NP1⊥AD时，MN+MP有最小值，过点A作AG//NP1，∵AN//GP1，AG//NP1，∴四边形ANP1G为平行四边形．由①可得AF=AD，最小值为2√3，即MN+MP的最小值为3，故答案为MN+MP的最小值为3．18.解：(1)∵点A(0,2)，∴OA=2，在Rt△AOC中，∠ACO=30°，∴OC=√3OA=2√3，AC=2OA=4，∵OE⊥AC，∴S△OAC=12OA⋅OC=12AC⋅OE，∴2×2√3=4×OE，∴OE=√3；(2)如图(1)，延长CD交y轴于C′，∵四边形OABC是矩形，∴∠AB//OC，∴∠BAC=∠OCA=30°，由折叠知，∠DAC=∠BAC=30°，∵∠OAC=90°−∠OCA=60°，∴∠OAD=30°，∵∠ADC=90°，∴点C′，C关于AD对称，∴连接C′E，即C′E就是PC+PE的最小值，由折叠知，∠ACC′=∠ACB=60°，∴∠OCC′=30°=∠ACO，∵OC⊥AC′，∴OC′=OA=2，∴C′(0,−2)，过点E作EF⊥y轴于F，在Rt△OFE中，∠AOE=90°−∠OAC=30°，OE=√3，∴EF =√32，OF =32，∴C′F =OF +OC′=32+2=72，根据勾股定理得，C′E =√EF 2+C′F 2=√13， 即：PE +PC 的最小值为√13；(3)设Q(m,0)，由(2)知，EF =√32，OF =32， ∴E(√32,32)，由(1)知，OC =2√3，∴C(2√3,0)，∴CE =3，CQ =|m −2√3|，EQ 2=(m −√32)2+94=m 2−√3m +3， ∵△CEQ 为等腰三角形，∴①当CE =CQ 时，∴3=|m −2√3|， ∴m =3+2√3或m =−3+2√3，∴P(3+2√3,0)或(−3+2√3)，②当CE =EQ 时，∴9=m 2−√3m +3， ∴m =2√3(舍)或m =−√3，∴P(−√3,0)，③当CQ =EQ 时，∴(m −2√3)2=m 2−√3m +3， ∴m =√3，∴P(√3,0)即：满足条件的点P 的坐标为P(3+2√3,0)或(−3+2√3)或(−√3,0)或(√3,0)．19. 解：(1)∵OC =2，四边形OABC 是矩形， ∴AB =OC =2，∵点E 是AB 的中点，∴AE =1，∵AO =3，∴E(3,1)，根据折叠可得DA =DF ，∴DF =CO =2，∴AD =2，∴DO =3−2=1，∴F(1,2)，(2)存在，理由：由(1)知，E(3,1)，O(0,0)设P(a,2)(0≤a ≤3)，∴PE =√(a −3)2+1，PO =√a 2+4，EO =√10，∵△OEP 为等腰三角形，∴①当PE =PO 时，∴√(a −3)2+1=√a 2+4， ∴a =1，∴P(1,2)；②当PE =EO 时，∴√(a −3)2+1=√10， ∴a =0或a =6(舍)，∴P(0,2)，③当PO =EO 时，∴√a 2+4=√10， ∴a =√6或a =−√6(舍)，∴P(√6,2)，即：满足条件的点P 的坐标为(1,2)或(0,2)或(√6,2)．(3)如图2，作点E 关于x 轴的对称点E′，作点F 关于y 轴的对称点F′，连接E′F′，分别 与x 轴、y 轴交于点M 、N ，连接FN 、NM 、ME ， 此时四边形MNFE 的周长最小．∴E′(3,−1)，F′(−1,2)，设直线E′F′的解析式为y =kx +b ，有{3k +b =−1−k +b =2， 解这个方程组，得{k =−34b =54， ∴直线E′F′的解析式为y =−34x +54．当y =0时，x =53， ∴M 点的坐标为(53,0)．当x =0时，y =54， ∴N 点的坐标为(0,54).∵E 与E′关于x 轴对称，F 与F′关于y 轴对称， ∴NF =NF′，ME =ME′.F′B =4，E′B =3． 在Rt △BE′F′中，F′E′=√F′B 2+E′B 2=5．∴FN+NM+ME=F′N+NM+ME′=F′E′=5．在Rt△BEF中，EF=√BE2+BF2=√5．∴FN+NM+ME+EF=F′E′+EF=5+√5，即四边形MNFE的周长最小值是5+√5．20.45°16【解析】解：(1)点D与OA的中点重合，如图1，由折叠得：∠COP=∠DOP=45°，∠C=∠ODP=90°，∴CP=PD，∵OP=OP，∴Rt△OCP≌Rt△ODP(HL)，∴OC=OD=8，∵D为OA的中点，∴OA=a=16，则这个操作过程为FZ[45°,16]；故答案为：45°，16；(2)延长MD、OA，交于点N，如图2．∵∠AOC=∠BCO=90°，∴∠AOC+∠BCO=180°，∴BC//OA，∴∠B=∠DAN．在△BDM和△ADN中，{∠B=∠DANBD=AD∠BDM=∠ADN，∴△BDM≌△ADN(ASA)，∴DM=DN．∵∠ODM=∠OCM=90°，∴根据线段垂直平分线的性质可得OM=ON，∴根据等腰三角形的性质可得∠MOD=∠NOD．由折叠可得∠MOD=∠MOC=θ，∴∠COA=3θ=90°，∴θ=30°；【应用】①过点B作BH⊥OA于点H，如图3．∵∠COA=90°，∠COF=45°，∴∠FOA=45°．∵点B与点E关于直线l对称，∴∠OFA=∠OFB=90°，∴∠OAB=45°，∴∠HBA=90°−45°=45°=∠HAB，∴BH=AH．∵CO⊥OA，BH⊥OA，∴CO//BH．∵BC//OA，∴四边形BCOH是平行四边形，∴BH=CO=8，OH=CB=6，∴OA=OH+AH=OH+BH=6+8=14．∴a的值为14．②过点B作BH⊥OA于点H，过点F作OA的对称点Q，连接AQ、EQ，OB，如图4，则有∠QAO=∠FAO=45°，QA=FA，∴∠QAF=90°．在Rt△BHA中，AB=√BH2+AH2=8√2．在Rt△OFA中，∠AFO=90°，∠AOF=∠OAF=45°=7√2，∴AF=OF=√2∴AQ=AF=7√2．在Rt△OCB中，OB=√OC2+BC2=√82+62=10．在Rt△OFB中，BF=AB−AF=8√2−7√2=√2．由折叠可得EF=BF=√2，∴AE=AF−EF=7√2−√2=6√2．在Rt△QAE中，EQ2=AE2+AQ2=(6√2)2+(7√2)2=170．根据两点之间线段最短可得：当点E、P、Q三点共线时，PE+PF=PE+PQ最短，最小值为线段EQ长．∴PE+PF的最小值的是√170．。