百度文库-让每个人平等地提升自我巧用旋转法解几何题将一个图形绕着某一点旋转一个角度的图形变换叫做旋转，由旋转的性质可知旋转前后的 图形全等，对应点到旋转中心的连线所组成的夹角等于旋转角。
旋转法是在图形具有公共端点的相 等的线段特征时，可以把图形的某部分绕相等的线段的公共端点，旋转另一位置的引辅助线的方法,主要用途是把分散的元素通过旋转集中起来，从而为证题创造必要的条件。
旋转方法常用于等腰三 角形、等边三角形及正方形等图形中。
现就旋转法在几何证题中的应用举例加以说明，供同学们参 考。
例1.如图，在Rt △ ABC 中，/ C=90°, D 是AB 的中点，E , F 分别 AC 和BC 上，且 DEL DF, 求证：EF 2=A ^+B F"分析：从 所证的结论来看，令人联想到勾股定理，但注意到EF , AE BF 三条线段不在同一个三角形中，由于D 是中点，我们可以考虑以 D 为旋转中心，将 BF 旋转到和AE 相邻的位置，构造一个直 角三角形，问题便迎刃而解。
证明：延长 FD 到G 使DG=DF 连接AG EG •/ AD=DB / ADG=/ BDF •••" ADd " BDF ( SAS •••/ DAG=/ DBF BF=AG • AG// BC•••/ C=90°A Z EAG=90 • EG=Ah+AG=AE+BF •/ DEI DF • EG=EF2 2 2• EF=AE+BF例 2,如图 2,在"ABC 中，/ ACB=90 , AC=BC P 是"ABC 内一点，且 PA=3 PB=1, PC=2 求/ BPC 的度数.分析：题目已知条件中给出了三条线段的长度和一个直角，但已知的三条线段不在同一三角形中， 故可考虑通过旋转变换移至一个三角形中，由于" ACB 是等腰直角三角形，宜以直角顶点 C 为旋转中心。
解：作 MC L CP,使 MC=CP 连接 PM , BMFEA百度文库-让每个人平等地提升自我•••/ ACB=90，/ PCM=90 仁/2 •••MB=AP=3•/ AC=BC •丄 CAP^" CBM( SAS •••/ MPC=45•/ PC=MCZ PCM=90 由勾股定理 PM== PC 2 MC 2 = 2PC 2 =2 2 , 在"MPB 中，PB 2+PM= (2 .. 2 ) 2+I 2=9=B M例3,如图3,直角三角形 •••/ BPC=Z CPM # MPB=45 +90° =135° BE , CF 转移到ABC 中, AB=AC / BAC=90 , / EAF=45°,求证：EF^B F+CF 2 分析：本题求证的结论和例 1十分相似，无法直接用勾股定理，可通过旋转变换将同一个直角三角形中，由于"BAC 是等腰直角三角形，不妨以 A 为旋转中心，将/ BAE 和/ CAF 合在起，取零为整。
证明：过 A 作API AE 交BC 的垂线CP 于P ,连结PFEAP=90，/ EAF=45 PAF=45 BAC=90 BAE=/ PAC •/ AB=ACB=Z ACB=/ ACP=45•••" ABE ^" ACP( ASA\• PC=AE , AP=AE•••" AEF ^" APF ( SAS • EF=PF故在 Rt " PCF 中，P F=C F+P C,即 EF ^C F+A E 2A例4,女口图4,正方形 ABCD 中, E , F 分另U 在 AD , DC 上，且/ EBF=45 , BML EF 于M 求证：BA=BM 分析：本题与例3 相同之处在于直角三角形家夹有 45°角，可利用相同的方法，将/ABE 和/CBF “化散为整”来构造全等三角形。
证明：延长FC 到 N 使 CN=AE 连结 BNC•••四边形ABCD 是正方形 ••• AB=AC / BAC=90•••/ EBF=45 ABE+Z CBF=45由"ABE ^" CBN 知 BE=BN Z CBN Z ABE•••/ CBN-Z CBF=45 /，即Z EBF=Z NBF又 BE=BN BF=BF•••/ EBF ^" NBF ( SAS •- BM=BC• Z ADE = Z AFB =Z CFD +Z DFA = Z CDF + Z FDA = Z ADC 。
例6、如图，P 是等边三角形 ABC 内的一个点，PA=2 PB=2.3 , PC=4,求厶ABC 的边长。
分析：PA PB PC 比较分散，可利用旋转将 PA PB PC 放在一个三角形中，为此可将厶BPA 绕B 点逆时针方向旋转\60°可得△ BHC/解：把△ BPA 绕B 点逆时针方向旋转 60°得到△ BHC 因为BP=BH Z PBH=60 所以△ BPH 是等边三角形 所以Z BPH=60，所以BP=PH 2后 /又因为 HC=PA=2 PC=4 所以|PC 3 = HP 2 十 HC 3\/所以△ HCP 是Rt △，所以Z CHP=90• BM=BA例 5、如图 6,五边形 ABCDE 中, AB= AE BC + DE= CD , Z ABO Z AED =180 °。
求证：Z ADE=Z ADC解析：条件中有共点且相等的边AE 和AB,可将△ ADE 以点A 为中心,顺时针方向旋转Z BAE 的角度到厶AFB 的位置，如图7。
这就使已知条件Z ABO Z AED= 180。
和BC + DE = CD 通过转化得到集中，使解题思路进一步 明朗。
由△ ADE^A AFB 得Z AED=Z ABF, Z ADE=Z AFB ED= BF , AF = AD由 Z ABO Z AED= 180。
，得Z ABO Z ABF = 180 °。
所以 C B 、F 又 CD= BC + DE = BC + BF = CF ,故Z CFD=Z CDF 。
由 AF = AD,得到ZZ FDA 线。
又因为HC=2 PC=4所以/ HPC=30又因为/ BPH=60，所以/ CPB=90 z/在Rt △ BPC中，BC a= BP2+PC3= Q 忑『=12+16=28,BC 2.7，那么△ ABC的边长为2-7 。
例7、如图2, O是等边三角形ABC内一点，已知：/ AOB=115，/ BOC=125，则以线段OA OB 0C为边构成三角形的各角度数是多少？解：可将厶BOC绕B点按逆时针方向旋转60°可得△ BMA因为BO=BM/ MBO=60所以△ BOM^等边三角形，所以/仁/2=60°又因为/ AOB=115，所以/ MOA=55又因为/ AMB M COB=125所以/ AMO=65又因为AM=OC MO=BO所以△ AMOE好是以AO OC BO为边组成的三角形，所以/ MAO=180 —( 55° +65°) =180°—120° =60°即：以线段OA OB OC为边构成三角形的各角的度数分别为55°、65°、60 例8、如图4, P是正方形ABCD内一点，将△ ABP绕点B顺时针方向旋转能与CBP重合，若PB=3求PP'的长。
\ /分析：将厶ABP绕点B顺时针方向旋转能与CBP'重合，实际上就是把厶ABP顺时针方向旋转90°可得CBP',即PBP' 90°。
PBP' 90°。
所以PP' . BP2P'B2. 32323、2。
解：因为BP BP',例9、如图5, P为正方形ABCD内一点，且PA PB: PC=1: 2: 3,求/ APB的度数。
分析：PA PB: PC=1: 2：3,不妨设PA=1, PB=2, PC=3而这些条件较分散，可设法把PA、PB PC相对集中起来即把△ BCP绕B 点顺时针方向旋转90°得到△ BAE角军：因为BP=BE / PBE=90°所以PE22222，所以PE 2、2又在△ APE中，AE CP 3, PA2 PE2 AE2即12(2.2)232所以/ APE=90即/ APB=90 +45° =135°所以/ APB=135。
例10、如图，正方形ABCD勺边长为1, AB AD上各存一点P、Q若厶APQ的周长为2,求/ PCQ勺度数。
解：把△ CDC绕点C旋转90°到厶CBF的位置，CQ=CF因为AQ+AP+QP=2又AQ+QD+AP+PB=2所以QD+BP=QP又DQ=BF 所以PQ=PF所以QCP FCP所以/ QCP M FCP又因为/ QCF=90，所以/ PCQ=45 。
/由上例可知，利用旋转的概念及性质，把图中的一部分图形通过旋转，可把题化难为易，它为题设和结论的沟通架起了桥梁，同学们在做题时多练，多观察，增强解答几何题的能力从以上几例来看，都巧妙地运用了旋转的方法构造全等三角形，或借助中点，或旋转一角，通过将相关线段和有关的角转移到一个直角三角形中，运用勾股定理及它的逆定理来达到解题的目的。