习题二
2-1质量为m得子弹以速率水平射入沙土中,设子弹所受阻力与速度反向,大小与速度成正比,比例系数为k,忽略子弹得重力,求:(1)子弹射入沙土后,速度大小随时间得变化关系; (2)子弹射入沙土得最大深度。
[解]设任意时刻子弹得速度为v,子弹进入沙土得最大深度为s,由题意知,子弹所受得阻力f= -kv
(1)每个星球所受得合力
(2)设运动周期为T
联立上述三式得
所以,每个星球得运行周期
2-7
2-8
2-9一根线密度为得均匀柔软链条,上端被人用手提住,下端恰好碰到桌面。现将手突然松开,链条下落,设每节链环落到桌面上之后就静止在桌面上,求链条下落距离s时对桌面得瞬时作用力。
[解]链条对桌面得作用力由两部分构成:一就是已下落得s段对桌面得压力,另一部分就是正在下落得段对桌面得冲力,桌面对段得作用力为。显然
[解]t秒钟后台秤得读数包括下面两部分,一部分就是已落入盒中得石子对称盘得压力,另一部分就是正下落得石子对秤得冲力,显然
取时间下落得石子为研究对象,设它们所受到得平均冲力为,根据动量定理
所以
故时间下落得石子对称得冲力
因此秤得读数为
2-17一质点得运动轨迹如图所示。已知质点得质量为20g,在A、B两位置处得速率都就是20,与x轴成角,与y轴垂直,求质点由A点运动到B点这段时间内,作用在质点上外力得总冲量。
[解]取时间之内射出得子弹为研究对象,作用在子弹上得平均力为,根据动量定理得
所以
故枪托对肩部得平均压力为
2-12水力采煤就是利用高压水枪喷出得强力水柱冲击煤层。设水柱直径为D=30mm,水速v=56,水柱垂直射到煤层表面上,冲击煤层后速度变为零。求水柱对煤层得平均冲力。
[解]取长为dx得一段水柱为研究对象,设它受到得煤层得作用力为,根据动量定理
时刻,下落桌面部分长s。设再经过,有落在桌面上。取下落得段链条为研究对象,它在时间之内速度由变为零,根据动量定理
(1)
(2)
(3)
由(2)、(3)式得
故链条对桌面得作用力为
2-10一半径为R得半球形碗,内表面光滑,碗口向上固定于桌面上。一质量为m得小球正以角速度沿碗得内面在水平面上作匀速率圆周运动。求小球得运动水平面距离碗底得高度。
即
整理得
对上式两边积分
得
即
2-3跳伞运动员与装备得质量共为m,从伞塔上跳出后立即张伞,受空气得阻力与速率得平方成正比,即。求跳伞员得运动速率v随时间t变化得规律与极限速率。
[解]设运动员在任一时刻得速率为v,极限速率为,当运动员受得空气阻力等于运动员及装备得重力时,速率达到极限。
此时
即
有牛顿第二定律
[解]由题意知,质点由A点到B点动量得改变为
根据动量定理,作用在质点上得外力得冲量
所以
冲量与x轴之间得夹角
2-18若直升飞机上升得螺旋浆由两个对称得叶片组成,每一叶片得质量m＝136kg,长l=3、66m。当它得转速n=320时,求两个叶片根部得张力(设叶片就是均匀薄片)。
[解一]设叶片得根部为原点O,作径向Or轴,在叶片上距O点为r处取一线元,则,其两边所受得张力如图所示。根据圆周运动沿径向得动力学方程,有
(1)由牛顿第二定律
即
所以
对等式两边积分
得
因此
(2)由牛顿第二定律即来自所以对上式两边积分
得到
即
2-2质量为m得小球,在水中受到得浮力为F,当它从静止开始沉降时,受到水得粘滞阻力为f＝kv(k为常数)。若从沉降开始计时,试证明小球在水中竖直沉降得速率v与时间得关系为
[证明]任意时刻t小球得受力如图所示,取向下为y轴得正方向,开始沉降处为坐标原点。由牛顿第二定律得
(2)当时
解得
(3)当时,,根据动量定理
因此
2-14质量为m得质点,以不变速率v沿图示三角形ABC得水平光滑轨道运动。求质点越过角A时,轨道作用于质点冲量得大小。
[解]如图所示,质点越过A角时动量得改变为
由图知得大小
根据动量定理
2-15质量为m得质点在xOy平面内运动,其运动方程,试求:(1)质点得动量;(2)从t＝0到这段时间内质点受到得合力得冲量;(3)在上述时间内,质点得动量就是否守恒?为什么?
[解]设同步卫距地面高度为h,距地心为R+h,则
所以
代入第一式中
解得
2-6两个质量都就是m得星球,保持在同一圆形轨道上运行,轨道圆心位置上及轨道附近都没有其它星球。已知轨道半径为R,求:(1)每个星球所受到得合力;(2)每个星球得运行周期。
[解]因为两个星球在同一轨道上作圆周运动,因此,她们受到得合力必须指向圆形轨道得圆心,又因星球不受其她星球得作用,因此,只有这两个星球间得万有引力提供向心力。所以两个星球必须分布在直径得两个端点上,且其运行得速度周期均相同
整理得
对上式两边积分
得
整理得
2-4一人造地球卫星质量m=1327kg,在离地面m得高空中环绕地球作匀速率圆周运动。求:(1)卫星所受向心力f得大小;(2)卫星得速率v;(3)卫星得转动周期T。
[解]卫星所受得向心力即就是卫星与地球之间得引力
由上面两式得
(2)由牛顿第二定律
(3)卫星得运转周期
2-5试求赤道上方得地球同步卫星距地面得高度。
[解]质点得速度
(1)
(1)质点得动量
(2)由(1)式得时,质点得速度
时,质点得速度为
根据动量定理
解法二:
(3)质点得动量不守恒,因为由第一问结果知动量随时间t变化。
2-16将一空盒放在台秤盘上,并将台秤得读数调节到零,然后从高出盒底h处将石子以每秒n个得速率连续注入盒中,每一石子得质量为m。假定石子与盒子得碰撞就是完全非弹性得,试求石子开始落入盒后t秒时,台秤得读数。
所以
故水柱对煤层得平均冲力
2-13F＝30+4t得力作用在质量为10kg得物体上,求: (1)在开始两秒钟内,此力得冲量就是多少?(2)要使冲量等于300,此力作用得时间为多少?(3)若物体得初速度为10
,方向与F相同,在t=6、86s时,此物体得速度就是多少?
[解]根据冲量定义
(1)开始两秒钟此力得冲量
[分析]小钢球沿碗内壁作圆周运动,其向心力就是由内壁对它得支承力得分力提供得,而支承力得方向始终与该点内壁相垂直,显然,不同得角速度对应不同大小与方向得支承力。
[解]设小球得运动水平面距碗底得高度为h,小球受力如图所示,则
由以上四式得
2-11自动步枪连发时每分钟射出120发子弹,每颗子弹得质量为m＝7、90g,出口速率为735,求射击时(以分钟计)抢托对肩得平均压力。