第七章 参数估计本章知识要点点估计及其优良性一、矩估计和极大似然估计1 矩法估计设总体ξ的分布函数为),,,;(21m x F θθθL ,其中m θθθ,,,21L 是个未知参数. 设总体m ξ的阶矩存在,则总体m ξ的k 阶矩是未知参数m θθθ,,,21L 的函数,即),,,(21m k k a E θθθξL =, m k ≤≤1.设是总体),,,(21n X X X X L =ξ的简单随机样本,则样本的k 阶(原点)矩为∑==ni i k X n A 11, m k ≤≤1.分别令各阶样本矩等于相应阶的总体矩,得方程组⎪⎩⎪⎨⎧==).,,,(),,,,(212111m m mm a A a A θθθθθθL M L 求解上述方程组,即得未知参数m θθθ,,,21L 的矩估计:)(11X ∧∧=θθ, , …, .)(22X ∧∧=θθ)(X n n ∧∧=θθ求参数的矩估计列方程时,也可以令样本中心矩等于相应阶的总体中心矩,结果相同. 2 极大似然估计设总体ξ的概率函数为);(θx f (当总体ξ为离散型时,概率函数为其概率分布)();(x X P x f ==θθ;当总体ξ为连续型时,概率函数为其概率密度),),,,(21m θθθθL =为待估计的未知参数向量. 设是总体),,,(21n x x x L ξ的的一组样本观测值,称∏===ni i m x f L L 121);(),,,()(θθθθθL为(样本)似然函数. 若存在使得),,,(21n x x x L ∧∧=θθ)(max )(θθθL L Θ∈∧=,则称为向量参数),,,(21n x x x L ∧∧=θθθ的极大似然估计值,而称为参数),,,(21n X X X L ∧∧=θθθ的极大似然估计量.若似然函数)(θL 有连续偏导数,则)(θL 的最大值点可以从下面的对数似然方程组求得:⎩⎨⎧==∂∂.,,2,1,0)(ln k i L iL θθ极大似然估计具有不变性,即若∧θ是θ的最大似然估计,而)(θg 是任一波莱尔函数,则也是)(∧θg )(θg 的最大似然估计.二、点估计的优良性1 无偏性: 设∧θ是参数θ的估计,且, 则称θθ=∧)(E ^θ是θ的无偏估计.2 有效性: 设和是参数∧1θ∧2θθ的两个无偏估计,若, 则称优于,或称估计比有效.)()(^2^1θθD D ≤∧1θ∧2θ∧1θ∧2θ3 一致(相合)性: 设是参数∧n θθ的估计,若, 即对任意的θθ⎯→⎯∧Pn 0>ε,0)||(lim =≥−∧∞→εθθn n P ,则称是∧n θθ的一致(相合)估计.区间估计一、区间估计的概念设θ为总体ξ的分布中的未知参数,),,,(21n X X X X L =为总体ξ的简单随机样本. 1 (双侧)置信区间若存在统计量和使得),,,(2111n X X X L ∧∧=θθ),,,(2122n X X X L ∧∧=θθαθθθ−≥⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤∧∧121P , 则称为],[21∧∧θθθ的置信水平为α−1的置信区间,而和分别称为置信下限和置信上限.∧1θ∧2θ2 单侧置信限若存在统计量),,,(21n X X X L θθ=使得{}αθθ−≥≥1P ,则称),,,(21n X X X L θθ=为参数θ的置信水平为α−1的单侧置信下限. 若存在统计量),,,(21n X X X L θθ=使得{}αθθ−≥≤1P ,则称),,,(21n X X X L θθ=为参数θ的单侧置信上限.二、正态总体参数的区间估计常考题型解析[题型一] 矩估计和极大似然估计例1(1997-M1) 设总体X 的概率密度函数为⎩⎨⎧<<+=.,0,10,)1()(其它x x x f θθ 其中1−>θ是未知参数.是来自总体n X X X ,,,21L X 的一个容量为的简单随机样本,分别用矩估计法和极大似然估计法求n θ的估计量.例 (2004-M13) 设随机变量X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤>−=,,0,,)(1),;(αααβαβx x xx F 其中未知参数0>α,1>β. 设为来自总体n X X X ,,,21L X 的简单随机样本,(Ⅰ) 当1=α时,求未知参数β的矩估计量; (Ⅱ) 当1=α时,求未知参数β的最大似然估计量; (Ⅲ) 当2=β时,求未知参数α的最大似然估计量.例2 设总体X 服从区间上的均匀分布,,b 为未知参数,为取自总体],[b a a ),,,(21n X X X L X 的简单随机样本.求参数,的矩估计和极大似然估计.a b 例3 设是总体n x x x ,,,21L X 的一组样本观测值,而总体X 的概率分布为22)1()1()(−−−==k p p k k X P , L ,3,2=k .其中10<<p 是未知参数.求参数p 的极大似然估计值.例4 从一批产品中抽取50件,发现有2件次品,试求这批产品次品率的极大似然估计值. 例5(2002-M1) 设总体X 的概率分布为X0 1 2 3P2θ)1(2θθ−2θθ21−其中θ(210<<θ)是未知参数. 利用总体X 的如下样本值3, 1, 3, 0, 3, 1, 2, 3, 求θ的矩估计值和极大似然估计值.[题型二] 点估计的优良性例6 设总体,为取自总体),(~2σμN X n X X X ,,,21L X 的简单随机样本. 试确定常数C ,使得为∑−=+−1121)(n i ii X X C2σ的无偏估计. 例7 设为正态总体),,,(21n X X X L X 的样本,确定常数k ,使得∑=−ni i X k 11μ是总体标准差σ的无偏估计.例8 设总体X 服从参数为θ1的指数分布,为总体n X X X ,,,21L X 的简单随机样本.X 为样本均值,. 求:),,min(1n X X Z L =(Ⅰ))(X E ,)(nZ E ; (Ⅱ))(X D ,. )(nZ D 例9(1999-M1) 设总体X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<−=.,0,0),(6)(3其他θθθx x xx fn X X X ,,,21L 是取自总体X 的简单随机样本.(Ⅰ)求θ的矩估计量∧θ; (Ⅱ)求的方差.∧θ)(∧θD 例10(1992-M3) 设随机变量独立同分布,, n X X X ,,,21L 21)(σ=X D ∑==ni i X n X 11,∑=−−=n i iX X n S 122)(11, 则 (A )S 是σ的无偏估计量. (B )S 是σ的最大似然估计量.(C )S 是σ的相合(一致)估计量. (D )S 与X 相互独立.解: 1 2S 是2σ的无偏估计,不能得到S 是σ的无偏估计,反例为正态分布.2 总体分布未知,不能确定最大似然估计量,即使正态分布情形也不对.3 没有正态分布条件,不能确定S 与X 的独立性.由上排除(A ),(B ),(D ),应选(C ).(C )的正确性也可以用大数定律和概率收敛的运算法则论证:22σPS →,故σ⎯→⎯PS .[题型三] 正态总体参数的置信区间例11(1996-M3) 设有来自正态总体容量为9的简单随机样本,得样本均值)9.0,(~2μN X 5=X ,则未知参数μ的置信度为的置信区间是95.0)588.5,412.4(.例12(1993-M3) 设总体X 的方差为, 根据来自1X 的容量为100的简单随机样本，测得样本均值为, 则5X 的数学期望的置信度近似等于的置信区间为 95.0.解: 依中心极限定理,)(10)(μσμ−=−=X X n Z 近似服从标准正态分布)1,0(N ,故,即()95.096.1||=<Z P ()95.096.1||10=<−μX P . 由此可得X 的期望的置信区间为)196.5,804.4(.例13(2003-M1) 已知一批零件的长度X (单位:cm )服从正态分布)1,(μN ，从中随机地抽取16个零件，得到长度的平均值为(cm)，则40μ的置信度为的置信区间是95.0)49.40,51.39(.例14 设总体,其中),(~2σμN X 2σ未知. 若样本容量和置信度n α−1均不变,则对于不同的样本观测值,总体均值μ的置信区间长度(A )缩小. (B )增大. (C )不变. (D )以上说法都不对.解:因为SX n T )(μ−=服从自由度为1−n 的t 分布)1(−n t ,故αα−=−<−1))1(||(21n t T P . 由此可得μ的置信度为α−1的置信区间))1(),1((2121−−−−−−n t n S X n t n S X αα. 由于置信区间长度与S 有关,从而与样本观测值有关,因而应选择(D ).例15 设某地旅游者日消费额服从正态分布. 今对该地旅游者的日消费额进行估计,为了能以95%的置信水平相信这种估计误差小于2元,至少需要调查多少人?)12,(2μN 例16 假设是来自总体00.2,80.0,25.1,50.0X 的简单随机样本值. 已知X Y ln =服从正态分布)1,(μN .(Ⅰ) 求X 的数学期望)(X E (记)(X E 为); b (Ⅱ) 求μ的置信度为的置信区间;95.0(Ⅲ) 利用上述结果求的置信度为的置信区间. b 95.0。