1.3639
1.3659
1.3649
1.3654
2020/10/11
方法3
方法4
1.5000
1.5000
0.8165
1.3484
2.9969
1.3674
0-2.9412i 1.3650
不收敛
1.3653
J. G. Liu
6次
1.3652
1.3652
*收敛与否，以及收敛快
15次
慢，取决于迭代函数
*精度控制的表达式？？
方法1：x (x) x x3 4x2 10; 方法2：4x2 10 x3 x (x) 1 10 x3 ;
2 方法3：x3 4x2 10 x2 10 4x;
x
x (x) 10 4x
x
方法4：x2 (x 4) 10 x (x) 10 /(x 4);
取初值x0 1.5, 104, 用以上四种方法算，结果如下：
算法停止的条件
2020/10/11
什么时候停止？
a
xa1 x*
xb2 b
baε
或
f (xk1)
其中 ε,为容许误差！
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x
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North China Elec. P.U.
Numerical Analysis
2020/10/11
J. G. Liu
Numerical Analysis
2020/10/11
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内容:
◆ 二分法 ◆ 一般迭代法 ◆ 迭代法的加速 ◆ 牛顿迭代法 ◆ 非线性方程组的牛顿迭代法*
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Numerical Analysis
则a
ab
x, fa f ;
为所求根，结束！
否则，转(2)；
2
例1 计算f (x) x3 4x2 10 0在[1，2]内的实根。
取 109， 106，可得 x* 1.36523, 共计算21次！
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关于二分法的讨论
2020/10/11
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(1) 二分法只能求有根区间中的奇数重的实根;
事实上，
设x *为f(x)的m重根，即f(x)(x x*)m(x）((x)连续且(x*) 0)。 不妨设(x*) 0,由(x)的连续性，则δ 0,当x x * δ时，(x) 0。
f(bn ) 0,即x*[an,bn];
12(bn1
an1)
1 2n
b0
a0
有根区间
令
xn
an bn , 则 2
xn
x*
12(bn
an
)
1 2n1
(b
a);
lim
n
xn
x *.
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综合上述，得到如下算法，
(1) 输入，，计算fa f (a), fb f (b);
(2) 计算x a b , f f (x);
2
(3) 若 f ,则x为所求根，结束！
否则 若f fa 0,则b x, fb f ;
注：
其中 , 为
精度控制参数!
(4)
若
若f
ba
fa ,则x
0,
(1)
(3) 讨论xn的收敛性 及收敛速度（收敛阶） 。
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例2 用一般迭代法计算 f (x) x3 4x2 10在[1，2]的实根。
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方法1
方法2
1.5000
1.5000
-0.8750
1.2870
6.7324
1.4025
1.3455 -69.7200
1.3752 1.0275e+8
不收敛
1.3601
1.3678
1、二分法
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设 f (x) 在区间 [a,b] 上连续且有 f (a) f (b) 0 ，则 f (x)
在区间 [a,b] 内有解，不妨设解唯一！
算法构造原理:
找[a,b][a0,b0][a1,b1] [an,bn] ,满足 :
(1)
(2)
f (an )
bn an
（2）解的性态。即孤立解的区域，解的重数，光滑性。
关于解的存在性及其性态，不是数值分析所讨论的问题。
我们总认为：
通常求其精确
f (x)在一个确定的区域 Rn内有唯一解x *， 解是困难的
我们的任务是用数值方法求满足一定精度要求的近似解！
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1.3651
1.3653 1.3652 1.3652
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(二) 大范围收敛定理
设(x) C1[a, b]，
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(1) x [a,b],(x) [a,b], 即 (x) 是自映射；
当n充分大以后，[an,bn](x * δ,x* δ),于是当m为偶数时， x [an,bn],f(x) 0,不变号了！(??)
(2) 二分法线性收敛; (3) 二分法可用来细化有根区间，这是它的一大优点!
故二分法可以用来确定迭代法的迭代初值!
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2、一般迭代法
2020/10/11
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(一) 构造方法
(1) f(x) 0 x (x)，(x)称为迭代函数。
(2) 在解的邻域内选定初值
x0
U
(
δ
x*),构造迭代格式
xn1 (xn ) (n 0,1,2, )
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第二章 非线性方程(组)求根方法
问题：f : Rn Rn的非线性函数,求x Rn使f (x) 0。
若Байду номын сангаасn=1, 称为非线性方程求根问题；
n>1，称为非线性方程组求解问题。 理论问题：
（1）解的存在性。即有解还是无解，有多少解。