i 0,1,, n
我们称这样的问题为插值问题，并称 φ(x)为 f (x)的插值函数，f (x)为被插 函数， x0 , x1, x2, …, xn是插值节(基)点
条件
( xi ) yi ,
i 0,1,, n
是插值原则.
思考题 当数据点(xi, yi)给定后，满 足插值条件的插值函数φ(x)有多少 种类型？
答 有许多种。例如给出平面上两 个点，则过这两个点的曲线有无穷 多种，可以是代数多项式、三角多 项式、有理函数等等，但最简单而 最常用的是代数多项式，它有许多 良好的性质，故本章仅考虑代数多 项式插值问题
2. 代数多项式插值问题 已知条件 设给出关于函数y= f (x)的一组函数值，
x y
x0 y0
数 值 分 析
第二章 插 值 法
§1 引 言
一、实际背景 二、问题的分类 三、插值问题的定义
一、实际背景 飞机、汽车的外形设计制造
基本过程： 测点 插值曲线
插曲面
三角函数表、对数表等
不在表上的函数值如何求？
二、问题的分类 插值问题： 求一条曲线严格通过数据点 曲线拟合问题： 求一条曲线在一定意义下靠近 数据点 注：插值问题和曲线拟合问题统称 函数逼近问题！
三、插值问题的定义
1. 插值问题的有关概念 已知条件 设给出关于函数y= f (x)的一组函数值，
x y x0 y0 x1 y1 x2 … xn y2 … yn
其中x0 , x1, x2, …, xn是区间[a,b]上的 互异点，
求 一个简单函数φ(x)作为f(x)的近似 表达式，以满足
( xi ) yi ,
例如
P ( x) P ( x) p ( x) ( x xi ) n
i 0
n
也是一个插值多项式，其中 p ( x ) 可
以是任意多项式。
称Pn(x)为 f (x)的n次插值多项式
问题：这样的插值多项式是否存在唯 一呢？
定理 在n+1个互异节点处满足插值 原则且次数不超过n的多项式Pn(x)存 在并且唯一。
证明 设Pn(x)为所求多项式，则
a0 a1 x0 a 2 x a n x y0 2 n a0 a1 x1 a 2 x1 a n x1 y1 a a x a x 2 a x n y 0 1 n 2 n n n n
注意 从定理的证明可以看出，只要 通 过 求 解 一 个 线 性 方 程 组 得 出 a0 , a1,…,an 的值，便可以确定Pn(x)了。 然而这样构造多项式不但计算量大， 而且难以得到Pn(x)的简单公式，因 此本章下面几节将介绍几种直接构 造Pn(x)的方法。
注：若不将多项式次数限制为 n ，则 插值多项式不唯一。
x1 y1
x2 … xn y2 … y n
其中x0 , x1, x2, …, xn是区间[a, b]上 的互异点，
求 一个次数不超过n的多项式
Pn ( x ) a0 a1 x a2 x an x
2 n
使满足插值原则(条件)
Pn ( x i ) yi , i 0,1,, n
2 0 n 0
这是未知量a0, a1,…,an的线性方程组， 其系数行列式是范德蒙行列式
1 V ( x 0 , x 1 , , x n ) 1
x0 x1
x0 x0 x1
2
2
n n
x1
1 xn xn xn
2 n

(x
0 j i n
i
xj)
因为x0, x1,…,xn的互不相同，故系数行 列式不等于0，因此方程组有唯一解， 即Pn(x)存在并唯一。