第一章 解三角形1、正弦定理：在C ∆AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 为C ∆AB 的外接圆的半径，则有：2sin sin sin a b cR C===A B ． 2、正弦定理的变形公式：①2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =； ②sin 2a R A =，sin 2b R B =，sin 2cC R=； ③::sin :sin :sin a b c C =A B ； ④sin sin sin sin sin sin a b c a b cC C++===A +B +A B ． 注意：正弦定理主要用来解决两类问题：1、已知两边和其中一边所对的角，求其余的量。

2、已知两角和一边，求其余的量。

⑤对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况。

（一解、两解、无解三中情况）如：在三角形ABC 中，已知a 、b 、A （A 为锐角）求B 。

具体的做法是：数形结合思想画出图：法一：把a 扰着C当无交点则B 无解、 当有一个交点则B 有一解、 当有两个交点则B 有两个解。

法二：是算出CD=bsinA,看a 的情况： 当a<bsinA ，则B 无解 当bsinA<a ≤b,则B 有两解 当a=bsinA 或a>b 时，B 有一解注：当A 为钝角或是直角时以此类推既可。

3、三角形面积公式：111sin sin sin 222C S bc ab C ac ∆AB =A ==B ．4、余弦定理：在C ∆AB 中，有2222cos a b c bc =+-A ， 2222cos b a c ac =+-B ，2222cos c a b ab C =+-．5、余弦定理的推论：222cos 2b c a bc +-A =，222cos 2a c b ac +-B =，222cos 2a b c C ab+-=．(余弦定理主要解决的问题：1、已知两边和夹角，求其余的量。

2、已知三边求角)6、如何判断三角形的形状：设a 、b 、c 是C ∆AB 的角A 、B 、C 的对边，则： ①若222a b c +=，则90C =； ②若222a b c +>，则90C <； ③若222a b c +<，则90C >． 7、正余弦定理的综合应用： 如图所示：隔河看两目标A 、B,C并测得∠ACB=75O , ∠BCD=45O , ∠ADC=30O ,∠ADB=45O(A、B、C、D在同一平面内)，求两目标A、B之间的距离。

附：三角形的五个“心”；重心：三角形三条中线交点.外心：三角形三边垂直平分线相交于一点.内心：三角形三内角的平分线相交于一点.垂心：三角形三边上的高相交于一点.练习题一、选择题1、在△ABC中，a＝10，B=60°,C=45°,则c等于（ B ）A．310+B．()1310-C．13+D．3102、三角形的两边分别为5和3，它们夹角的余弦是方程25760x x--=的根，则三角形的另一边长为A．52 B．C．16 D．43、在△ABC中，若)())((cbbcaca+=-+，则A∠=（ C ）A090 B060 C0120 D01504 、在△ABC中，根据下列条件解三角形，则其中有两个解的是（ D ）A．b = 10，A = 45°，B = 70° B．a = 60，c = 48，B = 100°C．a = 7，b = 5，A = 80° D．a = 14，b = 16，A = 45°5、已知△ABC中，a∶b∶c＝1∶3∶2，则A∶B∶C等于( A )A．1∶2∶3B．2∶3∶1C． 1：3：2 D．3：1：26、若△ABC 的周长等于20，面积是310，A ＝60°，则BC 边的长是（ C ）A ． 5B ．6C ．7D ．8 二、填空题（每题5分,共25分）7、在ABC ∆中，已知4:5:6sin :sin :sin =C B A ，则cosA =___________ 8、在△ABC 中，A =60°, b =1, 面积为3，则sin sin sin a b cA B C++++=9、在△ABC 中，已知AB=4，AC=7，BC 边的中线27=AD ，那么BC= 10、在ABC △中，已知角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，边72c =，且60C ︒=，又ABC △a b +=________________三．解答题（2小题，共40分）13、在∆ABC 中，sin()1C A -=, sinB=13.（I ）求sinA 的值； (II)设求∆ABC 的面积.知识点巩固练习（一）一、选择题1．在△ABC 中，若0030,6,90===B a C ，则b c -等于（ ） A ．1 B ．1- C ．32 D ．32-2．若A 为△ABC 的内角，则下列函数中一定取正值的是（ ） A ．A sin B ．A cos C ．A tan D ．Atan 13．在△ABC 中，角,A B 均为锐角，且,sin cos B A > 则△ABC 的形状是（ ）A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形4．等腰三角形一腰上的高是3，这条高及底边的夹角为060， 则底边长为（ ）A ．2 B ．23C ．3D ．32 5．在△ABC 中，若B a b sin 2=，则A 等于（ ）A ．006030或B ．006045或C ．0060120或D ．0015030或 6．边长为5,7,8的三角形的最大角及最小角的和是（ ） A ．090 B ．0120 C ．0135 D ．0150 二、填空题1．在Rt △ABC 中，090C =，则B A sin sin 的最大值是_______________。

2．在△ABC 中，若=++=A c bc b a 则,222_________。

3．在△ABC 中，若====a C B b 则,135,30,200_________。

4．在△ABC 中，若sin A ∶sin B ∶sin C =7∶8∶13，则C =_____________。

三、解答题1． 在△ABC 中，若,cos cos cos C c B b A a =+则△ABC 的形状是什么？2．在△ABC 中，求证：)cos cos (aAb Bc a b b a -=-3．在锐角△ABC 中，求证：C B A C B A cos cos cos sin sin sin ++>++。

知识点巩固练习（二）一、选择题1．在△ABC 中，::1:2:3A B C =，则::a b c 等于（ ）A ．1:2:3B ．3:2:1C ．2D ．2 2．在△ABC 中，若角B 为钝角，则sin sin B A -的值（ ） A ．大于零 B ．小于零 C ．等于零 D ．不能确定 3．在△ABC 中，若B A 2=，则a 等于（ ） A ．A b sin 2 B ．A b cos 2 C ．B b sin 2 D ．B b cos 24．在△ABC 中，若2lg sin lg cos lg sin lg =--C B A ，则△ABC 的形状是（ ）A ．直角三角形B ．等边三角形C ．不能确定D ．等腰三角形 5．在△ABC 中，若,3))((bc a c b c b a =-+++则A = ( ) A ．090 B ．060 C ．0135 D ．0150 6．在△ABC 中，若1413cos ,8,7===C b a ，则最大角的余弦是（ ） A ．51- B ．61- C ．71- D ．81-二、填空题1．若在△ABC 中，060,1,ABC A b S ∆∠===则CB A cb a sin sin sin ++++=_______。

2．若,A B 是锐角三角形的两内角，则B A tan tan _____1（填>或<）。

3．在△ABC 中，若=+=C B C B A tan tan ,cos cos 2sin 则_________。

4．在△ABC 中，若,12,10,9===c b a 则△ABC 的形状是_________。

5．在△ABC 中，若=+===A c b a 则,226,2,3_________。

三、解答题1． 在△ABC 中，0120,,ABCA c b a S=>=，求c b ,。

2． 在锐角△ABC 中，求证：1tan tan tan >⋅⋅C B A 。

3． 在△ABC 中，求证：2cos 2cos 2cos 4sin sin sin C B A C B A =++。

4． 在△ABC 中，若0120=+B A ，则求证：1=+++ca b c b a 。

5． 在△ABC 中，若223cos cos 222C A ba c +=，则求证：2a c b +=知识点巩固练习（三）一、选择题1．A 为△ABC 的内角，则A A cos sin +的取值范围是（ ） A ．)2,2( B ．)2,2(- C ．]2,1(- D ．]2,2[-2．在△ABC 中，若,900=C 则三边的比cba +等于（ ） A ．2cos 2B A + B ．2cos 2B A - C ．2sin 2B A + D ．2sin 2BA -3．在△ABC 中，若8,3,7===c b a ，则其面积等于（ ） A ．12 B ．221C ．28D ．36 4．在△ABC 中，090C ∠=，00450<<A ，则下列各式中正确的是（ ） A ．sin cos A A > B ．sin cos B A > C ．sin cos A B > D ．sin cos B B > 5．在△ABC 中，若)())((c b b c a c a +=-+，则A ∠=（ ） A ．090 B ．060 C ．0120 D ．01506．在△ABC 中，若22tan tan ba B A =，则△ABC 的形状是（ ） A ．直角三角形 B ．等腰或直角三角形 C ．不能确定 D ．等腰三角形 二、填空题1．在△ABC 中，若,sin sin B A >则A 一定大于B ，对吗？填_________（对或错）2．在△ABC 中，若,1cos cos cos 222=++C B A 则△ABC 的形状是______________。

3．在△ABC 中，∠C 是钝角，设,cos cos ,sin sin ,sin B A z B A y C x +=+== 则z y x ,,的大小关系是___________________________。