贵州省兴义九中2020-2021学年高一下学期3月月考数学试题I 卷一、选择题1．某几何体的一条棱长为7，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为6的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，则a+b的最大值为( ）A．22B．23C．4 D．25【答案】C2．若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是( )【答案】D3．在一个倒置的正三棱锥容器内放入一个钢球，钢球恰与棱锥的四个面都接触，过棱锥的一条侧棱和高作截面，正确的截面图形是( ）【答案】B4．若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，则其体积等于（）2D．6A．2 B．3C．3【答案】B5．某品牌香水瓶的三视图如下（单位：cm），则该几何体的表面积为（）cm2A ．952π-B ．942π-C ．942π+D ．952π+【答案】C 6． 在斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，A 0，B 0，分别为侧棱AA 1，BB 1上的点，且知BB 0=A 0A 1，过A 0，B 0，C 1的截面将三棱柱分成上下两个部分体积之比为（ ）A ．2:1B ．4:3C ．3:2D ．1:1 【答案】A7．一个几何体按比例绘制的三视图如图12－5所示(单位：m)，则该几何体的体积为( )A ．4 m 3B ．92 m 3C ．3 m 3D ．94m 35图12－6【答案】C8．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．2B ．1C ．32 D ．31【答案】B9． 如图是某四棱锥的三视图，则该几何体的表面积等于 ( )A ．3465+B ．66543+C ．663413+D ．175+【答案】A10．在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝3，沿AC 将矩形ABCD 折叠，其正视图和俯视图如图12－8所示．此时连接顶点B 、D 形成三棱锥B －ACD ，则其侧视图的面积为( )A ．125B ．1225C ．7225D ．14425【答案】C11．关于直观图画法的说法中，不正确的是 ( ）A ．原图中平行于x 轴的线段，其对应线段仍平行于x 轴，其长度不变B ．原图中平行于y 轴的线段，其对应线段仍平行于y 轴，长度不变C ．画与坐标系xOy 对应的坐标系x ′O ′y ′时，∠x ′O ′y ′可等于135°D ．作直观图时，由于选轴不同，所画直观图可能不同 【答案】B12．一个几何体按比例绘制的三视图如图12－8所示(单位：m)，则该几何体的体积为( )A．4 m3 B．92m3 C．3 m3 D．94m3【答案】CII卷二、填空题13．正三棱锥P－ABC高为2，侧棱与底面所成角为45°，则点A到侧面PBC的距离是．【答案】55614．如图是一个几何体的三视图.若它的体积是33，则a= .315．正四面体的四个顶点都在同一个球面上，且正四面体的高为4，则这个球的表面积是________．【答案】36π16．一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是________．【答案】3 4三、解答题17．如图，四棱锥P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，点E在线段AD上，且CE∥AB.(1)求证：CE⊥平面PAD；(2)若PA＝AB＝1，AD＝3，CD＝2，∠CDA＝45°，求四棱锥P—ABCD的体积．【答案】(1)因为PA⊥平面ABCD，CE⊂平面ABCD，所以PA⊥CE.因为AB⊥AD，CE∥AB，所以CE⊥AD.又PA∩AD＝A，所以CE⊥平面PAD.(2)由(1)可知CE⊥AD.在Rt△ECD中，DE＝CD·cos 45°＝1，CE＝CD·sin 45°＝1.所以AE＝AD－ED＝2.又因为AB＝CE＝1，AB∥CE，所以四边形ABCE为矩形．所以S四边形ABCD＝S矩形ABCE＋S△ECD＝AB·AE＋12CE·DE＝1×2＋12×1×1＝52．又PA⊥平面ABCD，PA＝1，所以V四棱锥P—ABCD＝13S四边形ABCD·PA＝13×52×1＝56．18．如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB＝2，∠BAD＝60°．(Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；(Ⅱ）若PA＝AB，求PB与AC所成角的余弦值；(Ⅲ）当平面PBC与平面PDC垂直时，求PA的长．【答案】（I）证明：因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD．又因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD，所以BD⊥平面PAC．(Ⅱ）设AC∩BD＝O．因为∠BAD＝60°，PA＝AB＝2，所以BO＝1，AO＝CO＝3．如图，以O为坐标原点，OB、OC所在直线及过点O且与PA平行的直线分别为x 轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系O－xyz，则P （0，－3，2），A （0，－3，0），B （1,0,0），C （0，3，0）． 所以＝（1，3，－2），＝（0,23，0）．设PB 与AC 所成角为θ，则cos θ＝＝622×23＝64．(Ⅲ）由（Ⅱ）知＝（－1，3，0）．设P （0，－3，t ） (t ＞0），则＝（－1，－3，t ）． 设平面PBC 的法向量m ＝（x ，y ，z ）， 则·m ＝0，·m ＝0． 所以⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋3y ＝0，－x －3y ＋tz ＝0， 令y ＝3，则x ＝3，z ＝6t， 所以m ＝⎝⎛⎭⎪⎫3，3，6t ．同理，可求得平面PDC 的法向量n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，3，6t ．因为平面PBC ⊥平面PDC ， 所以m ·n ＝0，即－6＋36t 2＝0． 解得t ＝6．所以当平面PBC 与平面PDC 垂直时，PA ＝6．19．如图，在直三棱柱ABC-111A B C 中，AB AC 5==，D ，E 分别为BC ，1BB 的中点，1BB 的中点，四边形11B BCC 是边长为6的正方形.(1）求证：1A B //平面1AC D ； (2）求证：CE ⊥平面1AC D ；(3）求二面角1C AC D--的余弦值.【答案】（1）连结1A C，与1AC交于O点，连结OD.因为O，D分别为1A C和BC的中点，所以OD//1A B。

又OD1AC D⊂平面，11A B AC D⊄平面，所以11A B//AC D平面(2）在直三棱柱111ABC A B C-中，1BB ABC,ABC⊥⊂平面又A D平面，所以1BB AD⊥.因为AB AC,D=为BC中点，所以AD BC.⊥又1BC BB B⋂=，所以11AD B BCC⊥平面.又11CE B BCC,AD CE⊂⊥平面所以因为四边形11B BCC为正方形，D，E分别为BC，1BB的中点，所以11Rt CBE Rt C CD,CC D BCE∆≅∆∠=∠.所以1BCE C DC90∠+∠=. 所以1C D CE⊥11AD C D DCE AC D⋂=⊥又所以平面(3）如图，以11B C的中点G为原点，建立空间直角坐标系，则A（0，6，4），E（3，3，0），C（-3，6，0），1C(3,0,0)-.由（Ⅱ）知1CE AC D,CE=63,0⊥-平面所以（，）为平面1AC D的一个法向量。

设n(x,y,z)=为平面1ACC的一个法向量，1AC(3,0,4),CC(0,6,0).=--=-由1n AC0,3x+4z=0-6y=0.n CC0,⎧⋅=-⎧⎪⎨⎨⋅=⎩⎪⎩，可得令x1=，则3y0,z4==-.所以3n(1,0,)4=-.从而CE n8cos CE n525|CE||n|⋅〈⋅〉==⋅.因为二面角1C AC D--为锐角，所以二面角1C AC D--的余弦值为85.20．如图，已知正方体ABCD—A1B1C1D1，过BD1的平面分别交棱AA1和棱CC1于E、F两点。

(1）求证：A1E=CF；(2）若E、F分别是棱AA1和棱CC1的中点，求证：平面1EBFD⊥平面BB1D1D。

【答案】（1）由题知，平面EBFD 1与平面BCC 1B 1交于BF 、与平面ADD 1A 交于ED 1又平面BCC 1B 1//平面ADD 1A 1∴D 1E//BF 同理BE//D 1F∴四边形EBFD 1为平行四边形 ∴D 1E=BF ∵A 1D 1==CB ，D 1E=BF ，∠D 1A 1E=∠BCF=90° ∴11Rt A D E ∆≌Rt △CBF ∴A 1E=CF(2）∵四边形EBFD 1是平行四边形。

AE=A 1E ，FC=FC 1， ∴Rt △EAB ≌Rt △FCB ，∴BE=BF ，故四边形EBFD 1为菱形。

连结EF 、BD 1、A 1C 1。

∵四边形EBFD 1为菱形，∴EF ⊥BD 1， 在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，有B 1D 1⊥A 1C 1，B 1D ⊥A 1A ∴B 1D 1⊥平面A 1ACC 1。

又EF ⊂平面A 1ACC 1，∴EF ⊥B 1D 1。

又B 1D 1∩BD 1=D 1，∴EF ⊥平面BB 1D 1D 。

又EF ⊂平面EBFD 1，故平面EBFD 1⊥平面BB 1D .21．四面体D-ABC,中，AB=BC,在侧面DAC 中，中线AN ⊥中线DM ，且DB ⊥AN (1）求证：平面ACD ⊥平面ABC ；(2）若AN=4，DM=3，BD=5，求四面体D-ABC 的体积。

【答案】(1)DB AN DM AN ⊥⊥, 且D DM DB =⋂ BM AN BDM AN ⊥∴⊥∴,平面 又BC AB =且M 为AC 中点 ABC BM ACD BM 平面平面⊂⊥∴, ACD ABC 平面平面⊥∴ (2)过D 作E AC DE 于⊥,设O DM AN =⋂ ACD ABC 平面平面⊥ ABC DE 平面⊥∴37322=+=OM AO AM 则3732=AC又7324=⋅=AM AO DM DE ,3734437322121=⨯⨯=⋅=∆BM AC S ABC 31=-ABC D V 31=⋅∆DE S ABC ⨯⨯37343327324= 22．已知四边形ABCD 满足AD ∥BC ，12BA AD DC BC a ====，E 是BC 的中点，将BAE ∆沿着AE 翻折成1B AE ∆，使面1B AE ⊥面AECD ，F 为1B D 的中点.(Ⅰ）求四棱1B AECD -的体积；(Ⅱ）证明：1B E ∥面ACF ；(Ⅲ）求面1ADB 与面1ECB 所成二面角的余弦值.【答案】（Ⅰ）取AE 的中点,M 连接1B M ，因为12BA AD DC BC a ====，ABE ∆为等边三角形，则1B M =，又因为面1B AE ⊥面AECD ，所以1B M ⊥面AECD ，所以31sin 334a V a a π=⨯⨯⨯= (Ⅱ）连接ED 交AC 于O ，连接OF ，因为AECD 为菱形，OE OD =，又F 为1B D 的中点，DE A E CF 1B所以FO ∥1B E ，所以1B E ∥面ACF(Ⅲ）连接MD ，分别以1,,ME MD MB 为,,x y z 轴 则1333(,0,0),(,,0),(,0,0),(0,,0),(0,0,)22222a a E C a A D a B a - 113333(,,0),(,0,),(,,0),(,0,)22222222a a a a a a a a EC EB AD AB ==-== 设面1ECB 的法向量(,,)v x y z '''=，30223022a x ay a x ⎧''+=⎪⎪⎨⎪''-+=⎪⎩，令1x '=，则33(1,)u =- 设面1ADB 的法向量为(,,)u x y z =，3023022a x a x az ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 令1x =，则33(1,v =- 则111333cos ,51111113333u v +-<>==++⨯++，所以二面角的余弦值为35。