0.000000
Row Slack or Surplus Dual Price
1单位时“效益”的增 量
影子价格
1 3360.000 MILK 0.000000
1.000000 48.00000 原料增加1单位, 利润增长48
TIME 0.000000 2.000000 时间增加1单位, 利润增长2
CPCT 40.00000
X3 19.20000
0.000000
2) 4x1 3x2 4x5 3x6 600
X4 0.000000 X5 24.00000
0.000000 0.000000
3) 4(x1 x5 ) 2(x2 x6 )
X6 0.000000
1.520000
Row Slack or Surplus Dual Price
x1系数范围(64,96) x2系数范围(48,72)
Row Current Allowable Allowable
MILK TIME CPCT
RHS 50.00000 480.0000 100.0000
Increase Decrease 10.00000 6.666667 53.33333 80.00000 INFINITY 40.00000
软件实现 LINGO
Objective value: Total solver iterations:
3460.800 2
2) x1 x5 x2 x6 50
3
4
Variable X1 X2
Value Reduced Cost
0.000000
1.6800001Leabharlann 8.00000.000000
约束
原料 供应
x1 x5 x2 x6 50 加工能力
3
4
条件
劳动
附加约束
4(x1 x5 ) 2(x2 x6 )
x1 x5 100 x3 0.8x5
x4 0.75 x6
时间 2x5 2x6 480 非负约束 x1, x6 0
模型求解
Global optimal solution found.
0.000000 加工能力增长不影响利润
• 35元可买到1桶牛奶，要买吗?
35 <48, 应该买！
• 聘用临时工人付出的工资最多每小时几元? 2元！
敏感性分析 (“LINGO|Ranges” )
最优解不变时目标函
Ranges in which the basis is unchanged:
数系数允许变化范围
• 30元可增加1桶牛奶，3元可增加1小时时间，应否投资？现投 资150元，可赚回多少？
• B1，B2的获利经常有10%的波动，对计划有无影响？
• 每天销售10公斤A1的合同必须满足，对利润有什么影响？
基本模型
1桶 牛奶
或
12小时
3kg A1
获利24元/kg
1kg 2小时,3元
0.8kg B1
获利44元/kg
例2 奶制品的生产销售计划 在例1基础上深加工
1桶 牛奶 或
12小时
3公斤A1 获利24元/公斤
1公斤 2小时,3元
0.8公斤B1
获利44元/公斤
8小时 4公斤A2
获利16元/公斤
50桶牛奶, 480小时
1公斤 2小时,3元
0.75公斤B2
获利32元/公斤
至多100公斤A1 制订生产计划，使每天净利润最大
时间层次 若短时间内外部需求和内部资源等不随时间变化，可 制订单阶段生产计划，否则应制订多阶段生产计划.
本节课题
例1 加工奶制品的生产计划
问 题
1桶 牛奶 或
12小时 8小时
3公斤A1 4公斤A2
获利24元/公斤 获利16元/公斤
每天： 50桶牛奶 时间480小时 至多加工100公斤A1
制订生产计划，使每天获利最大
Objective Coefficient Ranges
(约束条件不变)
Current Allowable Allowable
Variable Coefficient Increase Decrease X1 72.00000 24.00000 8.000000 X2 64.00000 8.000000 16.00000 Righthand Side Ranges
X3 19.20000
0.000000
X4 0.000000
0.000000
X5 24.00000
0.000000
X6 0.000000
1.520000
Row Slack or Surplus Dual Price
1
3460.800
1.000000
MILK 0.000000
3.160000
TIME 0.000000
• 35元可买到1桶牛奶，买吗？若买，每天最多买多少? • 可聘用临时工人，付出的工资最多是每小时几元? • A1的获利增加到 30元/公斤，应否改变生产计划？
基本 1桶
12小时 3公斤A1
模型 牛奶 或 8小时 4公斤A2
获利24元/公斤 获利16元/公斤
每天 50桶牛奶 时间480小时 至多加工100公斤A1
3x1 100
x1, x2 0
l3 : 3x1
l4 : x1 0,
目标 Max z 72 x1 64 x2
函数 z=c (常数) ~等值线
8x2 480
B
100 l4
l2 C Z=3600
l5 : x2 0 0
c l5
l3 D x1
Z=0 Z=2400
在B(20,30)点得到最优解
连续性 xi取值连续
A1,A2每公斤的获利是与相互 产量无关的常数
每桶牛奶加工A1,A2的数量,时 间是与相互产量无关的常数
加工A1,A2的牛奶桶数是实数
模型求解
图解法
Ax2
约 x1 x2 50
l1 : x1 x2 50
l1
束 12 x1 8x2 480
l2 :12 x1
条 件
32.00000
Global optimal solution found.
Objective value:
3460.800
Total solver iterations:
2
Variable
Value Reduced Cost
X1 0.000000
1.680000
X2 168.0000
0.000000
1 3360.000
1.000000
MILK 0.000000
48.00000
TIME 0.000000
2.000000
CPCT 40.00000
0.000000
20桶牛奶生产A1, 30桶生产A2，利润3360元。
结果解释
model:
Global optimal solution found.
max = 72*x1+64*x2; Objective value:
end
Row Slack or Surplus Dual Price
三
原料无剩余
种
时间无剩余
资 加工能力剩余40
1 MILK TIME CPCT
3360.000 0.000000 0.000000 40.00000
1.000000 48.00000 2.000000 0.000000
源
“资源” 剩余为零的约束为紧约束（有效约束）
2x5 2x6 480
1
3460.800
MILK 0.000000
1.000000 3.160000
3) 4x1 2x2 6x5 4x6 480
TIME 0.000000 CPCT 76.00000
3.260000 0.000000
5
0.000000
44.00000
6
0.000000
Current Allowable Allowable
Variable Coefficient Increase Decrease
X1 72.00000 24.00000 8.000000
X2 64.00000 8.000000 16.00000
Righthand Side Ranges
Row Current Allowable Allowable
MILK TIME
RHS 50.00000 480.0000
Increase 10.00000 53.33333
Decrease 6.666667 80.00000
原料最多增加10 时间最多增加53
CPCT 100.0000 INFINITY 40.00000
充分条件 !
• 35元可买到1桶牛奶, 每天最多买多少? 最多买10桶!
决策变量个数n和 约束条件个数m较大
最优解在可行域 的边界上取得
数 线性规划
学 规
非线性规划
划 整数规划
重点在模型的建立和结果的分析
4.1 奶制品的生产与销售
企业生产计划
空间层次
工厂级：根据外部需求和内部设备、人力、原料等 条件，以最大利润为目标制订产品生产计划；
车间级：根据生产计划、工艺流程、资源约束及费 用参数等，以最小成本为目标制订生产批量计划.
目标函数和约束条件是线性函数 可行域为直线段围成的凸多边形 目标函数的等值线为直线
最优解一定在凸多边 形的某个顶点取得。
模型求解
软件实现
LINGO
model: max = 72*x1+64*x2; [milk] x1 + x2<50; [time] 12*x1+8*x2<480; [cpct] 3*x1<100; end