统计学在证券投资中的应用摘要：本文较系统地介绍了统计学在证券市场中的应用，利用概率统计原理,对证券投资组合能减轻所遇风险带来的损失作了有益的讨论,并介绍了几种证券投资组合方案的选择,以及如何在多种证券中选出几种进行投资组合。

关键词：统计学证券概率统计风险规避一、序言统计学及其相关学科在证券期货交易中有什么作用呢? 据有关报道，当今华尔街最抢手的不再是传统的MBA，而是有统计背景、数理能力强的人才。

一些在美国获得统计或数学博士学位的中国留学生被华尔街录用，转眼间便当上了年薪百万美元的“白领”贵族。

如，1984年入中国科学技术大学少年班的黄沁于1988年提前毕业，赴美国麻省理工学院就读研究生，毕业后受聘到华尔街某大型证券公司工作。

在这个世界上金融证券业最发达的地方，他以统计和数学为基础，建立了自己的投资理论，现已升任该公司副总裁，主管对外投资工作。

年仅27岁的黄沁是进入华尔街金融界高层领导的少数华人之一。

华尔街取才原则的转向，从一个侧面反映出证券期货等金融业目前发展面临的挑战和未来的潮流。

证券金融交易是信息量最大，信息敏感度最强、信息变化频度最高的领域。

随着市场日趋复杂，数字已成为传递信息最直接的裁体，加上未来的经济是被网络覆盖与笼罩的数字化经济，大量的数学与统计工具将在分析研究中发挥不可或缺的重要影响。

能否把握那看似枯燥无味的数字所隐含的精微变化，成为决定未来竞争成败的关键因素之一。

近年诺贝尔经济学奖授予在期权定价方面做出开拓性贡献的经济学家和统计学家。

他们在二十多年前就探索出具有划时代意义的定价模型——布莱克.斯科尔期定价公式。

本世纪20年代开设了股票期权品种，由于采用柜台交易方式和缺乏标准化的设计合约，很难转让对冲，交易量不足称道。

1973年美国经济学家布莱克和斯科尔斯，引进概率统计上随机变量函数的一些定理和积分求值，推导出不支付红利的股票期权定价公式，从此期权有了明确科学的价格定位依据，很快形成一个完整的市场，并迅速推广到全世界，直至现在，期权占据着金融王国的重要位置。

定价公式成为整个市场运转的基础。

这个期权公式的定价思想所引发的金融革命表现在，预测远期价格成为可能，不仅使期权为指数、货币、利率、期货交易提供了全新的保值，投资手段，极大地丰富了金融市场，而且进一步推动了对各种金融产品的价值研究，提高了操作的理论水平。

由此可以推断，没有布莱克.斯科尔斯定价模型，期权就不可能发展这么快，全球金融衍生品市场也就不可能有今天的高度发达，如今国外大型金融机构在总结金融交易失利原因时，总是首先追究最初的定价是否存在漏洞和错误。

建立一个模型就摘取经济领域的桂冠这一事实，体现了经济与统计数学密不可分的关系。

据不完全统计，自1969年设立诺贝尔经济学奖以来的40多位获奖者中，著名的计量经济学家有23位，10位担任过世界计量经济学会会长，有六位直接靠计量经济的研究和应用成果获奖。

借用统计数学，将经济理论数学公式化，将经济行为定量化，已成为当今世界经济的热门课题。

有关专家指出，统计学，经济理论和数学这三者对于真正了解现代经济生活中的数量关系来说，都是必要的，但本身并非充分条件。

三者结合起来，就是力量。

数学给经济界带来新的视角，新的观念。

抽象的数学工具一旦准确地切入金融市场，就显得非常实用和有价值。

二十多年来，指导期权交易的理论—定价模型得到广大投资者的一贯遵循。

没有统计基础、不懂定价公式含义的人要想在市场有出色表现将是十分困难的。

证券金融市场的风险管理是个永恒的话题，投资者都想寻求收益回报，但又必须面对各种各样的损失可能。

市场到底存在哪些风险，如何确定风险的大小，如何才能实现收益最大化和风险最小化，历来都是受人关注的焦点和难点。

自从1952年美国学者马柯威茨运用数量方法创立证券组合理论以来，市场风险的神秘色彩逐渐淡化，不再变得那么可怕和不可驾驭。

马柯威茨组合理论的立足点是全面考虑“期望收益最大”和“不确定性(即风险)最小”。

它通过总结投资损失的概率分布和可能收益与预期收益的偏离程度(即我们统计学上的方差)，发现投资者应该同时按适当比例购买各种证券而不是一种证券，进行分散化投资，其收益才尽可能是确定的。

通过数量分析得出的这种结论，迎合了投资者避风险的需要。

风险管理能力的提高促进了基金的蓬勃发展。

在短短的几十年间，随着量化研究的不断深入，组合理论及其实际运用方法越来越完善，成为现代投资学中的主流工具。

由于马哥威茨证券组合选择理论给金融投资和管理思想带来革新，1990年他获得了诺贝尔经济学奖。

众所周知，量变引起质变。

数量关系的背后，牵扯着市场的稳定与发展。

金融业的现代化推动了统计与数理方法的应用研究，反过来，当今世界的金融管理特别是防范金融风险，也越来越要量化研究。

早在1995年9月，美国斯但福大学经济学教授刘遵义就通过实证比较，数量分析和模糊评价等方兴，预测出菲律宾、韩国、泰国、印尼和马来西亚有可能发生金融危机。

后来的事实果然如此。

这从一个侧面提醒我们，没有完整、科学的分析预测工具，就可能在国际金融竞争中蒙受重大损失。

只有加强对作为金融信息的各种变量的研究，才能提高对金融运行规律的认识，才能把握市场的发展动向。

经济理论的数学化和统计分析，使各种经济行为也越来越数量化。

在金融领域也不例外。

定价公式和组合理论地位的确立，就证明数量工具已发挥了不可磨灭的作用。

有统计显示，在西方金融市场，三分之一的人运用组合理论来投资，三分之一的人靠技术分析管理头寸，另外三分之一的人仍在坚守基础分析。

虽然运用何种手段来指导决策是投资者个人偏好、观念的问题，但组合理论和技术分析所运用的统计工具逐渐被认同，说明理性投资将成为市场的宠儿。

由此我们不难理解华尔街选才的动机。

二、本论（一）证券期货市场主观意见和直觉判断有很大的随意性，显然与现代投资决策的要求相去甚远。

对市场和价格进行定量研究，从而揭示客观存在的数量依存关系，成为投资和管理决策的一项基础工作。

用统计工具处理各种证券金融数据，可以比较全面地分析各种因素的影响力度。

其主要表现在：1结构分析：证券市场与汇率、利率变动和国民经济发展有多大的关联度；单一证券与整个市场之间如何相互影响，市场指数设计是否合理；证券与期货价格走势是否相互制约；同一类证券有没有一定的连动关系。

2价值预测：分析未来证券发行和上市价格的理论定位，确定金融衍生证券的价格，分析预测证券期货的价格走势，进行投资决策等。

3政策评价：研究市场系统风险的预警及控制，探讨不同的组合投资效果。

4理论检验：证券价格能否反映所有的信息，市场的有效性实证检验；各种技术指标的适用性和优化处理，周期效应的对比分析。

从以上可看出，量化研究有助于搞好风验管理，设计投资组合，选择交易时机，评估市场特性。

统计工具在证券金融市场的大量应用，对交易技术的升级换代，管理水平的提高做出了特殊贡献。

现在，电脑交易系统在国外大行其道，依据不同要求设计的模型软件层出不穷，只要把数据输入电脑中，投资者根据分析结果随时制订和调整投资计划。

投资者竞争的优势不再停留在信息的收集上，而是综合处理信息的能力。

谁的模型从总量上与趋势上能更合理、科学地分析市场，谁就能掌握主动。

（二）证券投资风险的规避1证券组合收益与风险的计算在证券投资中,假定对证券A投资100 元,收益的概率分布为:负收益(即损失) 30元和正收益的概率分别为1323;对证券B 也是如此,如表1所示。

表1：证券A 证券B收益(元) 概率收益(元) 概率- 3013+ 3023显然,证券A与证券B 的收益都是一个随机变量,无妨就用A, B表示,因此它们的平均收益(期望值)都是μA =μB =13×( - 30) +23×(30) =303= 10 (元)收益的风险(方差)都是σ2A =σ2B = ( - 30 - 10) 2 ×13+ (30 - 10) 2 ×23= 800假定A,B两种证券不相关:ρAB = 0,如果有资金100元,用50 元投资于证券A,另50元投资于证券B,这种投资组合相当于A和B的一个线性组合12A +12B由公式:μ = aμX + bμYσ2 = a2σ2X + b2σ2Y + 2abCov(X, Y)= a2σ2X + b2σ2Y + 2abρXYσXσY得它们的收益期望值为μ =12μA +12μB = 10 (元)风险(方差)σ2 = ( 12) 2 ×800 + ( 12) 2 ×800 + 2 ×12×12×0 ×800×800 = 400从上述结果我们看到一个重要结论:组合证券的收益不变,而风险比原来的风险减小了。

2证券投资组合方案的选择多种证券投资组合的原则是,组合期望收益愈大愈好,组合标准差越小越好。

即如果说选择证券A优于选择证券B,当且仅当: μA ≥μB , σ2A ≤σ2B而且至少有一个严格不等式成立。

但在同一证券市场中,一般的情形是:一种证券的平均收益愈大,收益的方差(风险)也愈大。

因此,上述选择的准则似乎没有什么实用价值,然而,考虑到均值和方差之间的抵换作用,就可以发现它的潜在价值。

什么是抵换作用呢? 看下面的例子：假如证券A 和证券B 的标准差及均值分别是( 0. 2, 0. 2)和(0. 3, 0.10) 。

若按比例x1 , ( 1 - x1 ) (其中0≤x1 ≤1)购买证券A 和B,这种证券组合的平均收益将是μ = x1μA + (1 - x1 )μB方差σ2 = x 21σ2A + (1 - x1 ) 2σ2B + 2x1 (1 - x1 )ρABσAσB假定ρAB = 0. 20,按不同的x1 ( 7个) ,可得7个投资方案的期望收益和标准差,如表2所示：表2投资组合方案搭配比例期望收益标准差①100%A 0. 20 0. 20②100%B 0. 10 0. 30③80%A, 20%B 0. 18 0. 1613④20%A, 80%B 0. 12 0. 0506⑤60%A, 40%B 0. 16 0. 1230⑥40%A, 60%B 0. 14 0. 0854⑦50%A, 50%B 0. 15 0. 1040从表2中,可以看到均值和方差之间的抵换作用。

把这七个投资方案给绘入以σ为横坐标,μ为纵坐标的坐标系中,得到一条曲线,事实上，此曲线就是当x1 在( 0, 1)区间上连续变化时,所得的曲线,称为A、B 组合的有效前沿,投资者可根据自己的偏好,在有效前沿上选择投资。

对于不同的ρAB ,可得到不同的曲线,也就是可以得到不同的3相关系数对证券组合风险的影响相关系数是反映两个随机变量之间共同变动程度的相关关系数量的表示。