(B)(yt ) (B)at (B) 11B pBp, (B) 11B qBq,
其中{ a t } 是白噪声
E(at)0, E(at2)2,
EA模型的平稳性条件
如果 (z) 0 , fo r|z| 1，那么ARMA模型定义 了唯一的二阶平稳解
yt ((B B))at j 0jatj
500
600
700
800
(b) Log Range
100
200
300
400
500
600
700
800
估计的谱密度函数
0.2
0.18
0.16
0.14
0.12
0.1
0.08
0.06
0.04
0.02
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
估计的ARMA模型
经过模型选择阶数得到
(10.9623B)(yt 4.0875)(10.7248B)at
修正的R/S统计量
1
k
k
QT
T (q) m1kaxT
(yj
j1
yT
)
min 1kT
(yj
j1
yT );
2
T
(q)
1
T
T
(yt
t1
yT )2
2 T
q
T
j(q) (yt
j1
t j1
yT )(ytj
yT)
q
0 2 j(q) j
j1
修正的R/S统计量的渐近分布
对于短期过程
T1/2QT V
0.0022
4. ARFIMA模型
模型的形式
分数次整合ARMA模型
(B )( 1 B )d (y t) (B )a t
或者
(1B)d(yt)ut ((B B))at
称之为I(d)过程，记为yt~A R FIM A (p,d,q)
分数次差分算子
(1B)d jBj
j0
其中
01, j
因此自相关函数绝对可和，
| k |
k
平稳过程的谱函数
谱密度函数是定义在 [ , ] 上的偶函数且
满足 R k f()eikd f()co s(k)d,
k0 , 1 , 2 ,
如果自协方差函数绝对可加，
f() 2 1k R ke i k, f(0 ) 2 1k R k
2 0.1849
AIC3743.20, BIC3761.46
ARMA(1,1)残差的Box-Ljung检验
Q(10) Q(20) Q(50)
Stat
31.4 55 4
43.5 70 1
69.4 81 8
pValu
e 0.0003
0.0017
0.0355
2. 长记忆的概念
基于自相关函数的定义
如果存在常数 0d1/2，使得
(d)(1d)j!(j1d)j1
j1d j
j
(jd) ~c (d)(j1)
j1d
当 d1/2 时该过程可逆。
平稳解的存在性
当 d 1/2时，该过程存在着平稳解，能够 写成
yt(1B)dut u k tk
k0
其中
k( d()k (kd)1)~ckd1
平稳解的自相关函数特征
对于平稳的情况，自相关函数满足
ARMA模型的谱密度函数
f
*( )
2 a
2
(ei ) (ei )
2
,
;
于是
f
*(0)
2 a
(1)
2
0
2 (1)
ARMA模型的估计
条件极大似然估计； 极大似然估计； 最小二乘估计；
单位根过程
如果 (1) 0 ，那么 { y t } 称为单位 根过程，此时为非平稳过程。
比如如下的I(1)过程：
模拟分数次白噪声的数据
(1 B)0.3 yt at ,
at ~ i.i.d .N (0,1)
ARFIMA模型的估计
条件极大似然估计； 极大似然估计； 非线性最小二乘估计； Baillie (1996)
对对数全距序列的估计
(1B)0.4403(yt 4.0173) (10.1646B)at
2
0.1826
AIC1193.711, BIC1211.972
对残差的检验
Stat
Q(10) Q(20) Q(50) Q(100)
6.181 4
17.22 65
45.45 11
98.95 63
q=14
1.425 2
Newey-West 1.410
(1994)
1
p-Value 0.7998 0.6382 0.6562 0.5107 0.2452 0.2607
其中V是定义在[0,1] 上的布朗桥的全距
E(V) /21.25 Std(V) (3)/60.27
对长记忆性的判断
对于长记忆过程
T1/2QT p
因此利用该统计量可以对长记忆过程进 行单边的检验。
对数全距序列的修正的R/S分析
q=14 Newey-West (1994) Andrew(1991)
Kwitkowski-Phillips-Schmidt-Shin（KPSS）检 验 (Kwitkowski et al. 1992)；
上证指数日全距序列 （1997.01.03-2010.06.18)
0.12
0.1
0.08
0.06
0.04
0.02
0 1997
1999
2002
2005
2007
2010
根据回归方法得到对Hurst指数的估计。
对对数全距序列的R/S分析
7.5
7
6.5
6
5.5
5
4.5
4
3.5
3
4
5
6
7
8
9
对应的斜率估 计为0.8987，
因此d 的估计 为0.3987
R/S分析方法的不足
R/S分析方法其实对时间序列当中的短程 记忆比较敏感，模拟结果显示，即便对 于自回归系数为0.3的AR(1)过程，经R/S 方法得到的Hurst指数也有近乎一半的情 形超过1/2. （Davies & Harte, 1987; Lo 1991）
ARMA模型的可逆性条件
如果 (z) 0 , fo r|z| 1 ，那么ARMA模型 能够唯一地表达成如下的无穷阶自回归 模型的形式
at ((B B))(yt) j 0j(ytj)
ARMA模型的自相关特征
任何一个平稳的ARMA模型的自相关函数 都是呈指数递减的，即
k~ce k, a sk
p1(B)(1B)yt q(B)at, p1(z)0, for |z|1
单位根的检验
Augmented Dickey-Fuller(ADF)检验(Said & Dickey 1981);
Phillips-Perron(PP)检验(Phillips & Perron 1988)；
Perron-Ng (PN)检验(Perron & Ng 1996)；
V-stat p-Value
4.2672 6.6049 3.4653
0.0000 0.0000 0.0000
对ARMA(1,1)残差的R/S分析
V-
p-
st Valu
at
e
q=14
2.47 86
0.0002
NeweyWest (1994)
2.16 61
0.0030
Andrew(1 991)
2.20 72
取对数之后的全距序列
-2 -2.5
-3 -3.5
-4 -4.5
-5 -5.5
-6 1997
1999
2002
2005
2007
2010
单位根检验的结果
ADF-t(10) ADF-t(20) PP-t PN-t KPSS
Range -8.5557*** -5.8614*** -30.9954*** -5.4938*** 3.9385***
记忆参数d取不同值时
当 0d1/2 时对应的是二阶平稳的长记忆过 程，谱密度函数在0点奇异；
当 1/2d0时对应的过程称为反持续（antipersistent）过程，谱密度函数在0点处等于0；
当
时，对应的是短记忆ARMA过程,
谱密度d 函0 数在0点处为正数；
当
时，对应的过程非平稳，方差无
穷大d，1包/2含了单位根过程。
k~ck2 d 1 , ask
此时自相关函数不再绝对可和，
n
lim
n
|
jn
j
|
基于谱函数的定义
如果存在常数 0d1/2，使得
f()~ G 2 d , a s 0
基于自相关函数和基于谱函数的定义是 等价的。
短程关联和长程关联*
强相合过程（strong mixing）被称为短程 关联（short range dependency）过程 (Rosenblatt 1956);
总结与讨论
长记忆过程的特征与模型； 长记忆的波动率模型； 长记忆与结构变化；
一些文献
Baillie, R.T., (1996), “Long memory processes and fractional integration in
econometrics”, Journal of Econometrics,
k~ck2d1, d0
显然自相关函数呈双曲（hyperbolic）律 递减（Sowell 1992; Chung 1994)