课后训练
1．下列各点中与极坐标π57⎛⎫
⎪⎝
⎭
，表示同一个点的是( )． A ．6π57⎛⎫ ⎪⎝⎭
， B ．15π57⎛⎫ ⎪⎝⎭， C ．6π57⎛⎫- ⎪⎝⎭， D ．π57⎛⎫- ⎪⎝
⎭， 2．在极坐标系内，点π32⎛⎫ ⎪⎝⎭
，关于直线π6θ＝(ρ∈R )的对称点的坐标为( )． A ．(3,0) B ．π32⎛⎫ ⎪⎝⎭
， C ．2π33⎛⎫- ⎪⎝⎭， D ．11π36⎛⎫ ⎪⎝⎭
， 3．已知点M 的极坐标为π53⎛⎫- ⎪⎝⎭，，下列所给出的四个坐标中不能表示点M 的坐标的是( )．
A ．π53⎛⎫- ⎪⎝⎭，
B ．4π53⎛⎫ ⎪⎝⎭
， C ．2π53⎛⎫- ⎪⎝⎭， D ．5π53⎛⎫-- ⎪⎝
⎭， 4．已知A ，B 的极坐标分别是π33⎛⎫ ⎪⎝⎭，和⎝
⎛⎭⎫3，13π12，则A 和B 之间的距离等于( )．
A ．2
B ．2
C D
5．写出与直角坐标系中的点(－表示同一个点的所有点的极坐标__________．
6．直线l 过点π33A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，π36B ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，，则直线l 与极轴的夹角等于________． 7．已知A ，B 的极坐标分别为2π83⎛⎫ ⎪⎝⎭，，π63⎛⎫ ⎪⎝⎭
，，求线段AB 的中点的极坐标． 8．在极轴上求与点π4A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，的距离为5的点M 的坐标． 9．(1)将下列各点的极坐标化为直角坐标：
①π4⎫⎪⎭；②π6,3⎛⎫- ⎪⎝⎭
；③(5，π)． (2)将下列各点的直角坐标化为极坐标(ρ＞0,0≤θ＜2π)：
①；②(－1，－1)；③(－3,0)．
10．△ABC 的顶点的极坐标为4π43A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，5π6
6B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，7π86C ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，.
(1)判断△ABC 的形状；
(2)求△ABC 的面积；
(3)求△ABC 的边AB 上的高．
参考答案
1. 答案：B
2. 答案：D
3. 答案：A
解析：化为直角坐标可知，点M 在第三象限，而选项A 中的点在直角坐标系中的第四象限．
4. 答案：C
解析：A ，B 在极坐标中的位置，如图，
则由图可知13ππ5π1246AOB ∠＝－＝. 在△AOB 中，|AO |＝|BO |＝3，
所以，由余弦定理，得
|AB |2＝|OB |2＋|OA |2－2|OB |·|OA |·cos
5π6
＝9＋9－2×9×2⎛
- ⎝⎭
＝2
918(12
＋＝.
∴||AB 5. 答案：2π42π3k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，＋(k ∈Z )
解析：4ρ，
tan 2
y x θ-＝＝ ∴2π3
θ＝.
∴点(－用极坐标表示为2π42π3k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，
(k ∈Z )． 6. 答案：π4
解析：如图所示，先在图形中找到直线l 与极轴夹角(要注意夹角是个锐角)，然后根据点A ，B 的位置分析夹角大小．
因为|AO |＝|BO |＝3， πππ 366
AOB ∠＝－＝， 所以ππ5π6212
OAB ∠－＝＝， 所以π5πππ3124
ACO ∠＝－－＝. 7. 解：A ，B
两点的直角坐标分别为(－
，．
线段AB
的中点的直角坐标为12⎛- ⎝⎭
.
则ρ
tan θ-＝所以线段AB
的中点的极坐标为)θ，其中tan θ
＝－
8. 解：设M (r,0)，则M 的直角坐标为(r,0)． 因为π4A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，则A 的直角坐标为(4,4)，
5，
即r 2－8r ＋7＝0.解得r ＝1或r ＝7.
所以点M 的坐标为(1,0)或(7,0)．
9.
解：(1)①πcos 14
x
＝， πsin 14
y ＝
， 所以点π4⎫⎪⎭的直角坐标为(1,1)． ②x ＝6·cos π3⎛⎫- ⎪⎝⎭
＝3， y ＝6·sin π3⎛⎫-
⎪⎝⎭
＝
－所以点π3⎫-⎪
⎭的直角坐标为(3，－． ③x ＝5·cos π＝－5，
y ＝5·sin π＝0，
所以点(5，π)的直角坐标为(－5,0)．
(2)①ρtan
θ又因为点在第一象限， 所以π
3
θ＝.
所以点的极坐标为π3⎛⎫ ⎪⎝⎭，.
②ρ
tan θ＝1．
又因为点在第三象限， 所以5π4
θ＝.
所以点(－1，－1)的极坐标为5π4⎫⎪⎭.
③3ρ，
极角为π，
所以点(－3,0)的极坐标为(3，π)．
10. 解：4π5ππ362AOB ∠＝
－＝，7π5ππ663BOC ∠＝－＝，4π7ππ366
COA ∠＝－＝.(O 为极点)
(1)||AB |BC |＝
＝
|AC |＝
＝∴△ABC 是等腰三角形．
(2)S △AOB ＝
12|OA |·|OB |＝12，
S △BOC ＝12
|OB |·|OC |sin ∠BOC ＝ S △COA ＝12
|OC |·|OA |sin ∠COA ＝8.
∴S △ABC ＝S △BOC ＋S △COA －S △AOB ＝ 4.
(3)设AB 边上的高为h ，
则2||ABC S h AB ∆＝。