现代控制理论实验（一）线性系统的状态反馈及极点配置——09级自动化本科一．实验目的1．了解和掌握状态反馈及极点配置的原理。

2．了解和掌握利用矩阵法及传递函数法计算状态反馈及极点配置的原理与方法。

3．掌握在被控系统中如何进行状态反馈及极点配置，构建一个性能满足指标要求的新系统的方法。

二．实验原理及说明一个控制系统的性能是否满足要求，要通过解的特征来评价，也就是说，当传递函数是有理函数时，它的全部信息几乎都集中表现为它的极点、零点及传递函数。

因此若被控系统完全能控，则可以通过状态反馈任意配置极点，使被控系统达到期望的时域性能指标。

若有被控系统如图3-3-61所示，它是一个Ⅰ型二阶闭环系统。

图3-3-61 被控系统如图3-3-61所示的被控系统的传递函数为：12021S 11)1(1)(a S a S b T TS T TS S T S i i i ++=++=++=φ （3-3-51） 采用零极点表达式为：))(()(210λλφ--=S S b S （3-3-52）进行状态反馈后，如图3-3-62所示，图中“输入增益阵”L 是用来满足静态要求。

图3-3-62 状态反馈后被控系统设状态反馈后零极点表达式为：))(()(21**--=λλφS S b S （3-3-53）1．矩阵法计算状态反馈及极点配置1）被控系统被控系统状态系统变量图见图3-3-63。

图3-3-63 被控系统状态系统变量状态反馈后的被控系统状态系统变量图见图3-3-64。

图3-3-64 状态反馈后的被控系统状态系统变量图图3-3-61的被控系统的状态方程和输出方程为：状态方程：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+-=+-=••1i 1i 2211X Y u T 1X T 1X X T 1X T 1X （3-3-54）⎪⎩⎪⎨⎧=+==•∑CxY u Ax X B C B A 0），，（式中[]01,T 10B 0T 1T 1T 1A ,i i 21=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=C x x x ， 被控系统的特征多项式和传递函数分别为：12010a a b S b )(+++=S S S φB A)C(SI 1--=）（A -SI det a a )(f 0120=++=S S S 可通过如下变换（设P 为能控标准型变换矩阵）： —x P X =将∑0C B A ），，（化为能控标准型 ），，（————C B A ∑，即： ⎪⎩⎪⎨⎧=+=•——————x C Y u x A B X 式中 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==-101a -a 10AP P A — ， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡==-10B P B 1— ， []10b b CP C ==— 2）被控系统针对能控标准型），，（————C B A ∑引入状态反馈：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-=—————式中10k k k xk u ν （3-3-55）可求得对—x 的闭环系统），，—————C B k B A (-∑的状态空间表达式： 仍为能控标准型，即： ⎪⎩⎪⎨⎧=+-=•————————）（x C Y u x B k B A X 式中 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+-=-）（）（—————1100k a k a 10k B A则闭环系统），，（——————C B k B A -∑的特征多项式和传递函数分别为： ）（）（—————00112k k a k a k)B (A SI det )(f ++++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=S S S )k a (k a b S b B )k B A (SI C )(00112011k ———————）（+++++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=-S S S φ3）被控系统如图3-3-61所示：其中：05.01==T T i则其被控系统的状态方程和输出方程为：[]XY uX X 0110012020=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=期望性能指标为：超调量M P ≤20%；峰值时间t P ≤0.5秒。

2nn 22n ωS 2ξS ω)(++=ωφS 由1075.0146.0456.0%2021/2=≥⇒≤-===⇒≤=--n n n p p t eM ωωζωπζζζζπ取取可写出期望特征多项式：））（*****=++=++=210122-S (-S a a 1002.9)(P λλS S S S S 因此，根据性能指标确定系统期望极点为：⎪⎩⎪⎨⎧--=+-=jj 88.86.488.86.4*2*1λλ 令)(P )(f k S S *=，可解出能控标准型），，（————C B A ∑，使闭环极点配置到期望极点的状态反馈增益矩阵为： [][].81080a a a a k k k 110010-=--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=**———将—x P X =代入式3-3-55 ： kx x P k x k u 1-=-=-=-ννν———则原被控系统∑0C B A ），，（即对应于状态X ，引入状态反馈使闭环极点配置到期望极点的状态反馈增益矩阵为： 1P k K -=—[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1200200112001200011aAB B P 1⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-==⎥⎦⎤⎢⎣⎡==⎥⎦⎤⎢⎣⎡=*-110201202020-01P P 120020P 11- [][].81014.8110201.81080P k k K 110-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-——“增益阵”L 是用来满足静态要求,可取L=5，设计如图3-3-68所示的极点配置后系统的模拟电路。

2．传递函数法计算状态反馈量对于Ⅰ型二阶闭环系统还可以用传递函数方法简便地进行状态反馈，以达到期望性能指标。

1）被控系统如图3-3-61所示的Ⅰ型二阶闭环系统的传递函数为：12021S 11)1(1)(a S a S b T TS T TS S T S i i i ++=++=++=φ （3-3-56） 2）状态反馈后的被控系统状态反馈后系统见图3-3-65。

图3-3-65 状态反馈后系统结构图根据图3-3-65列出状态反馈后的被控系统的传递函数为：1i i 1i 1K T 1T /K 1T /1)(G -=-=S S S S ，,1T 1)(G 2+=S S注：G(S)1是一个带正反馈的闭环系统，G(S)2是一个惯性环节。

TT K K T T T K T S 1/TiTK )1TS )(K (T 1K )(G )(G 1)(G )(G )(i 12i 1i 221i 22121-+-+=++-=+=S S S S S S S φ （3-3-57） 与式（3-3-56）比对可知：TT K K TT TK T i 120i 1i 1-=-=a a1200i 0K K T T 1-==a b （3-3-58）显而言之，状态反馈后的被控系统的闭环增益降低了（K2-K1）倍，为了满足静态要求，须增加“增益阵”L ： 12K K -=L （3-3-59）根据式（3-3-58）和（3-3-59）求出K1、 K2和L ，设计状态反馈后系统的模拟电路。

3）被控系统如图3-3-61所示：其中：05.01==T T i系统传递函数为：1)1(1)(++=TS S T S i φ若期望性能指标校正为：超调量M P ≤20%；峰值时间t P ≤0.5秒。

由1075.0146.0%2021/2=≥⇒≤-==⇒≤=--n n n p p t eM ωωζωπζζζπ取可写出期望特征多项式：1002.91002)(2222++=++=S S S S S n n n ωξωωφ按图3-3-65进行状态反馈。

代入式（3-3-57）、（3-3-58）和（3-3-59）求出： 58.158.1021===L K K可设计如图3-3-68所示的状态反馈后系统的模拟电路。

三．实验内容及步骤1． 观察状态反馈前系统状态反馈前系统的模拟电路见图3-3-66所示。

图3-3-66 状态反馈前系统的模拟电路2．观察状态反馈后系统根据如图3-3-66所示的被控系统，若期望性能指标校正为：超调量M P≤20%，峰值时间t P≤0.5秒，设计状态反馈后系统的模拟电路见图3-3-68所示。

经计算要求反馈系数K1=10.9 = R1/R3，R1=200K，则R3=18.3K；反馈系数K2=-5.9=R1/R2，R1=200K，则R2=33.9K。

图3-3-68 状态反馈后系统的模拟电路四. 实验结果实验被控系统为Ⅰ型二阶闭环系统，状态反馈前的系统的阶跃响应曲线状态反馈后的系统的阶跃响应曲线系统传递函数为：期望性能指标校正为：超调量M P ≤20%；峰值时间t P ≤0.5秒。

由可写出期望特征多项式：所以反馈系数： K1=10.9 K2=-5.9要求反馈系数K1=-10.8 = R1/R2，R1=200K ，则R2=33.9K ；反馈系数K2=15.8=R1/R3，R1=200K ，则R3=18.3K从示波器上可以观察到的曲线(Mp ＜20%，tp=0.36S)。

很明显，经过状态反馈后，系统的超调和峰值时间满足期望性能指标。

1)1(1)(++=TS S T S i φ1075.0146.0%2021/2=≥⇒≤-==⇒≤=--n n n p p t e M ωωζωπζζζπ取1002.91002)(2222++=++=S S S S S n n n ωξωωφ。