《双曲线》练习题一、选择题：1．已知焦点在x 轴上的双曲线的渐近线方程是y ＝±4x ，则该双曲线的离心率是( A )2．中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的实轴与虚轴相等，一个焦点到一条渐近线的距离为，则双曲线方程为（ B ）A ．x 2﹣y 2=1 B ．x 2﹣y 2=2 C ．x 2﹣y 2=D ．x 2﹣y 2=3．在平面直角坐标系中，双曲线C 过点P （1，1），且其两条渐近线的方程分别为2x+y=0和2x ﹣y=0，则双曲线C 的标准方程为（ B ）A ．B ．C ．或D ．4.已知椭圆222a x ＋222b y ＝1（a ＞b ＞0）与双曲线22a x －22b y ＝1有相同的焦点，则椭圆的离心率为（ A ） A ．22B ．21C ．66D ．365．已知方程﹣=1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是（ A ）A ．（﹣1，3）B ．（﹣1，）C ．（0，3）D ．（0，）6．设双曲线=1（0＜a ＜b ）的半焦距为c ，直线l 过（a ，0）（0，b ）两点，已知原点到直线l 的距离为，则双曲线的离心率为（ A ）A ．2B ．C ．D ．7．已知双曲线22219y x a-=的两条渐近线与以椭圆221259y x +=的左焦点为圆心、半径为165 的圆相切，则双曲线的离心率为（ A ）A ．54B ．53C ．43 D ．658．双曲线虚轴的一个端点为M ，两个焦点为F 1、F 2，∠F 1MF 2＝120°，则双曲线的离心率为( B )9．已知双曲线221(0,0)x y m n m n-=>>的一个焦点到一条渐近线的距离是2，一个顶点到它的一条渐近线的距离为613，则m 等于( D ) A ．9 B ．4 C ．2 D ．,310．已知双曲线的两个焦点为F 1(－10，0)、F 2(10，0)，M 是此双曲线上的一点，且满足12120,||||2,MF MF MF MF ==u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r g g 则该双曲线的方程是( A )－y 2＝1 B ．x 2－y 29＝1 －y 27＝1－y 23＝111．设F 1，F 2是双曲线x 2－y 224＝1的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且3|PF 1|＝4|PF 2|，则△PF 1F 2的面积等于( C )A ．4 2B ．8 3C ．24D ．4812．过双曲线x 2－y 2＝8的左焦点F 1有一条弦PQ 在左支上，若|PQ |＝7，F 2是双曲线的右焦点，则△PF 2Q 的周长是( C )A ．28B ．14－8 2C ．14＋8 2D ．8213．已知双曲线﹣=1（b ＞0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A ，B ，C ，D 四点，四边形ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为（ D ） A ．﹣=1 B ．﹣=1 C ．﹣=1 D ．﹣=114．设双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，以F 2为圆心，|F 1F 2|为半径的圆与双曲线在第一、二象限内依次交于A ，B 两点，若3|F 1B|=|F 2A|，则该双曲线的离心率是（ C ） A ． B ． C ．D ．215．过双曲线1222=-y x 的右焦点作直线l 交双曲线于A 、B 两点，若|AB|=4，则这样的直线共有（ C ）条。

A ．1 B ．2 C ．3 D ．416．已知双曲线C ：﹣=1（a ＞0，b ＞0），以原点为圆心，b 为半径的圆与x 轴正半轴的交点恰好是右焦点与右顶点的中点，此交点到渐近线的距离为，则双曲线方程是（ C ）A ．﹣=1B ．﹣=1C ．﹣=1D ．﹣=117．如图，F 1、F 2是双曲线=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，过F 1的直线l 与双曲线的左右两支分别交于点A 、B ．若△ABF 2为等边三角形，则双曲线的离心率为（ B ） A ．4B ．C ．D ．18．如图，已知双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的左右焦点分别为F 1，F 2，|F 1F 2|=4，P 是双曲线右支上的一点，F 2P 与y 轴交于点A ，△APF 1的内切圆在边PF 1上的切点为Q ，若|PQ|=1，则双曲线的离心率是（B ） A ．3 B ．2C ．D ．19．已知点(3,0)M -，(3,0)N ，(1,0)B ，动圆C 与直线MN 切于点B ，过M 、N 与圆C 相切的两直线相交于点P ，则P 点的轨迹方程为( B )A ．221(1)8y x x -=<- B ．221(1)8y x x -=>C ．1822=+y x （x > 0）D ．221(1)10y x x -=> 20.已知椭圆1C 与双曲线2C 有共同的焦点)0,2(1-F ，)0,2(2F ，椭圆的一个短轴端点为B ，直线B F 1与双曲线的一条渐近线平行，椭圆1C 与双曲线2C 的离心率分别为21,e e ， 则21e e +取值范围为（ D ） A.),2[+∞ B. ),4[+∞ C.),4(+∞ D. ),2(+∞21.已知双曲线的顶点与焦点分别是椭圆)0(12222>>=+b a by ax 的焦点与顶点，若双曲线的两条渐近线与椭圆的交点构成的四边形恰为正方形，则椭圆的离心率为( D )A ．31B ．21C ．33D ．2222.双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>过其左焦点F 1作x 轴的垂线交双曲线于A ，B 两点，若双曲线右顶点在以AB为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围为( A ) A ．（2，+∞）B ．（1，2）C ．（32，+∞） D ．（1，32） 23.已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右焦点F ，直线c a x 2=与其渐近线交于A ，B两点，且△ABF 为钝角三角形，则双曲线离心率的取值范围是（ D ） A. （∞+，3） B. （1，3） C. （∞+，2）D. （1，2）24．我们把离心率为e ＝5＋12的双曲线x 2a 2－y2b2＝1(a >0，b >0)称为黄金双曲线．给出以下几个说法：①双曲线x 2－2y25＋1＝1是黄金双曲线；②若b 2＝ac ，则该双曲线是黄金双曲线； ③若∠F 1B 1A 2＝90°，则该双曲线是黄金双曲线； ④若∠MON ＝90°，则该双曲线是黄金双曲线． 其中正确的是( D)A ．①② B．①③ C ．①③④ D．①②③④ 二、填空题：25．如图，椭圆①，②与双曲线③，④的离心率分别为e 1，e 2，e 3，e 4，其大小关系为__ ___ e 1<e 2<e 4<e 3___． 26．已知双曲线x 2－y 23＝1的左顶点为A 1，右焦点为F 2，P 为双曲 线右支上一点，则PA 1u u u r ·PF 2u u u u r的最小值为________．－227．已知点P 是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1上除顶点外的任意一点，F 1、F 2 分别为左、右焦点，c为半焦距，△PF 1F 2的内切圆与F 1F 2切于点M ，则|F 1M |·|F 2M |＝__ ______. b 228．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1(－c,0)、 F 2(c,0)．若双曲线上存在点P ，使sin∠PF 1F 2sin∠PF 2F 1＝ac ，则该双曲线的离心率的取值范围是_____ (1，2＋1)29.已知双曲线x 2﹣=1的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 为双曲线右支上一点，点Q 的坐标为（﹣2，3），则|PQ|+|PF 1|的最小值为 ．7 三、解答题：30．已知曲线C ：y 2λ＋x 2＝1.(1) 由曲线C 上任一点E 向x 轴作垂线，垂足为F ，动点P 满足3FP EP =u u u r u u u r，求点P 的轨迹．P 的轨迹可能是圆吗请说明理由；(2) 如果直线l 的斜率为2，且过点M (0，－2)，直线l 交曲线C 于A 、B 两点，又92MA MB =-u u u r u u u r g ，求曲线C的方程．31．已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为()2,0，右顶点为()3,0.（Ⅰ）求双曲线C 的方程（Ⅱ）若直线:2=+l y kx 与双曲线恒有两个不同的交点A 和B 且2•>u u u r u u u rOA OB （其中O 为原点），求k 的取值范围32.已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0)，实轴长为2 3.(1)求双曲线C 的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 左支交于A 、B 两点，求k 的取值范围； (3)在(2)的条件下，线段AB 的垂直平分线l 0与y 轴交于M (0，m )，求m 的取值范围．33.已知椭圆C ：+=1（a ＞b ＞0）的离心率为，椭圆C 与y 轴交于A 、B 两点，|AB|=2．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知点P 是椭圆C 上的动点，且直线PA ，PB 与直线x=4分别交于M 、N 两点，是否存在点P ，使得以MN 为直径的圆经过点（2，0）若存在，求出点P 的横坐标；若不存在，说明理由．30.已知曲线C ：y 2λ＋x 2＝1.(1)由曲线C 上任一点E 向x 轴作垂线，垂足为F ，动点P 满足3FP EP =u u u r u u u r，求点P 的轨迹．P 的轨迹可能是圆吗请说明理由； (2)如果直线l 的斜率为2，且过点M (0，－2)，直线l 交曲线C 于A 、B 两点，又92MA MB =-u u u r u u u r g ，求曲线C 的方程．解：(1)设E(x 0，y 0)，P(x ，y)，则F(x 0,0)，∵3,FP EP =u u u r u u u r，∴(x－x 0，y)＝3(x －x 0，y －y 0)．∴00,2.3x x y y =⎧⎪⎨=⎪⎩代入y 20λ＋x 20＝1中，得4y 29λ＋x 2＝1为P 点的轨迹方程．当λ＝49时，轨迹是圆．(2)由题设知直线l 的方程为y ＝2x －2，设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，联立方程组222,2 1.y x y x λ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩消去y 得：(λ＋2)x 2－42x ＋4－λ＝0.∵方程组有两解，∴λ＋2≠0且Δ>0， ∴λ>2或λ<0且λ≠－2，x 1·x 2＝4－λλ＋2，而MA MB u u u r u u u r g ＝x 1x 2＋(y 1＋2)·(y 2＋2)＝x 1x 2＋2x 1·2x 2＝3x 1x 2＝3(4－λ)λ＋2，∴4－λλ＋2＝－32，解得λ＝－14.∴曲线C 的方程是x 2－y 214＝1. 31．(本题满分12分) 已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为()2,0，右顶点为).（Ⅰ）求双曲线C 的方程（Ⅱ）若直线:=l y kx A 和B 且2•>u u u r u u u rOA OB （其中O 为原点），求k 的取值范围解（1）设双曲线方程为22221-=x y a b由已知得2==a c ，再由2222+=a b ，得21=b故双曲线C 的方程为2213-=x y . （2）将=y kx 2213-=x y得22(13)90---=k x 由直线l与双曲线交与不同的两点得()222213036(13)36(1)0⎧-≠⎪⎨∆=+-=->⎪⎩k k即213≠k 且21<k . ① 设(),,(,),A A A B A x y B x y ，则229,1313-+==--A B A B x y x y k k ，由2•>u u u r u u u r OA OB 得2+>A B A B x x y y ，而2((1)()2+=+=+++A B A B A B A b A B A B x x y y x x kx kx k x x x x22222937(1)2131331-+=++=---k k k k k k .于是2237231+>-k k ，即2239031-+>-k k 解此不等式得21 3.3<<k ② 由①+②得2113<<k故的取值范围为(1,⎫-⎪⎪⎝⎭U32. 已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0)，实轴长为2 3.(1)求双曲线C 的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 左支交于A 、B 两点，求k 的取值范围； (3)在(2)的条件下，线段AB 的垂直平分线l 0与y 轴交于M (0，m )，求m 的取值范围．解：(1)设双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)．由已知得：a ＝3，c ＝2，再由a 2＋b 2＝c 2，∴b 2＝1， ∴双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1.(2)设A (x A ，y A )、B (x B ，y B )，将y ＝kx ＋2代入x 23－y 2＝1，得：(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0.由题意知⎩⎪⎨⎪⎧1－3k 2≠0，Δ＝361－k 2>0，x A ＋x B ＝62k 1－3k 2<0，x A x B ＝－91－3k 2>0，解得33<k <1. ∴当33<k <1时，l 与双曲线左支有两个交点． (3)由(2)得：x A ＋x B ＝62k1－3k2，∴y A ＋y B ＝(kx A ＋2)＋(kx B ＋2)＝k (x A ＋x B )＋22＝221－3k 2.∴AB 的中点P 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫32k 1－3k 2，21－3k 2. 设直线l 0的方程为：y ＝－1kx ＋m ，将P 点坐标代入直线l 0的方程，得m ＝421－3k 2.∵33<k <1，∴－2<1－3k 2<0.∴m <－2 2.∴m 的取值范围为(－∞，－22)． 33.已知椭圆C ：+=1（a ＞b ＞0）的离心率为，椭圆C 与y 轴交于A 、B 两点，|AB|=2．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知点P是椭圆C上的动点，且直线PA，PB与直线x=4分别交于M、N两点，是否存在点P，使得以MN 为直径的圆经过点（2，0）若存在，求出点P的横坐标；若不存在，说明理由．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得e==，2b=2，即b=1，又a2﹣c2=1，解得a=2，c=，即有椭圆的方程为+y2=1；（Ⅱ）设P（m，n），可得+n2=1，即有n2=1﹣，由题意可得A（0，1），B（0，﹣1），设M（4，s），N（4，t），由P，A，M共线可得，k PA=k MA，即为=，可得s=1+，由P，B，N共线可得，k PB=k NB，即为=，可得s=﹣1．假设存在点P，使得以MN为直径的圆经过点Q（2，0）．可得QM⊥QN，即有•=﹣1，即st=﹣4．即有[1+][﹣1]=﹣4，化为﹣4m2=16n2﹣（4﹣m）2=16﹣4m2﹣（4﹣m）2，解得m=0或8，由P，A，B不重合，以及|m|＜2，可得P不存在．。