致，但为了运算方便，理论推导和研究通常用方差。
第十讲 方差、相关系数与切比雪夫不等式
2.方差计算 由方差定义：D( X ) E{X E( X )2 } E[g( X )]
第十讲 方差、相关系数与切比雪夫不等式
用均值计算方差定理:
证明： D( X ) EX E( X )2 E X 2 2XE( X ) E( X ) 2
b
1
a
,
a x b;
0,
其 它.
E(X)
b a
b
x
a
dx
a
2
b
.
E X2
b a
x2 ba
dx
a2
ab 3
b2
D( X ) E X 2 E( X )2 a 2 ab b2 (a b)2 (b a)234 Nhomakorabea12
例题10-1-3
解
其密度函数为
f
x
e x
,
0,
x 0; 其 它.
E( X 2 ) E(Y 2 ) 2E( XY ) E 2 ( X ) E 2 (Y ) 2E( X )E(Y )
X、Y独立， D( X Y ) [E( X 2 ) E 2 ( X )] [E(Y 2 ) E 2 (Y )] 2E( X )E(Y ) 2E( X )E(Y ) D( X ) D(Y )
第十讲 方差、相关系数与切比雪夫不等式
Y g( X )时，E(Y ) E[g( X )]
g( x)P( x) g( x) f ( x)dx
x
第十讲 方差、相关系数与切比雪夫不等式
回顾： 1.原点矩 定义1 设 X 是随机变量，则称
2.中心 矩
为X 的 k 阶原点矩。
显然：v1 E( X )
E( X 2 ) 2E( X )E( X ) E( X )2 E( X 2 ) E( X )2
3.例题讲解 例题10-1-1 设随机变量
，求方差 D(X )。
解 PX m m e m 0,1, 2, .
m!
E(X)
m
m e
m0 m!
E X 2 m 2 m e e m m1 k m 1 e k 1 k
2 3
X的4阶中心矩为 4
4
4 3 1
6
2
2 1
3
4 1
4! 4
4
3! 3
1
6
2! 2
(1
)2
3( 1
)4
9
4
第十讲 方差、相关系数与切比雪夫不等式
一、方差与标准差
1.定义
背景：在统计应用中，二阶中心矩的具有特殊的重要性。 因为它能表达随机变量的偏离程度，这种偏离程度是均值无 法反映的。例如，某小公司有10个员工，它们的年薪分别是 （万元）25,18,36,28,16,20,29,32,41,150.其均值是39万5千 元。于是老板宣布我们公司的平均年薪39万5千元。这引起 多数员工的不满。为什么？因为数据中有150万元是老板自 己的年薪，其它9人中有6人偏离均值很远。本例说明，均值 只代表平均收入，却不能表达数据的偏离度。在中心矩概念 中，二阶中心矩表述了变量与其均值之间的差的程度，为此 将它作为衡量变量偏离均值的专有量值，并命名为方差。
E
X E(X)
( X )
EX E( X )
(X)
E(X) E(X)
(X)
0
D(Z )
D
X
E(X
(X)
)
DX
E( X )
2(X )
D( X )
2(X)
2(X ) 2(X )
1
X 的标准化的随机变量。
第十讲 方差、相关系数与切比雪夫不等式
例10-1-5. 二项分布均值与方差
同理可证：D( X Y ) D( X ) D(Y )
口诀：方差：常数为零系数提平方，独立加减都算加 利用定理3，用归纳法可以证明以下推论
第十讲 方差、相关系数与切比雪夫不等式
例10-1-4. 均值为0,方差为1的特殊分布 设随机变量X 的数学期望为E( X ) ，标准差为
设随机变量
证明：
证
E(Z)
第十讲 方差、相关系数与切比雪夫不等式
离差与偏差定义 随机变量X 与其数学期望的差叫做随机变量X的离差。即
离差的平方的数学期望叫做随机变量X 的方差,记作
标准差 随机变量X 的方差的算术平方根叫做随机变量X 的 标准差或均方差，记作σ(X)，即 或
说明：1..D(X)非负，且D(X)即是二阶中心距 2.实际应用中常用标准差，它与随机变量的量纲一
定义2 设X 是随机变量，则称
为X 的 k 阶中心矩。
3.原点矩与中心矩的关系
1 E[X E( X )] 0
2
3
2
2 1
3 3
2
1
2
3 1
4
4
4 3 1
6
2
2 1
3
4 1
第九讲 均值、矩与方差
例题
设随机变量X服从e( )，求X的k阶原点矩及三阶、四阶中心矩
解
X的 概
率密度
为f (
x)
m0 m!
m1 m 1 !
k 0
k!
e k1
k 1
k 1
!
k 0
k
k!
e
e
e
1
D( X ) E X 2 E( X )2 1 2
第十讲 方差、相关系数与切比雪夫不等式
例题10-1-2 设随机变量
，求方差 D(X )。
解
其密度函数为
f
x
第十讲 方差、相关系数与切比雪夫不等式
E(
X
)
0
x
e x
dx
1
E X 2
x 2
0
e x
dx
tx 1
2
t 2e t
0
dt
3
2
2
2
D( X ) E
4.方差性质
X2
E(X )2
2
2
1
2
1
2
1.定理（1、2）
证明 DaX b E aX b EaX b 2
E aX b aE( X ) b 2 E aX E( X ) 2
e x
,
x0
0,
x0
X的k阶 原 点 矩 为
k ( X )
x k e xdx x k e x dx
0
0
1 xt
k
t k e t dt
0
(k 1) k
k! k
1
2
6
v1 , v2 2 , v3 3
X的3阶中心矩为3
3
3 2 1
2
3 1
3! 3
3
2! 2
1
2( 1 )3
E a2X E( X )2 a2 E X E( X ) 2 a2D( X )
第十讲 方差、相关系数与切比雪夫不等式
定理3
若X、Y独立，则D( X Y ) D( X ) D(Y )
证 明 ：D( X Y ) E[(X Y )2 ]－[E( X Y )]2
E( X 2 Y 2 2XY ) [E( X ) E(Y )]2