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第二章 数学单元测试

第二章 单元测试一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.每小题中只有一项符合题目要求)1.已知A ={0,1},B ={-1,0,1},f 是从A 到B 的映射,则满足f (0)>f (1)的映射有( )A .3个B .4个C .5个D .2个答案 A解析 当f (0)=-1时,f (1)能够是0或1,则有2个映射. 当f (0)=0时,f (1)=1,则有1个映射. 2.函数f (x )=11-x+lg(1+x )的定义域是( )A .(-∞,-1)B .(1,+∞)C .(-1,1)∪(1,+∞)D .(-∞,+∞)答案 C解析 由⎩⎨⎧1-x ≠0,1+x >0,得x >-1且x ≠1,即函数f (x )的定义域为(-1,1)∪(1,+∞).3.(2012·天津文)下列函数中,既是偶函数,又在区间(1,2)内是增函数的为( )A .y =cos2x ,x ∈RB .y =log 2|x |,x ∈R 且x ≠0C .y =e x -e -x2,x ∈R D .y =x 3+1,x ∈R 答案 B解析 逐项验证即可.4.设奇函数f (x )在(0,+∞)上为单调递减函数,且f (2)=0,则不等式3f (-x )-2f (x )5x≤0的解集为( )A .(-∞,-2]∪(0,2]B .[-2,0]∪[2,+∞)C .(-∞,-2]∪[2,+∞)D .[-2,0)∪(0,2]答案 D解析 本题主要考查函数的奇偶性、单调性及利用图像解不等式,根据已知条件可画出f (x )的草图如图所示.不等式3f (-x )-2f (x )5x ≤0⇔-5f (x )5x ≤0⇔f (x )x ≥0⇔⎩⎨⎧ x >0,f (x )≥0或⎩⎨⎧x <0,f (x )≤0.由图可知不等式的解集为[-2,0)∪(0,2].故选D.5.函数f (x )=1+log 2x 与g (x )=21-x 在同一直角坐标系下的图像大致是( )答案 C解析 f (x )=1+log 2x 的图像可由f (x )=log 2x 的图像上移1个单位得到,且过点(12,0)、(1,1),由指数函数性质可知g (x )=21-x 为减函数,且过点(0,2),故选C.6.函数f (x )=x 2+|x -2|-1(x ∈R )的值域是( )A .[34,+∞) B .(34,+∞) C .[-134,+∞) D .[3,+∞)答案 A解析 (1)当x ≥2时,f (x )=x 2+x -3,此时对称轴为x =-12,f (x )∈[3,+∞). (2)当x <2时,f (x )=x 2-x +1,此时对称轴为x =12,f (x )∈[34,+∞). 综上知,f (x )的值域为[34,+∞).7.已知函数f (x )=9x -m ·3x +m +1对x ∈(0,+∞)的图像恒在x 轴上方,则m 的取值范围是( )A .2-22<m <2+2 2B .m <2C .m <2+2 2D .m ≥2+2 2答案 C解析 令t =3x ,即x =log 3t ,则问题转化为函数y =t 2-mt +m +1在(1,+∞)上的图像恒在x 轴的上方,即Δ=(-m )2-4(m +1)<0或⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0,m2<1,1-m +1+m >0,解得m <2+2 2.8.函数f (x )=1x -6+2x 的零点一定位于区间 ( )A .(3,4)B .(2,3)C .(1,2)D .(5,6)答案 B解析 f (1)=-3<0,f (2)=-32<0,f (3)=13>0,故选B.9.已知函数f (x )=x 2+ax +b -3(x ∈R )图像恒过点(2,0),则a 2+b 2的最小值为( )A .5 B.15 C .4 D.14答案 B解析 ∵f (x )=x 2+ax +b -3的图像恒过点(2,0),∴4+2a +b -3=0,即2a +b +1=0,则a 2+b 2=a 2+(1+2a )2=5a 2+4a +1=5(a +25)2+15,∴a 2+b 2的最小值为15.10.已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数,且对任意的x ∈R ,都有f (x +2)=f (x ).当0≤x ≤1时,f (x )=x 2.若直线y =x +a 与函数y =f (x )的图像在[0,2]内恰有两个不同的公共点,则实数a 的值是( )A .0B .0或-12 C .-14或-12 D .0或-14答案 D解析 ∵f (x +2)=f (x ),∴T =2.又0≤x ≤1时,f (x )=x 2,可画出函数y =f (x )在一个周期内的图像如图.显然a =0时,y =x 与y =x 2在[0,2]内恰有两不同的公共点.另当直线y =x +a 与y =x 2(0≤x ≤1)相切时也恰有两个公共点,由题意知y ′=(x 2)′=2x =1,∴x =12.∴A (12,14),又A 点在y =x +a 上,∴a =-14,∴选D.二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分,把答案填在题中横线上)11.若函数f (x )=x(2x +1)(x -a )为奇函数,则a =________.答案 12 解析 ∵f (x )=x(2x +1)(x -a )是奇函数,利用赋值法,∴f (-1)=-f (1). ∴-1(-2+1)(-1-a )=-1(2+1)(1-a ).∴a +1=3(1-a ),解得a =12. 12.已知f (x )=,f (lg a )=10,则a 的值为________.答案解析=10,两边取10为底的对数,得(lg a-12)lg a=12,解得lg a=1或lg a=-12,故a=10或.13.已知偶函数y=f(x)满足条件f(x+1)=f(x-1),且当x∈[-1,0]时,f(x)=3x+49,则f(log135)的值等于________.答案 1解析由f(x+1)=f(x-1),知f(x+2)=f(x),函数y=f(x)是以2为周期的周期函数.因为log135∈(-2,-1),log135+2=log1359∈(0,1),又f(x)为偶函数且x∈[-1,0],f(x)=3x+4 9,所以当x∈[0,1]时,f(x)=3-x+4 9.所以f(log135)=f(log135+2)=f(log1359)=+49=+49=59+49=1.14.里氏震级M的计算公式为:M=lg A-lg A0,其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅,A0是相对应的标准地震的振幅.假设在一次地震中,测震仪记录的最大振幅是1 000,此时标准地震的振幅为0.001,则此次地震的震级为______级;9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的______倍.答案6,10 000解析由lg1 000-lg0.001=6,得此次地震的震级为6级.因为标准地震的振幅为0.001,设9级地震最大振幅为A9,则lg A9-lg0.001=9解得A9=106,同理5级地震最大振幅A5=102,所以9级地震的最大振幅是5级的10 000倍.15.如图中的实线部分表示函数y=f(x)的图像,它是由y=log2x的图像经过一系列变换而得到的,虚线表示变换过程,则f(x)=________.答案|log2|x-1||16.对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点,且有如下零点存有定理:如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图像是连续持续的一条曲线,并且有f(a)·f(b)<0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点.给出下列命题:①若函数y=f(x)在[a,b]上是单调函数,则f(x)在[a,b]上有且仅有一个零点;②函数f(x)=2x3-3x+1有3个零点;③函数y=x26和y=|log2x|的图像的交点有且只有一个;④设函数f(x)对x∈R都满足f(3+x)=f(3-x),且函数f(x)恰有6个不同的零点,则这6个零点的和为18;其中所有准确命题的序号为________.(把所有准确命题的序号都填上)答案②④解析易知①错,②对,对于④,由对称性知也对,对于③,在同一坐标系中,分别作出两函数的图像,在直线x=1左侧的那个交点十分容易发现,在其右侧有无交点呢?通过图像很难断定,下面我们利用存有零点的条件f(a)·f(b)<0来解决这个问题,两函数图像的交点的横坐标就是函数f(x)=x26-|log2x|的零点,其中f(1)=16>0,f(2)=-13<0,f(4)=23>0,所以在直线x=1右侧,函数有两个零点,一个在(1,2)内,一个在(2,4)内,故函数f(x)=x26-|log2x|共有3个零点,即函数y=x26和y=|log2x|的图像有3个交点.三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)已知函数f (x )=⎩⎨⎧(x +2)2, x <0,4, x =0,(x -2)2, x >0.(1)写出f (x )的单调区间; (2)若f (x )=16,求相对应x 的值.答案 (1)f (x )的单调增区间为(-2,0),(2,+∞),单调减区间为(-∞,-2],(0,2].(2)-6或6解析 (1)当x <0时,f (x )在(-∞,-2]上递减,在(-2,0)上递增;当x >0时,f (x )在(0,2]上递减,在(2,+∞)上递增.综上,f (x )的单调增区间为(-2,0),(2,+∞),单调减区间为(-∞,-2],(0,2].(2)当x <0时,f (x )=16,即(x +2)2=16,解得x =-6; 当x >0时,f (x )=16,即(x -2)2=16,解得x =6. 故所求x 的值为-6或6.18.(本小题满分12分)(2012·上海改编)已知函数f (x )=lg(x +1). (1)若0<f (1-2x )-f (x )<1,求x 的取值范围;(2)若g (x )是以2为周期的偶函数,且当0≤x ≤1时,有g (x )=f (x ),当x ∈[1,2]时,求函数y =g (x )的解析式.答案 (1)-23<x <13 (2)y =g (3-x ) 解析 (1)由⎩⎨⎧2-2x >0,x +1>0,得-1<x <1.由0<lg(2-2x )-lg(x +1)=lg 2-2xx +1<1,得1<2-2x x +1<10.因为x +1>0,所以x +1<2-2x <10x +10,解得-23<x <13. 由⎩⎪⎨⎪⎧-1<x <1,-23<x <13,得-23<x <13.(2)当x ∈[1,2]时,2-x ∈[0,1],所以y =g (x )=g (x -2)=g (2-x )=f (2-x )=lg(3-x ).19.(本小题满分12分)已知函数y =f (x )是定义在R 上的周期函数,周期为5,函数y =f (x )(-1≤x ≤1)是奇函数,又知y =f (x )在[0,1]上是一次函数,在[1,4]上是二次函数,且在x =2时函数取得最小值-5.(1)求f (1)+f (4)的值;(2)求y =f (x ),x ∈[1,4]上的解析式;(3)求y =f (x )在[4,9]上的解析式,并求函数y =f (x )的最大值与最小值. 答案 (1)0 (2)f (x )=⎩⎨⎧-3x , x ∈[-1,1]2x 2-8x +3, x ∈[1,4] (3)最大值为3,最小值为-5.解析 (1)∵f (-1)=-f (1)=f (-1+5)=f (4), ∴f (1)+f (4)=0.(2)设x ∈[1,4],f (x )=a (x -2)2-5,由(1)得a =2,此时f (x )=2(x -2)2-5,且f (1)=-3. 设f (1)=-3,f (0)=0,可得x ∈[-1,1],f (x )=-3x . 故f (x )=⎩⎨⎧-3x , x ∈[-1,1],2x 2-8x +3, x ∈[1,4].(3)f (x )=⎩⎨⎧-3x +15, x ∈[4,6],2(x -7)2-5, x ∈[6,9]. 得f (x )max =3,f (x )min =-5.20.(本小题满分12分)已知函数f (x )=b ·a x (其中a ,b 为常量,且a >0,a ≠1)的图像经过点A (1,6),B (3,24).(1)求f (x );(2)若不等式(1a )x +(1b )x -m ≥0在x ∈(-∞,1]时恒成立,求实数m 的取值范围.解析 (1)∵f (x )=b ·a x 图像过点A (1,6),B (3,24), ∴⎩⎨⎧b ·a =6,b ·a 3=24,又a >0且a ≠1,∴a =2,b =3,∴f (x )=3·2x .(2)由(1)知不等式(1a )x +(1b )x -m ≥0即为(12)x +(13)x -m ≥0. ∴问题转化成当x ∈(-∞,1]时m ≤(12)x +(13)x 恒成立. 令g (x )=(12)x +(13)x ,易知g (x )在(-∞,1]上为减函数. ∴g (x )≥g (1)=12+13=56. ∴m ≤56.21.(本小题满分12分)某宾馆有相同标准的床位100张,根据经验,当该宾馆的床价(即每张床每天的租金)不超过10元时,床位能够全部租出,当床价高于10元时,每提升1元,将有3张床位空闲.为了获得较好的效益,该宾馆要给床位一个合适的价格,条件是:①要方便结账,床价应为1元的整数倍;②该宾馆每日的费用支出为575元,床位出租的收入必须高于支出,而且高出得越多越好.若用x 表示床价,用y 表示该宾馆一天出租床位的净收入(即除去每日的费用支出后的收入).(1)把y 表示成x 的函数,并求出其定义域;(2)试确定该宾馆将床位定价为多少时,既符合上面的两个条件,又能使净收入最多?解析 (1)依题意有y =⎩⎨⎧100x -575(x ≤10),[100-(x -10)×3]x -575(x >10),且x ∈N *,因为y >0,x ∈N *,由⎩⎨⎧100x -575>0,x ≤10,得6≤x ≤10,x ∈N *. 由⎩⎨⎧x >10,[100-(x -10)×3]x -575>0,得10<x ≤38,x ∈N *. 所以函数为y =⎩⎨⎧100x -575(x ∈N *,且6≤x ≤10),-3x 2+130x -575(x ∈N *,且10<x ≤38), 定义域为{x |6≤x ≤38,x ∈N *}.(2)当x =10时,y =100x -575(6≤x ≤10,x ∈N *)取得最大值425元.当x >10时,y =-3x 2+130x -575,当且仅当x =-1302×(-3)=653时,y 取最大值.但x ∈N *,所以当x =22时,y =-3x 2+130x -575(10<x ≤38,x ∈N *)取得最大值833元,比较两种情况,可知当床位定价为22元时净收入最多.22.(本小题满分12分)已知函数f (x )=-x 2+2e x +m -1,g (x )=x +e 2x (x >0).(1)若g (x )=m 有实根,求m 的取值范围;(2)确定m 的取值范围,使得g (x )-f (x )=0有两个相异实根. 解析 (1)方法一 ∵g (x )=x +e 2x ≥2e 2=2e , 等号成立的条件是x =e. 故g (x )的值域是[2e ,+∞).因而只需m ≥2e ,则g (x )=m 就有实根. 方法二 作出g (x )=x +e 2x 的图像如图.可知若使g (x )=m 有实根,则只需m ≥2e. 方法三 解方程由g (x )=m ,得x 2-mx +e 2=0. 此方程有大于零的根,故⎩⎪⎨⎪⎧m 2>0,Δ=m 2-4e 2≥0,等价于⎩⎨⎧m >0,m ≥2e 或m ≤-2e ,故m ≥2e.(2)若g (x )-f (x )=0有两个相异的实根,即g (x )=f (x )中函数g (x )与f (x )的图像有两个不同的交点.作出g (x )=x +e 2x (x >0)的图像.∵f(x)=-x2+2e x+m-1=-(x-e)2+m-1+e2,其对称轴为x=e,开口向下,最大值为m-1+e2. 故当m-1+e2>2e,即m>-e2+2e+1时,g(x)与f(x)有两个交点,即g(x)-f(x)=0有两个相异实根.∴m的取值范围是(-e2+2e+1,+∞).。

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