北京国子监中学数学 二次函数中考真题汇编[解析版]
一、初三数学二次函数易错题压轴题（难）
1．如图，二次函数y＝ax2+bx+c交x轴于点A（1，0）和点B（3，0），交y轴于点C，抛物线上一点D的坐标为（4，3）
（1）求该二次函数所对应的函数解析式；
（2）如图1，点P是直线BC下方抛物线上的一个动点，PE//x轴，PF//y轴，求线段EF的最大值；
解得，m＝2或m＝3（舍去）
∴M点坐标为，（2，3）．
综上所述，满足题意的M点坐标为可以为（2，3），（ ，3），（ ，3）．
【点睛】
本题考查待定系数法求解函数解析式，二次函数和三角函数求值，三角形相似等相关知识点；同时运用数形结合和分类讨论的思想探究点在几何图形上的位置关系．
2．在平面直角坐标系中，将函数 为常数)的图象记为 ．
【点睛】
本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质，数形结合解题是关键．
5．如图1．在平面直角坐标系 中，抛物线 与 轴相交于 两点，顶点为 ，设点 是 轴的正半轴上一点，将抛物线 绕点 旋转 ，得到新的抛物线 ．
求抛物线 的函数表达式:
若抛物线 与抛物线 在 轴的右侧有两个不同的公共点，求 的取值范围．
（3）如图2，点M是线段CD上的一个动点，过点M作x轴的垂线，交抛物线于点N，当△CBN是直角三角形时，请直接写出所有满足条件的点M的坐标．
【答案】（1）y＝x2﹣4x+3；（2）EF的最大值为 ；（3）M点坐标为可以为（2，3），（ ，3），（ ，3）．
【解析】
【分析】
（1）根据题意由A、B两点坐标在二次函数图象上，设二次函数解析式的交点式，将D点坐标代入求出a的值，最后将二次函数的交点式转化成一般式形式．
∴1＜-a-3≤2，
∴-5≤a＜-4；
（4）①当a＜0时，∵ ，为保证 ，且抛物线L的对称轴为x=1，
∴就要保证 的取值范围要在[-1,3]上，
即t≥-1且t+1≤3，解得-1≤t≤2；
②当a＞0时，抛物线开口向上，t≥3或t+1≤-1，解得：t≥3或t≤-2，但会有不符合题意的点存在，故舍去，
综上所述：-1≤t≤2．
∴ ，且由（1）可得k=-3-a，
∴ ，解得a=2，k=-5，
∴L的表达式为 ；
将其表示为顶点式： ，
∴顶点坐标为(1，-5)；
（3）解析式L的顶点坐标(1，-a-3)，
∵在点C，P之间的部分与线段CP所围成的区域内（不含边界）恰有4个整点，这四个整点都在x=1这条直线上，且y的取值分别为-2、-1、0、1，
（1）当 时，设图象 上一点 ，求 的值；
（2）设图象 的最低点为 ，求 的最大值；
（3）当图象 与 轴有两个交点时，设右边交点的横坐标为 则 的取值范围是；
（4）设 ，当图象 与线段 没有公共点时，直接写出 的取值范围．
【答案】（1） 或 ；（2） ；（3） ；（4） 或
【解析】
【分析】
（1）将m=-1代入解析式，然后将点P坐标代入解析式，从而求得a的值；
（2）分m＞0和m≤0两种情况，结合二次函数性质求最值；
（3）结合二次函数与x轴交点及对称轴的性质确定取值范围；
（4）结合一元二次方程根与系数的关系确定取值范围．
【详解】
解：（1）当 时，
把 代入，得
解得 或
（2）当 时，
此时，
当 时，
∴
此时，
∴ 的最大值
综上所述， 的最大值为
（3）由题意可知：当图象G与x轴有两个交点时，m＞0
（2）如图1所示．
因点P在二次函数图象上，设P（p，p2﹣4p+3）．
∵y＝x2﹣4x+3与y轴相交于点C，
∴点C的坐标为（0，3）．
又∵点B的坐标为B（3，0），
∴OB＝OC
∴△COB为等腰直角三角形．
又∵PF//y轴，PE//x轴，
∴△PEF为等腰直角三角形．
∴EF＝ PF．
设一次函数的lBC的表达式为y＝kx+b，
又∵B（3，0）和C（0，3）在直线BC上，
，
解得： ，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3．
∴yF＝﹣p+3．
FP＝﹣p+3﹣（p2﹣4p+3）＝﹣p2+3p．
∴EF＝﹣ p2+3 p．
∴线段EF的最大值为，EFmax＝ ＝ ．
（3）①如图2所示：
若∠CNB＝90°时，点N在抛物线上，作MN//y轴，l//x轴交y轴于点E，
当抛物线顶点在x轴上时，
解得：m=0（舍去）或
由题意可知抛物线的对称轴为直线x= 且x≥3m
∴当图象G与x轴有两个交点时，设右边交点的横坐标为x2，则x2的取值范围是
（4） 或
【点睛】
本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，不等式等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．
点 在抛物线上，且 ， ，
，
，
抛物线的解析式为 ．
（3）证明：由（1）可知，点 的坐标为 ， ，点 的坐标为 ， ．
如图2，直线 的解析式为 ．
、 、 三点共线，
， ，且 ，
，
，
，即 ，
点 的坐标为 ， ．
设点 关于 轴的对称点为点 ，则点 的坐标为 ， ．
4．已知点P(2，﹣3)在抛物线L：y＝ax2﹣2ax+a+k（a，k均为常数，且a≠0）上，L交y轴于点C，连接CP．
（1）用a表示k，并求L的对称轴及L与y轴的交点坐标；
（2）当L经过(3，3)时，求此时L的表达式及其顶点坐标；
（3）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．如图，当a＜0时，若L在点C，P之间的部分与线段CP所围成的区域内（不含边界）恰有4个整点，求a的取值范围；
（2）由题意可知点P在二次函数图象上，坐标为（p，p2﹣4p+3）．又因为PF//y轴，点F在直线BC上，P的坐标为（p，﹣p+3），在Rt△FPE中，可得FE＝ PF，用纵坐标差的绝对值可求线段EF的最大值．
（3）根据题意求△CBN是直角三角形，分为∠CBN＝90°和∠CNB＝90°两类情况计算，利用三角形相似知识进行分析求解．
6．已知抛物线 过点 ．
（1）若点 也在该抛物线上，请用含 的关系式表示 ；
（2）若该抛物线上任意不同两点 、 都满足：当 时， ；当 时， ；若以原点 为圆心， 为半径的圆与抛物线的另两个交点为 、 （点 在点 左侧），且 有一个内角为 ，求抛物线的解析式；
（3）在（2）的条件下，若点 与点 关于点 对称，且 、 、 三点共线，求证： 平分 ．
（4）点M(x1，y1)，N(x2，y2)是L上的两点，若t≤x1≤t+1，当x2≥3时，均有y1≥y2，直接写出t的取值范围．
【答案】（1）k=-3-a；对称轴x＝1；y轴交点(0，-3)；（2） ，顶点坐标(1，-5)；（3）-5≤a＜-4；（4）-1≤t≤2．
【解析】
【分析】
（1）将点P(2，-3)代入抛物线上，求得k用a表示的关系式；抛物线L的对称轴为直线 ，并求得抛物线与y轴交点；
（2）首先设点 令 ，求得 ，然后设直线 的关系式为 ，由待定系数法求得BC的解析式为 ，可得 ， 的面积为 利用二次函数的性质即可求解；
（3）根据 ， ，分别设 ， ，根据点 坐标即可求出b，再与抛物线联系即可得出点M的坐标．
【详解】
将 分别代入
可解得
即抛物线的关系式为 ．
设点 令
解得
则点 ．
设直线 的关系式为 为常数且 )，
（2），如图1，
当 时， ，
， ，
当 时， 随 的增大而减小；
同理：当 时， 随 的增大而增大，
抛物线的对称轴为 轴，开口向上，
．
为半径的圆与拋物线的另两个交点为 、 ，
为等腰三角形，
又 有一个内角为 ，
为等边三角形．
设线段 与 轴交于点 ，则 ，且 ，
又 ，
， ．
不妨设点 在 轴右侧，则点 的坐标为 ， ．
四边形 可以为正方形
由题意设 ，
是抛物线 第一象限上的点解得: 来自舍去)即如图作 ， 于 ，
于
四边形 为正方形
易证
为
将 代入 得
解得: (舍去)
当 时四边形 为正方形.
【点睛】
本题考查二次函数综合题、中心对称变换、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、一元二次方程的根与系数的关系等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，难度大.
BF⊥l交l于点F．
设点N的坐标为（m，m2﹣4m+3），则点M的坐标为（m，3），
∵C、D两点的坐标为（0，3）和（4，3），
∴CD∥x轴．
又∵∠CNE＝∠NBF，∠CEN＝∠NFB＝90°，
∴△CNE∽△NBF．
∴ ＝ ，
又∵CE＝﹣m2+4m，NE＝m；NF＝3﹣m，BF＝﹣m2+4m﹣3，
∴ ＝ ，
化简得：m2﹣5m+5＝0．
解得：m1＝ ，m2＝ ．
∴M点坐标为（ ，3）或（ ，3）
②如图3所示：
当∠CBN＝90°时，过B作BG⊥CD，
∵∠NBF＝∠CBG，∠NFB＝∠BGC＝90°，
∴△BFN∽△CGB．
∵△BFN为等腰直角三角形，
∴BF＝FN，
∴0﹣（m2﹣4m+3）＝3﹣m．
∴化简得，m2﹣5m+6＝0．
3．如图，抛物线 经过 三点，已知
求此抛物线的关系式；
设点 是线段 上方的抛物线上一动点，过点 作 轴的平行线，交线段 于点 当 的面积最大时，求点 的坐标；