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梦想不会辜负每一个努力的人
2015 年广东省高考数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共 10 小题，每小题 5 分，满分 50 分）2015 年普通高等学校招生 全国统一考试（广东卷）数学（文科） 1．（5 分）若集合 M={﹣1，1}，N={﹣2，1，0}则 M∩N=（ ） A．{0．﹣1} B．{0} C．{1} D．{﹣1，1} 【分析】进行交集的运算即可． 【解答】解：M∩N={﹣1，1}∩{﹣2，1，0}={1}． 故选：C． 【点评】考查列举法表示集合，交集的概念及运算．
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（1）求 tan（α+ ）的值；
（2）求
的值．
17．（12 分）某城市 100 户居民的月平均用电量（单位：度），以[160，180）， [180，200），[200，220），[220，240），[240，260），[260，280），[280，300） 分组的频率分布直方图如图．
【分析】利用函数奇偶性的判断方法对选项分别分析选择．
【解答】解：四个选项中，函数的定义域都是 R，
对于 A，﹣x+sin（﹣2x）=﹣（x+sin2x）；是奇函数；
对于 B，（﹣x）2﹣cos（﹣x）=x2﹣cosx；是偶函数；
对于 C，
，是偶函数；
对于 D，（﹣x）2+sin（﹣x）=x2﹣sinx≠x2+sinx，x2﹣sinx≠﹣（x2+sinx）；所以是 非奇非偶的函数；
型的概率公式即可．
【解答】解：这是一个古典概型，从 5 件产品中任取 2 件的取法为
；
∴基本事件总数为 10； 设“选的 2 件产品中恰有一件次品”为事件 A，则 A 包含的基本6．
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故选：B． 【点评】考查古典概型的概念，以及古典概型的概率求法，明白基本事件和基本 事件总数的概念，掌握组合数公式，分步计数原理．
（1）求直方图中 x 的值； （2）求月平均用电量的众数和中位数； （3）在月平均用电量为，[220，240），[240，260），[260，280），[280，300） 的四组用户中，用分层抽样的方法抽取 11 户居民，则月平均用电量在[220，240） 的用户中应抽取多少户？
18．（14 分）如图，三角形 PDC 所在的平面与长方形 ABCD 所在的平面垂直， PD=PC=4，AB=6，BC=3． （1）证明：BC∥平面 PDA； （2）证明：BC⊥PD； （3）求点 C 到平面 PDA 的距离．
9．（5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知四边形 ABCD 是平行四边形， =（1，
﹣2）， =（2，1）则 • =（ ） A．5 B．4 C．3 D．2 【分析】由向量加法的平行四边形法则可求 =
的坐标，然后代入向量数
量积的坐标表示可求
【解答】解：由向量加法的平行四边形法则可得， =
=（3，﹣1）．
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5．（5 分）设△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c．若 a=2，c=2 ，cosA= ．且 b＜c，则 b=（ ） A． B．2 C．2 D．3 【分析】运用余弦定理：a2=b2+c2﹣2bccosA，解关于 b 的方程，结合 b＜c，即可 得到 b=2． 【解答】解：a=2，c=2 ，cosA= ．且 b＜c， 由余弦定理可得， a2=b2+c2﹣2bccosA， 即有 4=b2+12﹣4 × b， 解得 b=2 或 4， 由 b＜c，可得 b=2． 故选：B． 【点评】本题考查三角形的余弦定理及应用，主要考查运算能力，属于中档题和 易错题．
A．5 B．4 C．3 D．2 10．（5 分）若集合 E={（p，q，r，s）|0≤p＜s≤4，0≤q＜s≤4，0≤r＜s≤4 且 p，q，r，s∈N}，F={（t，u，v，w）|0≤t＜u≤4，0≤v＜w≤4 且 t，u，v， w∈N}，用 card（X）表示集合 X 中的元素个数，则 card（E）+card（F）=（ ） A．200 B．150 C．100 D．50
二、填空题（共 3 小题，考生作答 4 小题，每小题 5 分，满分 15 分）（一）必
做题（11～13 题）
11．（5 分）不等式﹣x2﹣3x+4＞0 的解集为
．（用区间表示）
12．（5 分）已知样本数据 x1，x2，…，xn 的均值 =5，则样本数据 2x1+1，2x2+1，…，
2xn+1 的均值为
4．（5 分）若变量 x，y 满足约束条件
，则 z=2x+3y 的最大值为（ ）
A．2 B．5 C．8 D．10 5．（5 分）设△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c．若 a=2，c=2 ，cosA= ．且
b＜c，则 b=（ ） A． B．2 C．2 D．3 6．（5 分）若直线 l1 和 l2 是异面直线，l1 在平面 α内，l2 在平面β内，l 是平面α 与平面β的交线，则下列命题正确的是（ ） A．l 与 l1，l2 都不相交 B．l 与 l1，l2 都相交 C．l 至多与 l1，l2 中的一条相交 D．l 至少与 l1，l2 中的一条相交 7．（5 分）已知 5 件产品中有 2 件次品，其余为合格品．现从这 5 件产品中任取 2 件，恰有一件次品的概率为（ ） A．0.4 B．0.6 C．0.8 D．1
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故选：D． 【点评】本题考查了函数奇偶性的判断，在定义域关于原点对称的前提下，判断 f（﹣x）与 f（x）的关系，相等就是偶函数，相反就是奇函数．
4．（5 分）若变量 x，y 满足约束条件
，则 z=2x+3y 的最大值为（ ）
A．2 B．5 C．8 D．10 【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求 z 的最大值．
6．（5 分）若直线 l1 和 l2 是异面直线，l1 在平面 α内，l2 在平面β内，l 是平面α 与平面β的交线，则下列命题正确的是（ ） A．l 与 l1，l2 都不相交 B．l 与 l1，l2 都相交 C．l 至多与 l1，l2 中的一条相交 D．l 至少与 l1，l2 中的一条相交 【分析】可以画出图形来说明 l 与 l1，l2 的位置关系，从而可判断出 A，B，C 是 错误的，而对于 D，可假设不正确，这样 l 便和 l1，l2 都不相交，这样可推出和 l1， l2 异面矛盾，这样便说明 D 正确． 【解答】解：A．l 与 l1，l2 可以相交，如图：
．
13．（5 分）若三个正数 a，b，c 成等比数列，其中 a=5+2 ，c=5﹣2 ，则
b=
．
坐标系与参数方程选做题 14．（5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴 建立极坐标系．曲线 C1 的极坐标方程为ρ（cosθ+sinθ）=﹣2，曲线 C2 的参数方程
19．（14 分）设数列 {an}的前 n 项和为 Sn，n∈N*．已知 a1=1，a2= ，a3= ，且 当 n≥2 时，4Sn+2+5Sn=8Sn+1+Sn﹣1． （1）求 a4 的值；
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（2）证明：{an+1﹣ an}为等比数列； （3）求数列{an}的通项公式． 20．（14 分）已知过原点的动直线 l 与圆 C1：x2+y2﹣6x+5=0 相交于不同的两点 A， B． （1）求圆 C1 的圆心坐标； （2）求线段 AB 的中点 M 的轨迹 C 的方程； （3）是否存在实数 k，使得直线 L：y=k（x﹣4）与曲线 C 只有一个交点？若存 在，求出 k 的取值范围；若不存在，说明理由． 21．（14 分）设 a 为实数，函数 f（x）=（x﹣a）2+|x﹣a|﹣a（a﹣1）． （1）若 f（0）≤1，求 a 的取值范围； （2）讨论 f（x）的单调性； （3）当 a≥2 时，讨论 f（x）+ 在区间 （0，+∞）内的零点个数．
8．（5 分）已知椭圆 + =1（m＞0 ）的左焦点为 F1（﹣4，0），则 m=（ ）
A．2 B．3 C．4 D．9 9．（5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知四边形 ABCD 是平行四边形， =（1， ﹣2）， =（2，1）则 • =（ ）
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2015 年广东省高考数学试卷（文科）
一、选择题（共 10 小题，每小题 5 分，满分 50 分）2015 年普通高等学校招生 全国统一考试（广东卷）数学（文科） 1．（5 分）若集合 M={﹣1，1}，N={﹣2，1，0}则 M∩N=（ ） A．{0．﹣1} B．{0} C．{1} D．{﹣1，1} 2．（5 分）已知 i 是虚数单位，则复数（1+i）2=（ ） A．2i B．﹣2i C．2 D．﹣2 3．（5 分）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ） A．y=x+sin2x B．y=x2﹣cosx C．y=2x+ D．y=x2+sinx
为
（t 为参数），则 C1 与 C2 交点的直角坐标为
．
几何证明选讲选做题
15．如图，AB 为圆 O 的直径，E 为 AB 的延长线上一点，过 E 作圆 O 的切线，
切点为 C，过 A 作直线 EC 的垂线，垂足为 D．若 AB=4．CE=2 ，则 AD=
．
三、解答题（共 6 小题，满分 80 分） 16．（12 分）已知 tanα=2．
2．（5 分）已知 i 是虚数单位，则复数（1+i）2=（ ） A．2i B．﹣2i C．2 D．﹣2 【分析】利用完全平方式展开化简即可． 【解答】解：（1+i）2=12+2i+i2=1+2i﹣1=2i； 故选：A． 【点评】本题考查了复数的运算；注意 i2=﹣1．