电位器的负载效应，一般要求
Rl 10R p
17
测速发电机－测量角速度并将它转换成电压量的装置
直流测速发电机 交流测速发电机
ω
U(t)
TG
ω
激磁绕组 ～ TG
～
永磁铁 (a)
输出绕组、相互垂直 U(t)
d (t ) U (t ) K t (t ) K t dt
图2-10 测速发电机
(Tm S 1) m (s) K1U a (s)
m ( s) K1 U a ( s) Tm S 1
由传递函数定义 B 令 U a (t ) 0
G( s)
Tm Sm (s) m (s) K 2 M c (s)
Gm( s) m ( s) K2 M c ( s) Tm S 1
B( s ) ( s p1 )(s p 2 )]s p1 A( s)
[a1 s a 2 ] s p1 [
c.F(s)含有多重极点时，可展开为
F ( s) an br br 1 b1 ar 1 (s p1 ) r ( s p1 ) r 1 ( s p1 ) ( s pr 1 ) (s pn )
（b)
(t ) 转子角速度（rad/s）
Kt
Ω (s)
H (s)
Kt SKt 图2-11
U(s)
输出斜率（v/rad/s）
U ( s) Kt S ( s)
U(s)
G( s)
G( s)
U ( s) Kt ( s)
18
电枢控制直流伺服电动机 例2-9中求得电枢控制直流电动机简化后的微分方程为
传递函数及其性质
典型元部件的传递函数
1
数学工具－拉普拉斯变换与反变换
⑴ 拉氏变换定义 设函数f(t)满足 ①t<0时 f(t)=0
f (t )e st dt 0 则f(t)的拉氏变换存在，其表达式记作
② t>0时，f(t)分段连续


⑵拉氏变换基本定理
线性定理 位移定理 延迟定理 终值定理
B( s) br [ ( s p1 ) r ] s p1 A( s)
br j 1 d j B( s ) { j[ ( s p1 ) r ]}s p1 j! ds A( s)
br 1 {
d B( s ) [ ( s p1 ) r ]}s p1 ds A( s)
m
2
m
U (s) K1(s)
U ( s) G( s) K1 ( s)
H(s) K1 (c)
U(s)
12
2.3.5典型环节及其传递函数 任何一个复杂系统都是由有限个典型环节组合而成的。
典型环节通常分为以下六种： 1 比例环节
G( s) K
式中 K-增益 特点：输入输出量成比例，无失 真和时间延迟。 实例：电子放大器，齿轮，电阻 (电位器)，感应式变送器等。
lim f (t ) lim sF ( s )
s 0
2
数学工具－拉普拉斯变换与反变换续
初值定理
微分定理 积分定理
t 0
lim f (t ) lim sF ( s )
s
df (t ) L[ ] sF ( s ) f (0) dt
F ( s) f 1 (0) L[ f (t )dt] s s
G (s) C (s) R( s)
如果将
S
d dt
置换 传递函数 微分方程
8
性质7
传递函数G(s)的拉氏反变换是脉冲响应g(t) 脉冲响应（脉冲过渡函数）g(t)是系统在单位脉冲输 入时的输出响应。
R( s) L[ (t )] 1
c(t ) L1[C (s)] L1[C (s) R(s)] r (t ) g (t )d r (t ) g ( )d
10
2.3.4典型元部件的传递函数 电位器－将线位移或角位移变换为电压量的装置。 单个电位器用作为信号变换装置。
E -电位器电源(v)
max －电位器最大工作角(rad)
11
图2-8 电位器
E
U (t )
U(t)
θ
-∏
∏
(t )
(b)
(a)
U (t ) K1 (t )
E E K1 2
F (s) L[ f (t )] f (t )e st dt
0
L[a1 f1 (t ) a2 f 2 (t )] a1 F1 (s) a2 F2 (s)
L[e at f (t )] F (s a)
L[ f (t )] e s F (s)
t
d 2 f (t ) L[ ] s 2 F ( s) sf (0) f ' (0) 2 dt
L[
F ( s) f 1 (0) f 2 (0) f (t )dt] 2 s s2 s
⑶ 拉氏反变换
F(s)化成下列因式分解形式：
B(s) k ( s z1 )(s z 2 ) (s z m ) F ( s) A(s) ( s p1 )(s p2 ) (s pn )
5 振荡环节
n 1 G( s) 2 2 2 2 T S 2TS 1 S 2 n S n
2
T
1
式中 ξ－阻尼比 , (0 1) n -自然振荡角频率（无阻尼振荡角频率）
n
振荡环节的单位阶跃响应曲线
特点：环节中有两个独立的储能元件，并可进行能量交换，其
a.F(s)中具有不同的极点时，可展开为
F ( s) an a1 a2 s p1 s p2 s pn
ak [
B( s) ( s p k )]s pk A( s)
3
b.F(s)含有共扼复数极点时，可展开为
F ( s) a3 an a1 s a2 (s p1 )(s p2 ) s p3 s pn
于是，由定义得系统传递函数为：
6
C (s) b0 s m b1 s m1 bm1 s bm M (s) G( s ) n n 1 R(s) a0 s a1 s an1 s an N ( s)
M (s) b0 s m b1s m1 bm1s bm N (s) a0 s n a1s n1 an1 s an
式中c(t)是系统输出量，r(t)是系统输入量，和
是与系统结构和参数有关的常系数。 设r(t)和c(t)及其各阶系数在t=0是的值均为零， 即零初始条件，则对上式中各项分别求拉氏变换， 并令R(s)＝L[c(t)]，R(s)=L[r(t)]，可得s的代 数方程为：
[a0 s n a1s n1 an1s an ]C(s) [b0 s m b1s m1 bm1s am ]R(s)
θ 1 θ 2
u(t ) K1[1 (t ) 2 (t )] K1 (t )
K1 2 K11 图2-9 电位器
U(t)
K1是单个电位器的传递函数， (t ) 1 (t ) 2 (t ) 是两个电位器电刷角位移之差，称误差角。
U (s) K1 ( s )
性质4
如果G(s)已知，那么可以研究系统在各种输入信号作用 下的输出响应。 性质5 如果系统的G(s)未知，可以给系统加上已知的输入，研 究其输出，从而得出传递函数，一旦建立G(s)可以给出 该系统动态特性的完整描述，与其它物理描述不同。 传递函数数学模型 是（表示）输出变量和输入变量 微分方程的运算模型（operational mode） 性质6 传递函数与微分方程之间有关系。
输出信号的拉氏变换 C ( s) 传递函数 输入信号的拉氏变换零初始条件 R(s)
5
设线性定常系统由下述n阶线性常微分方程描述：
dn d n 1 d a0 n c(t ) a1 n 1 c(t ) a n 1 c(t ) a n c(t ) dt dt dt dm d m1 d b0 m r (t ) b1 m1 r (t ) bm1 r (t ) bm r (t ) dt dt dt
1 d r 1 B( s) b1 { r 1 [ ( s p1 ) r ]}s p1 (r 1)! ds A( s)
4
其余各极点的留数确定方法与上同。
2.3 控制系统的复域数学模型 2.3.1 传递函数
是在用拉氏变换求解线性常微分方程的过程中引申出来的
概念。 微分方程是在时域中描述系统动态性能的数学模型，在给 定外作用和初始条件下，解微分方程可以得到系统的输出 响应。系统结构和参数变化时分析较麻烦。 用拉氏变化法求解微分方程时，可以得到控制系统在复数 域的数学模型－传递函数。 定义：线性定常系统的传递函数，定义为零初使条件下， 系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。
特点： 输出量正比输入量变化的速度，能预示输入
信号的变化趋势。 实例： 测速发电机输出电压与输入角度间的传递函数 14 即为微分环节。
4 积分环节
1 G (s) TS
特点： 输出量与输入量的积分成正比
例，当输入消失，输出具有记忆功能。 实例： 电动机角速度与角度间的传递 函数，模拟计算机中的积分器等。
Tm d m (t ) m (t ) K1U a (t ) K 2 M c (t ) dt
M c (t ) 可视为负载扰动转矩。根据线性系统的叠加原理，分别求
U a (t )
到
m (t )