10-4统计案例 基 础 巩 固一、选择题1．对于事件A 和事件B ，通过计算得到χ2的观测值χ2≈4.514，下列说法正确的是( )A ．有99%的把握说事件A 和事件B 有关 B ．有95%的把握说事件A 和事件B 有关C ．有99%的把握说事件A 和事件B 无关D ．有95%的把握说事件A 和事件B 无关 [答案] B[解析] 由独立性检验知有95%的把握说事件A 与B 有关． 2．r 是相关系数，则下列叙述中正确的个数为( ) ①r ∈[－1，－0.75]时，两变量负相关很强； ②r ∈[0.75,1]时，两变量正相关很强；③r ∈(－0.75，－0.3]或[0.3,0.75)时，两变量相关性一般； ④r ＝0.1时，两变量相关性很弱．A ．1B ．2C ．3D ．4 [答案] D3．某化工厂为预测某产品的回收率y ，需要研究它和原料有效成分含量x 之间的相关关系，现取了8对观察值，计算得∑i ＝18x i ＝52，∑i ＝18yi ＝228，∑i ＝18x 2i ＝478，∑i ＝1nx i y i ＝1849，则y 与x 的回归方程是( ) A.y ^＝11.47＋2.62xB.y ^＝－11.47＋2.62xC.y ^＝2.62＋11.47x D.y ^＝11.47－2.62x[答案] A4．(2011·湖南理，4)通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：由K 2＝(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )算得，K 2＝110×(40×30－20×20)260×50×60×50≈7.8.附表：A ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”B ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”C ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关” [答案] C[解析] 本小题考查内容为独立性检验．6．635<K2＝7.8<10.828，∴我们有99%的把握认为二者有关，或者说在犯错的概率不超过1%的前提下二者有关．5．(2012·长春模拟)若变量y与x之间的相关系数r＝－0.936 2，则变量y与x之间()A．不具有线性相关关系B．具有线性相关关系C．它们的线性相关关系还要进一步确定D．不确定[答案] B[解析]因为r＝－0.936 2，说明变量y与x之间具有线性相关关系，且为负相关．6．在第29届奥运会上，中国健儿取得了51金、21银、28铜的好成绩，稳居世界金牌榜榜首，由此许多人认为中国进入了世界体育强国之列，也有许多人持反对意见．有网友为此进行了调查，在参加调查的2 548名男性公民中有1 560名持反对意见，2 452名女性公民中有1 200人持反对意见，在运用这些数据说明中国的奖牌是否与中国进入体育强国有无关系时用什么方法最有说服力() A．平均数与方差B．回归直线方程C．独立性检验D．概率[答案] C[解析]由于参加讨论的公民按性别被分成了两组，而且每一组又被分成了两种情况：认为有关与无关，故该资料取自完全随机统计，符合2×2列联表的要求，故用独立性检验最有说服力．二、填空题7．(2012·石家庄模拟)某医疗研究所为了了解某种血清预防感冒的作用，把500名使用过血清的人与另外500名未使用血清的人一年中的感冒记录作比较，提出假设H0：“这种血清不能起到预防感冒的作用”，利用2×2列联表计算得χ2≈3.918，经查临界值表知P(χ2≥3.841)≈0.05，则下列结论中，正确结论的序号是________．①有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”；②若某人未使用该血清，那么他在一年中有95%的可能性得感冒；③这种血清预防感冒的有效率为95%；④这种血清预防感冒的有效率为5%.[答案]①[解析]因为χ2≈3.918≥3.841，则P(χ2≥3.814)≈0.05，所以有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”．要注意我们检验的是假设是否成立和该血清预防感冒的有效率是没有关系的，不是同一个问题，不要混淆．8．有人发现，多看电视容易使人变冷漠，下表是一个调查机构对此现象的调查结果：则大约有________的把握认为多看电视与人变冷漠有关系． [答案] 99.9%[解析] 首先算得χ2≈11.377，然后查表可得概率． 三、解答题9．(2012·佛山模拟)有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩后，得到如下的列联表.已知从全部105人中随机抽取1人优秀的概率为27. (1)请完成上面的列联表；(2)根据列联表的数据，若按95%的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关系”；(3)若按下面的方法从甲班优秀的学生中抽取一人：把甲班优秀的10名学生从2到11进行编号，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数之和为被抽取人的序号．试求抽到6号到10号的概率．附：χ2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，[解析] (1)(2)根据列联表中的数据，得到k ＝105×(10×30－20×45)255×50×30×75≈6.109>3.841，因此有95%的把握认为“成绩与班级有关系”．(3)设“抽到6号或10号”为事件A ，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数为(x ，y )，则所有的基本事件有(1,1)、(1,2)、(1,3)、…(6,6)，共36个．事件A 包含的基本事件有(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，(4,6)，(5,5)，(6,4)，共8个，∴P (A )＝836＝29.能 力 提 升一、选择题1．下列关于χ2的说法中正确的是( )A ．χ2在任何相互独立问题中都可以用来检验有关还是无关B ．χ2的值越大，两个事件的相关性就越大C ．χ2是用来判断两个分类变量是否有关系的随机变量，只对于两个分类变量适合D ．χ2的观测值的计算公式为χ2＝n (ad －bc )(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )[答案] C[解析] χ2值是用来判断两个分类变量是否有关系的一个随机变量，并不是适应于任何独立问题的相关性检验．2．(文)对两个变量y 和x 进行回归分析，得到一组样本数据：(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，则下列说法中不正确的是( )A ．由样本数据得到的回归方程y ^＝bx ＋a 必过样本中心(x －，y －)B ．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好C ．用相关指数R 2来刻画回归效果，R 2越小，说明模型的拟合效果越好D ．若变量y 和x 之间的相关系数为r ＝－0.936 2，则变量y 和x 之间具有线性相关关系[答案] C[解析] C 中应为R 2越大拟合效果越好．(理)(2011·江西理，6)变量X 与Y 相对应的一组数据为(10,1)，(11.3,2)，(11.8,3)，(12.5,4)，(13,5)；变量U 与V 相对应的一组数据为(10,5)，(11.3,4)，(11.8,3)，(12.5,2)，(13,1)，r 1表示变量Y 与X 之间的线性相关系数，r 2表示变量V 与U 之间的线性相关系数，则( )A ．r 2<r 1<0 B. 0<r 2<r 1 C. r 2<0<r 1 D ．r 2＝r 1[答案] C[解析] 由散点图可得出结论：变量Y 与X 正相关，变量V 与U 负相关，故r 1>0，r 2<0，因此选C.二、填空题3．某高校“初步统计”课程的教师随机调查了选该课的一些学生情况，具体数据如下表：得到χ2＝50×(13×20－10×7)223×27×20×30≈4.844，因为χ2≥3.841，所以判定主修统计专业与性别有关系，那么这种判断出错的可能性为________．[答案] 5%[解析] 因为3.841<4.844<6.635，所以有95%的把握认为主修统计专业与性别有关，这种判断出错的可能性为5%.4．已知两个变量x 和y 线性相关，5次试验的观测数据如下：那么变量y [答案] y ^＝0.575x －14.9[解析] 由线性回归参数公式可求出b ＝0.575，a ＝－14.9，∴回归方程为y ^＝0.575x －14.9.三、解答题5．调查某医院某段时间内婴儿出生的时间与性别的关系，得到下面的数据表．试问能以多大把握认为婴儿的性别与出生时间有关系.[分析] 可以用它的值的大小来推断独立性是否成立．[解析] 由公式χ2＝89×(24×26－8×31)255×34×32×57≈3.688 92>2.706，有90%把握认为有关系．6．在调查的480名男性中有38名患有色盲，520名女性中有6名患有色盲，分别利用图形和独立性检验的方法来判断色盲是否与性别有关，你所得到的结论在什么范围内有效？[分析] 本题应首先作出调查数据的2×2列联表，并进行分析，最后利用独立检验作出判断．[解析] 根据题目所给的数据作出如下的列联表：根据2×2列联表所给的数据可以有χ2＝1 000×(38×514－442×6)2480×520×44×956≈27.1.由χ2＝27.1>6.635，所以我们有99%的把握认为性别与患色盲有关系．这个结论只对所调查的480名男性和520名女性有效．[点评] 在利用χ2统计量进行独立性检验时，应该熟练掌握计算公式，注意准确地代入数据和计算，牢记临界值，将计算结果与临界值进行比较，得出相应的结论，并且结论都是概率性的描述．7．假设关于某设备的使用年限x 和所支出的维修费用y (万元)有如下统计资料：(1)回归直线方程y ^＝bx ＋a 的回归系数；(2)估计使用年限为10年时，维修费用约是多少？ [解析] (1)列表：欢迎来主页下载---精品文档精品文档其中，b ＝∑i ＝15x i y i －5x －y －∑i ＝15x 2i －5x－2＝112.3－5×4×590－5×42 ＝12.310＝1.23，a ＝y －－b x －＝5－1.23×4＝0.08，(2)回归直线方程为y ＝1.23x ＋0.08.当x ＝10时，y ^＝1.23×10＋0.08＝12.38(万元)，即估计用10年时，维修费约为12.38万元．。