第1讲 描述运第动一的章基本空概念间向量与立体几何
1 |共线向量基本定理与共面向量定理 1.共线向量基本定理 如果a≠0,且① b∥a ,则② 存在唯一的实数λ ,使得b=λa. 2.平面向量基本定理 如果平面内两个向量a与b不共线,则对该平面内任意一个向量c,存在唯一的实数对 (x,y),使得③ c=xa+yb . 3.共面向量定理 如果两个向量a,b④ 不共线 ,则向量a,b,c共面的充要条件是⑤ 存在唯一的实 数对(x,y),使c=xa+yb .
= AO +OP + 1 ( PO +OC )
2
=-a+c+ 1 (-c+b)
2
=-a+ 1 b+ 1 c,
22
EF
=
1 2
CB
=
1 2
OA
=
1 2
a.
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设O、A、B、C是不共面的四点,若对空间中任一点P,都存在唯一的有序实数组(x, y,z),使 OP=x OA+y OB+z OC,则当且仅当x+y+z=1时,P、A、B、C四点共面.
如图,C=b, OP=c,E, F分别是PC和PB的中点,试用{a,b,c}表示 BF, BE, AE, EF.
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1 |共线、共面向量
1.非零向量a与b共线的条件是什么? 提示:存在唯一实数λ,使a=λb. 2.空间中任意两个向量一定共面吗?任意三个向量呢? 提示:一定;不一定. 3.空间中任意两个非零向量a,b共面,能否推出a=λb(λ∈R)? 提示:不能.
(2)由(1)知向量 MA, MB , MC 共面,而它们有共同的起点M,且A,B,C三点不共线,
∴点M,A,B,C共面,即点M在平面ABC内.
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2 |空间向量基本定理
1.构成空间向量的基底唯一吗?是否共面? 提示:不唯一;不共面. 2.怎样理解空间向量基本定理? 提示:(1)空间向量基本定理表明,用空间中已知三个不共面的向量a,b,c可以线性表 示出空间中的任意一个向量,而且表示的结果是唯一的. (2)空间向量的基底是不唯一的,空间中任意三个不共面向量均可作为空间向量的 一组基底.
第1讲 描述运第动一的章基本空概念间向量与立体几何
1.空间中任意两个向量总是共面的,空间中任意三个向量可能共面,也可能不共面. 2.共线向量基本定理及其推论是证明向量共线(平行)问题的重要依据.定理中的条 件a≠0不可遗漏. 判断向量共线就是充分利用已知条件找到实数λ,使a=λb成立,同时要充分运用空 间向量的运算法则,结合空间图形,化简得出a=λb,从而得出a∥b. 3.向量p与a,b共面的充要条件是在a与b不共线的前提下才成立的,若a与b共线,则不 成立. (1)证明向量共面,可以利用共面向量的充要条件,也可直接利用定义,通过线面平行 或直线在平面内进行证明. (2)向量共面时,向量所在的直线不一定共面,只有这些向量都过同一点时向量所在 的直线才共面(向量的起点、终点共面).
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用基底表示向量的步骤 (1)定基底:根据已知条件,确定三个不共面的向量构成空间向量的一组基底. (2)找目标:用确定的基底(或已知基底)表示目标向量,需要根据三角形法则及平行 四边形法则,结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简,最后求出结果. (3)下结论:利用空间向量的一组基底可以表示出空间中所有向量且表示要彻底,表示的 结果中只能含有基向量,不能含有其他的向量.
第1讲 描述运动的基本概念
高中数学 选择性必修第一册 人教B版
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1.1.2 空间向量基本定理
1.了解共线向量、共面向量的意义,掌握它们的表示方法. 2.理解共线向量的充要条件和共面向量的充要条件及其推论,并能应用其证明空间 向量的共线、共面问题. 3.理解基底、基向量及向量的线性组合的概念.
线性表达式 .
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判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ✕” 。 1.向量a,b,c共面,即表示这三个向量的有向线段所在的直线共面. ( ✕ ) 2.若向量e1,e2不共线,则对空间中任意向量a,都有a=λe1+μe2(λ,μ∈R). ( ✕ ) 3.对于空间中的任意三个向量a,b,2a-b,它们一定是共面的. ( √ ) 4.若{a,b,c}是空间向量的一组基底,且存在实数x,y,z使得xa+yb+zc=0,则x,y,z满足的 条件是x=y=z=0. ( √ )
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解析 连接BO,
则
BF
=
1 2
BP
=
1 2
(
BO
+OP
)=
1 2
(OP
-OB
)=
1 2
(c-b-a)=-
1 2
a-
1 2
b+
1 c,
2
BE
=
BC
+CE
=-a+
1 2
CP
=-a+ 1 (CO+OP )
2
=-a- 1 b+ 1 c,
22
AE = AP + PE
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2 |空间向量基本定理
1.空间向量基本定理 如果空间中的三个向量a,b,c⑥ 不共面 ,那么对空间中的任意一个向量p, ⑦ 存在唯一的有序实数组(x,y,z) ,使得⑧ p=xa+yb+zc . 2.基底 如果空间中的三个向量a,b,c⑨ 不共面 ,则它们的线性组合xa+yb+zc能生成所 有的空间向量,这时a,b,c组成的集合{a,b,c},常称为空间向量的一组 基底 ,其 中a,b,c都称为 基向量 ;表达式xa+yb+zc称为向量a,b,c的 线性组合 或
2
2
MN =MC +CE +EB +BN =-1 CA +CE -AF -1 FB ,
2
2
以上两式相加得 CE=2 MN ,所以 CE ∥ MN ,即 CE 与 MN 共线.
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已知A,B,C三点不共线,对平面ABC外的任意一点O,若点M满足
1
OM
=
1 3
第1讲 描述运第动一的章基本空概念间向量与立体几何
如图所示,已知四边形ABCD,ABEF都是平行四边形且不共面,M,N分别为AC,BF的 中点,判断CE 与MN 是否共线.
解析 因为M,N分别为AC,BF的中点,且四边形ABCD,ABEF都是平行四边形,
所以 MN = MA+ AF + FN = 1 CA+ AF + 1 FB ,
OA+
1 3
OB+
3 OC .
(1)判断 MA, MB , MC 三个向量是否共面;
(2)判断点M是否在平面ABC内.
解析 (1)∵OA+OB+OC =3OM ,
∴OA-OM =(OM -OB )+(OM -OC )= BM +CM ,
∴ MA= BM +CM =-MB - MC ,
∴向量 MA, MB , MC 共面.