§1-1 质点运动的描述
一. 质点运动学的基本概念
1. 质点 (particle) 有质量而无形状和大小的几何点。 突出了质量 质量和 有质量而无形状和大小的几何点。 突出了质量和位置 质点系: 若干质点的集合。 质点系: 若干质点的集合。 2. 参考系 坐标系 （frame of reference） ）
如图所示， 例 如图所示，以速 度v 用绳跨一定 滑轮拉湖面上的 船，已知绳初长 l 0，岸高 h 求 绳子与水平方向夹 角θ时，船的速度？ 船的速度？
v v
l0
h
l(t)
v v1
O
θ
x(t)
x
解: (一) 一 (二) 二 (三) 三
υ1 =υ cosθ υ1 =υ / cosθ
取坐标系如图
×
v r cosω t, y = r sinω t
P (x, y) v • r s x ωt • x •O' O
v v v v r = r (t ) = r cosωti + r sin ωtj
意义: 已知运动学方程，可求质点运动轨迹、 意义 已知运动学方程，可求质点运动轨迹、速度和加速度
三. 位矢 (position vector)
讨论
v v(t)
v ∆v
v v(t + ∆t)
(1) 加速度反映速度的变化（大小和方向）情况。 加速度反映速度的变化（大小和方向）情况。 (2) 加速度的方向总是指向轨迹曲线凹的一面。 速度的方向总是指向轨迹曲线凹的一面。
2. 用直角坐标表示加速度
r r dv dvx v dvy v dvz v d2x v d2 y v d2z v a= = i+ j+ k= 2i + 2 j+ 2k dt dt dt dt dt dt dt v v v v a = axi + ay j + azk
v r 1
• O x
v ∆r
y • Q (x2, y2, z2)
v r2
v v v 时间 ∆t 内质点的位移为 ∆r = r − r 2 1 v v v v ∆r = ∆xi + ∆yj + ∆zk v v v = (x2 − x1)i + ( y2 − y1) j + (z2 − z1)k
五. 速度（velocity） ( 描述物体运动状态的物理量 ) ）
1. 第一类问题 2. 第二类问题
v v 已知加速度和初始条件， 已知加速度和初始条件，求 v , r
1.第一类问题 1.第一类问题
v v 已知运动学方程， 已知运动学方程，求 v , a
v v a (2) t =2s 时 v ，
v v 2 v 例 已知一质点运动方程 r = 2t i + (2 − t ) j
2 dvy d2 y dvx d x dvz d z ax = = 2 , ay = = 2 , az = = 2 dt dt dt dt dt dt 2
dvx 2 dvy 2 dvz 2 r 2 2 2 大小为 a = ax + ay + az = ( ) +( ) +( ) dt dt dt
方向用方向余弦表示为
ax cosα' ' = v a
ay cos β ' ' = v a
az cosγ ' ' = v a
七. 运动学的二类问题
v v r (t) ⇔ v (t)
v ⇔ a(t) v v υ0 (t0 ) r (t0 ) 0 v r (t0 ) 0
v v 已知运动学方程， 已知运动学方程，求 v , a
z P
参照物：为了描述物体运动而选作参考的物体或物体系。 参照物：为了描述物体运动而选作参考的物体或物体系。 参考系：参照物 + 坐标系 + 时钟 参考系： (1) 运动学中参考系可任选。 运动学中参考系可任选。
y
O
x
参照物
(2) 参照物选定后，坐标系可任选。 照物选定后 坐标系可任选。 选定后， 坐标系是参考系的数学抽象 （coordinate system） （ reference system） ） ） (3) 常用坐标系 直角坐标系（ x , y , z ） 直角坐标系（ 柱坐标系（ 柱坐标系（ρ , ϕ , z ） 3. 空间和时间 时空观 球坐标系（ r,θ, ϕ ） 球坐标系（ 自然坐标系 ( s )
1. 定义 平均速度
(average velocity)
v v v v ∆ r r (t + ∆t) − r (t) = v = ∆t ∆t
瞬时速度（instantaneous velocity） ）
v r (t)
O•
v ∆r
v r (t + ∆t)
v v v r (t + ∆t) − r (t) dr v v = lim = ∆t→0 ∆t dt
质点某时刻位置P (x,y,z) 由位矢 质点某时刻位置
z
P(x, y, z)
v r 表示。 表示。
位矢的直角坐标系表示：
γ
O
v r
β
参考物
z
y
v v v v r = xi + yj + zk
α
x
位矢的大小为： 位矢的大小为 大小
y
x
v r = x2 + y2 + z2
位矢的方向用方向余弦表示，则有： 位矢的方向用方向余弦表示，则有： 方向用方向余弦表示
力学
（Mechanics） ）
研究物质机械运动的科学。 研究物质机械运动的科学。
∗ ∗ ∗
质点动力学 (第1-2章） 刚体的定轴转动 (第3章） 相对论基础( 相对论基础(第4章）
第一章 力和运动
（质点动力学） 质点动力学）
解决如何描述质点机械运动的问题。 质点运动学 —— 解决如何描述质点机械运动的问题。 研究物体之间的相互作用， 质点动力学 —— 研究物体之间的相互作用，以及这 种相互作用所引起的物体的运动状 态发生变化的规律。 态发生变化的规律。 质点动力学的基础。 牛顿运动定律 —— 质点动力学的基础。
空间---物质的广延性， 空间 物质的广延性，与体积位置变化相联系 物质的广延性 时间—物理事件的顺序性和持续性 时间 物理事件的顺序性和持续性
运动学方程（运动函数） 二. 运动学方程（运动函数） （function of motion） ）
直角坐标下
x = x(t)
y = y(t)
z = z(t)
六. 加速度（acceleration） ）
1. 定义 平均加速度
A •
v v(t)
•
v v(t + ∆t)
B
v v v v ∆v v(t + ∆t) −v(t) a = = ∆t ∆t
v r (t)
v r (t + ∆t)
瞬时加速度
O •
v v v v v(t + ∆t) −v(t) dv d2r v a = lim = = 2 ∆t→0 ∆t dt dt
讨论 (1) 速度的矢量性、瞬时性和相对性。 速度的矢量性 瞬时性和相对性。 矢量性、
） (2) 注意速度与速率（speed）的区别
v vA
B'
B
v ∆r
A
v dr v v= dt
v v dr ds dr v =v = = ≠ dt dt dt
2. 用直角坐标表示速度 平均速度 瞬时速度
v v ∆r ∆x v ∆y v ∆z v v = = i+ j+ k ∆t ∆t ∆t ∆t v v v v dr dx v dy v dz v v v = = i + j + k =vxi +vy j +vzk dt dt dt dt
x y z cosα = v , cos β = v , cosγ = v r r r
四. 位移 (displacement)
位移矢量反映了物体运动中位置 ( 距离与方位 ) 的变化。 的变化。 1. 定义
v r (t)
P •
∆s
• P’
uuu v r v v pp′ = r (t +∆t) − r (t) = ∆r
求 (1) t =1s 到 t =2s 质点的位移 (3) 轨迹方程
v v v v v v r = 4i − 2 j r = 2i + j 解 (1) 由运动方程得 2 1 v v v v v v v ∆r = r2 − r = (4 − 2)i + (−2 −1) j = 2i − 3 j 1 v v 2v v v v r dr v d r dv (2) v = = 2i − 2t j a= 2 = = −2 j dt dt dt v v v v v a2 = −2 j 当 t =2s 时 v2 = 2 i − 4 j
一质点作匀速圆周运动， 例 一质点作匀速圆周运动，半径为 r ，角速度为 ω 。 求 用直角坐标表示的质点运动学方程。 直角坐标表示的质点运动学方程。 表示的质点运动学方程 解 以圆心 为原点。建立直角坐标 以圆心O 为原点。 点为起始时刻， 系Oxy ，O ′点为起始时刻，设t 时 刻质点位于P（ 刻质点位于 （x , y），用直角坐 ） 标表示的质点运动学方程为
r ∆r
O• v
r (t + ∆t)
讨论 (1) 位移是矢量（有大小，有方向） 位移是矢量（有大小，有方向）
v 位移不同于路程 位移不同于路程 ∆r ≠ ∆S r （path）但 d r = d s ）
v ∆r
v ∆r
∆r
(2) 位移与参照系位置的变化无关