初中数学竞赛专项训练（1）（实 数）一、选择题1、如果自然数a 是一个完全平方数，那么与a 之差最小且比a 大的一个完全平方数是（ ） A. a ＋1B. a 2+1C. a 2+2a+1D. a+2a +12、在全体实数中引进一种新运算*，其规定如下：①对任意实数a 、b 有a *b=（a ＋b ）(b －1)②对任意实数a 有a *2＝a *a 。

当x ＝2时，［3*（x *2）］－2*x ＋1的值为 （ ） A. 34B. 16C. 12D. 63、已知n 是奇数，m 是偶数，方程⎩⎨⎧=+=+m y x n y 28112004有整数解x 0、y 0。

则（ ）A. x 0、y 0均为偶数B. x 0、y 0均为奇数C. x 0是偶数y 0是奇数D. x 0是奇数y 0是偶数4、设a 、b 、c 、d 都是非零实数，则四个数-ab 、ac 、bd 、cd （ ） A. 都是正数B. 都是负数C. 两正两负D. 一正三负或一负三正5、满足等式2003200320032003=+--+xy x y x y y x 的正整数对的个数是（ ） A. 1B. 2C. 3D. 46、已知p 、q 均为质数，且满足5p 2+3q=59，由以p ＋3、1－p ＋q 、2p ＋q －4为边长的三角形是 A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形7、一个六位数，如果它的前三位数码与后三位数码完全相同，顺序也相同，由此六位数可以被（ ）整除。

A. 111B. 1000C. 1001D. 11118、在1、2、3……100个自然数中，能被2、3、4整除的数的个数共（ ）个 A. 4 B. 6C. 8D. 16二、填空题 1、若20011198********⋯⋯++=S ，则S 的整数部分是____________________2、M 是个位数字不为零的两位数，将M 的个位数字与十位数字互换后，得另一个两位数N ，若M －N 恰是某正整数的立方，则这样的数共＿＿＿个。

3、已知正整数a 、b 之差为120，它们的最小公倍数是其最大公约数的105倍，那么，a 、b 中较大的数是＿＿＿＿＿。

4、设m 是不能表示为三个互不相等的合数之和的最大整数，则m ＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿5、满足19982＋m 2＝19972＋n 2（0＜m ＜n ＜1998）的整数对（m 、n ）共有＿＿＿＿个6、已知x 为正整数，y 和z 均为素数，且满足zy x yz x 111=+= ，则x 的值是＿＿＿ 三、解答题1、试求出这样四位数，它的前两位数字与后两位数字分别组成的二位数之和的平方，恰好等于这个四位数。

2、从1、2、3、4……205共205个正整数中，最多能取出多少个数使得对于取出来的数中的任意三个数a 、b 、c （a ＜b ＜c ），都有ab ≠c 。

3、已知方程0324622=---n n x x 的根都是整数。

求整数n 的值。

4、设有编号为1、2、3……100的100盏电灯，各有接线开关控制着，开始时，它们都是关闭状态，现有100个学生，第1个学生进来时，凡号码是1的倍数的开关拉了一下，接着第二个学生进来，由号码是2的倍数的开关拉一下，第n 个（n ≤100）学生进来，凡号码是n 的倍数的开关拉一下，如此下去，最后一个学生进来，把编号能被100整除的电灯上的开关拉了一下，这样做过之后，请问哪些灯还亮着。

5、若勾股数组中，弦与股的差为1。

证明这样的勾股数组可表示为如下形式：122221222++++a a a a a ，　，　，其中a 为正整数。

初中数学竞赛专项训练（2）（代数式、恒等式、恒等变形）一、选择题：下面各题的选项中，只有一项是正确的，请将正确选项的代号填在括号内。

1、某商店经销一批衬衣，进价为每件m 元，零售价比进价高a%，后因市场的变化，该店把零售价调整为原来零售价的b%出售，那么调价后每件衬衣的零售价是 （ ） A. m(1+a%)(1-b%)元 B. m·a%(1-b%)元 C. m(1+a%)b%元 D. m(1+a%b%)元2、如果a 、b 、c 是非零实数，且a+b+c=0，那么||||||||abc abc c c b b a a +++的所有可能的值为（ ） A. 0B. 1或-1C. 2或-2D. 0或-23、在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，若∠B ＝60°，则bc ab ac +++的值为 （ ） A. 21B. 22C. 1D.24、设a ＜b ＜0，a 2+b 2=4ab ，则ba ba -+的值为（ ）A.3B.6C. 2D. 35、已知a ＝1999x ＋2000，b ＝1999x ＋2001，c ＝1999x ＋2002，则多项式a 2+b 2+c 2-ab-bc-ca 的值为 （ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 36、设a 、b 、c 为实数，226232222πππ+-=+-=+-=a c z c b y b a x ，，，则x 、y 、z 中，至少有一个值（ ）A. 大于0B. 等于0C. 不大于0D. 小于07、已知abc ≠0，且a+b+c ＝0，则代数式abc ca b bc a 222++的值是 （ ）A. 3B. 2C. 1D. 08、若136498322++-+-=y x y xy x M （x 、y 是实数），则M 的值一定是 （ ） A. 正数 B. 负数C. 零D. 整数二、填空题1、某商品的标价比成本高p%，当该商品降价出售时，为了不亏损成本，售价的折扣（即降价的百分数）不得超过d%，则d 可用p 表示为＿＿＿＿＿2、已知-1＜a ＜0，化简4)1(4)1(22+-+-+aa a a 得＿＿＿＿＿＿＿ 3、已知实数z 、y 、z 满足x+y=5及z 2=xy+y-9，则x+2y+3z=_______________4、已知x 1、x 2、……、x 40都是正整数，且x 1+x 2+……+x 40＝58，若x 12+x 22+……+x 402的最大值为A ，最小值为B ，则A ＋B 的值等于＿＿＿＿＿＿＿＿5、计算=+⋯⋯+++++⋯⋯++++)441()417)(413)(49)(45()439()415)(411)(47)(43(4444444444________________ 6、已知多项式154723--+x bx ax 可被13+x 和32-x 整除，则=+b a ＿＿＿＿＿三、解答题：1、已知实数a 、b 、c 、d 互不相等，且x ad d c c b b a =+=+=+=+1111，试求x 的值。

2、如果对一切x 的整数值，x 的二次三项式c bx ax ++2的值都是平方数（即整数的平方）。

证明：①2a 、ab 、c 都是整数。

②a 、b 、c 都是整数，并且c 是平方数。

反过来，如果②成立，是否对于一切x 的整数值，x 的二次三项式c bx ax ++2的值都是平方数？3、若22221996199619951995+⋅+=a ，求证：a 是一完全平方数，并写出a 的值。

4、设a 、b 、c 、d 是四个整数，且使得222222)(41)(d c b a cd ab m --+-+=是一个非零整数，求证：｜m ｜一定是个合数。

5、若2a 的十位数可取1、3、5、7、9。

求a 的个位数。

初中数学竞赛专项训练（3）（方 程）一、选择题：1、方程018)8(2=-++-a x a x 有两个整数根，试求整数a 的值 （ ）A. -8B. 8C. 7D. 9 2、方程1)1(32=-++x x x 的所有整数解的个数是 （ ）A. 2B. 3C. 4D. 53、若0x 是一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根，则判别式ac b 42-=∆与平方式20)2(b ax M +=的大小关系是（ ） A. △＞MB. △=MC. △＜MD. 不能确定4、已知ac b 42-是一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的一个实数根，则ab 的取值范围为（ ）A. ab ≥81 B. ab ≤81 C. ab ≥41 D. ab ≤41 5、已知1x 、2x 是方程0)53()2(22=+++--k k x k x 的两个实根，则2221x x +的最大值是（ ） A. 19B. 18C. 955D. 以上答案都不对6、已知z y x 、、为三个非负实数，且满足132523=-+=++z y x z y x ，　，z y x u 73-+=若，则u 的最大值与最小值之和为 （ ）A. 7762-B. 7764-C. 7768-D. 7774-7、若m 、n 都是正实数，方程022=++n mx x 和方程022=++m nx x 都有实数根，则m+n 的最小值是 （ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 108、气象爱好者孔宗明同学在x （x 为正整数）天中观察到：①有7个是雨天；②有5个下午是晴天；③有6个上午是晴天；④当下午下雨时上午是晴天。

则x 等于（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 二、填空题1、已知两个方程0022=++=++a bx x b ax x 与有且只有一个公共根，则这两个方程的根应是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿2、若)(016110161122b a b b a a ≠=++=++，　，则=-baa b ＿＿＿＿＿＿＿3、已知关于x 的方程012)1(2=-+++n x n x 的两根为整数，则整数n 是＿＿＿＿＿4、设1x 、2x 是方程02)1(222=+++-k x k x 的两个实数根，且8)1)(1(21=++x x ，则k 的值是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿5、已知a 、b 是方程042=+-m x x 的两个根，b 、c 是方程0582=+-m x x 的两个根，则m ＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿6、设1x 、2x 是关于x 的一元二次方程22=++a ax x 的两个实数根，则)2)(2(1221x x x x --的最大值为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 三、解答题1、关于x 的方程01)1(2=+--x k kx 有有理根，求整数k 的值。

2、设方程0120012003200222=-⋅-x x 的较大根是r ，方程01200220012=+-x x 的较小根是s ，求r －s 的值。

3、确定自然数n 的值，使关于x 的一元二次方程07635108222=-+-+-n n x nx x 的两根均为质数，并求出此两根。

4、已知关于x 的一元二次方程054)15117()9)(6(2=+----x k x k k 的两个根均为整数，求所有满足条件的实数k 的值。